Fale/Drgania wymuszone układów harmonicznych

Oscylator tłumiony w przedstawieniu jednowymiarowym

Wyobraźmy sobie oscylator harmoniczny, który doznaje siły kierującej Szablon:Formuła pochodzącej od sprężyny o stałej sprężystości Szablon:Formuła, dla której układ doznaje siły oporu Szablon:Formuła, którym występuje stała Γ, która jest współczynnikiem tłumienia na jednostkę masy, lub po prostu jest zwana współczynnikiem tłumienia. Na układ też działa siły wymuszająca układ do ruchu F(t). Biorąc wszystkie te uwagi możemy napisać z drugiej zasady dynamiki Newtona równość różniczkową: Szablon:CentrujWzór

Tłumienie oscylacji harmonicznych bez udziału siły wymuszającej

Równanie Szablon:LinkWzór można napisać przy założeniu, że nie mamy siły wymuszającej F(t), wtedy tak otrzymane równanie możemy podzielić przez masę M, i wszystkie wyrazy przenosząc na jedną stronę, w takim wypadku: Szablon:CentrujWzór Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego liniowego Szablon:LinkWzór jest rozwiązaniem oscylatora tłumionego zależne od stałej τ i częstotliwości kołowej ω: Szablon:CentrujWzór Dalszym krokiem jest policzenie pierwszej i drugiej pochodnej zupełnej położenia względem czasu masy M oscylatora tłumionego Szablon:LinkWzór, jego pierwsza pochodna jest: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz drugą pochodną zupełnej wyrażenia Szablon:LinkWzór względem czasu, czyli pierwszą pochodną pierwszej pochodnej wyrażenia Szablon:LinkWzór względem czasu, zatem do dzieła: Szablon:CentrujWzór Ogólne rozwiązanie Szablon:LinkWzór, pierwszą pochodną funkcji x(t) Szablon:LinkWzór, a także drugą pochodną funkcji x(t) Szablon:LinkWzór podstawiamy do równania różniczkowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Tożsamość Szablon:LinkWzór dzielimy obustronnie przez Szablon:Formuła, bo ono jest zawsze niezerowe, w ten sposób otrzymujemy tożsamość, w którym grupujemy wyrazy względem sinωt i cosωt: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór jest słuszna dla każdego czasu, stąd wynika, że czynniki stojące przy sin(ωt+θ) i cos(ωt+θ) powinny być zawsze równe zero, w ten sposób dostajemy układ dwóch równań: Szablon:CentrujWzór Na podstawie układu równań Szablon:LinkWzór otrzymujemy następujące tożsamości na τ i ωSzablon:Sup: Szablon:ElastycznyWiersz Rozwiązanie Szablon:LinkWzór równania różniczkowego jednorodnego Szablon:LinkWzór możemy przestawić w postaci równoważnej przy pomocy funkcji funkcji trygonometrycznych sinus i kosinus jako ich kombinację liniową pomnożoną przez funkcję eksponencjalną malejącą wraz z czasem do zero dla "t" nieskończonego: Szablon:CentrujWzór Możemy wyznaczyć pierwszą pochodną wyrażenia Szablon:LinkWzór, w ten sposób mamy wzór na prędkość ciała w chwili "t": Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy warunki początkowe dla t=0, tj. dla równania Szablon:LinkWzór,która jest położeniem masy w czasie "t", dla równania Szablon:LinkWzór, który jest prędkością ciała o masie M w czasie "t", by potem wyznaczyć stałe A i B w zależności od warunków początkowych: Szablon:ElastycznyWiersz Wykorzystując fakty, tzn. (zależność na położenie ciała w czasie t=0) Szablon:LinkWzór i (zależność prędkości ciała w chwili zerowej)Szablon:LinkWzór, w ten sposób ogólne rozwiązanie oscylatora harmonicznego tłumionego Szablon:LinkWzór piszemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Jeśli natomiast ${\omega }_0^2<\frac{1}{4}{\mathrm{\Gamma }}^2$, i wiedząc coś o liczbach zespolonych, które są wprowadzone w algebrze, możemy powiedzieć na podstawie Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Zatem równość Szablon:LinkWzór możemy napisać na podstawie tożsamości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, w którym ω jest liczbą zespoloną, a także wykorzystując fakty o związkach pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a funkcjami hiperbolicznymi: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz energię całkowitą zmieniającą się wraz z czasem, która jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej sprężystości, którego zapis jest przy wykorzystaniu wzoru Szablon:LinkWzór, który jest wzorem na położenie ciała w chwili "t" i biorąc przykład słabego tłumienia, wtedy wyraz z Γ jako czynnik w Szablon:LinkWzór możemy pominąć, bo ono jest bardzo małe, zatem w takim wypadku średnia energia całkowita jest: Szablon:CentrujWzór

Drgania stacjonarne podczas działania siły harmonicznej siły wymuszającej

Każdą siłę wymuszającą okresową możemy rozłożyć w szereg Fouriera, których każdy wyraz jest funkcją kosinus o przesunięciu fazowym φ(ω) o amplitudzie F(ω), która ta całkowita siła jest przestawiona: Szablon:CentrujWzór W szeregu Szablon:LinkWzór weźmy tylko jeden wyraz, tak by funkcja kosinus nie zawierała wcale przesunięcia fazowego, wtedy tą siłę przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Całkowite równanie ruchu masy M dla drgań harmonicznych, gdy istnieją w nim straty energii spowodowane niezerowym współczynnikiem tłumienia, na którą to masę działa siła harmoniczna drgająca z częstością ω, przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Drgania wykonywane przez oscylator opisywany przez równanie Szablon:LinkWzór jest napisana jako kombinacja funkcji sinus i kosinus: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór podstawiamy do równania różniczkowego Szablon:LinkWzór otrzymując tożsamość: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór możemy pogrupować względem funkcji sinus i kosinus, w ten sposób otrzymać dalsze przekształcenie tej równości: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest spełnione dla każdego czasu "t", wtedy współczynniki stojące przy kosinusach i sinusach są równe zero, wtedy mamy układ równań, które będziemy rozwiązywać ze względu na współczynniki A i B: Szablon:CentrujWzór Z pierwszego równania Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć stałą B zależną od stałej A, częstotliwości podstawowej ωSzablon:Sub, częstotliwości drgań siły wymuszającej i współczynnika tłumienia Γ, którego równanie jest: Szablon:CentrujWzór Tożsamość Szablon:LinkWzór możemy podstawić do drugiego równania układu równań Szablon:LinkWzór, z którego w dalszych rozumowaniach otrzymamy wzór na stałą A: Szablon:CentrujWzór Z tożsamości Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć stałą A, którego wzór jest napisany przy pomocy częstotliwości kołowej drgań podstawowych ωSzablon:Sub i drgań wymuszonych ω: Szablon:CentrujWzór Równanie przestawione wzorem Szablon:LinkWzór jest to wzór na amplitudę absorpcyjną . Wzór na A Szablon:LinkWzór podstawiamy do Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy równość: Szablon:CentrujWzór Równanie na stałą B Szablon:LinkWzór nazywamy równaniem na amplitudę elastyczną . Wkład energii spowodowanej przez amplitudę elastyczną po uśrednianiu w ciągu całego okresu jest równy zero, bo straty energii są równe sile FSzablon:Subcosωt pomnożonej przez Szablon:Formuła i dlatego ta amplituda w ogólności nie powoduje strat energii. Można udowodnić, że całkowita strata energii spowodowana przez amplitudę absorpcyjną spowodowaną po uśrednianiu jego w ciągu jednego okresu jest równa: Szablon:CentrujWzór A dowód jego polega na uśrednianiu strat energii w czasie t w ciągu jednego okresu, jak widzimy poniżej straty energii są zależne od amplitudy absorpcyjnej, częstotliwości drgań siły wymuszającej i na samym końcu od amplitudy FSzablon:Sub drgań harmonicznej siły zewnętrznej działającej na nasz układ drgający: Szablon:CentrujWzór Całkowita średnia energia tracona uśrednianą w ciągu jednego okresu jest wyrażona przy pomocy amplitudy elastycznej ASzablon:Sub, absorpcyjnej ASzablon:Sub, współczynnika Γ i masy drgającej M: Szablon:CentrujWzór Można udowodnić, że wzór Szablon:LinkWzór za pomocą prostych przekształceń, jest równy wzorowi Szablon:LinkWzór. Całkowita energia zmagazynowana w oscylatorze tłumionym podtrzymywanym siłą wymuszającą jest wyrażona po uśrednianiu jej w ciągu jednego okresu: Szablon:CentrujWzór

Rezonans

Wzór Szablon:LinkWzór możemy przepisać w postaci równania na moc traconą podczas oporów ruchów, która jest tak skonstruowana, by dla ω=ωSzablon:Sub, by było P(ωSzablon:Sub)=PSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Stała proporcjonalności PSzablon:Sub została tak dobrana, by dla ω=ωSzablon:Sub, całkowita moc promieniowania była równa PSzablon:Sub. Wartość P równej połowie maksymalnej rezonansowej jest napisana w takiej formie, by było spełnione: Szablon:CentrujWzór Z równości podanej w punkcie Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć częstotliwość ω w zależności od częstotliwości podstawowej ωSzablon:Sub i współczynnika tłumienia, którego postać naszej tożsamości na tą wspomnianą częstotliwość jest: Szablon:CentrujWzór Ponieważ częstotliwość kołowa drgań kołowych jest wielkością nieujemną, wtedy wyrażenie Szablon:LinkWzór możemy tak napisać, w którym drugi składnik jest połową współczynnika tłumienia wziętej z minusem lub plusem: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie z plusem Szablon:LinkWzór możemy odjąć od wyrażenia wziętego z minusem, w ten sposób otrzymujemy tożsamość na szerokość połówkową: Szablon:CentrujWzór

Amplituda elastyczna i jego zależność od częstości

Szablon:Rysunek Amplituda elastyczna jest dana wzorem Szablon:LinkWzór, a jego stosunek do amplitudy absorpcyjnej piszemy: Szablon:CentrujWzór Gdy częstotliwość siły wymuszającej jest o wiele mniejsza od drgań podstawowych układu, wtedy absorpcja energii jest zbyt mała w porównaniu z absorpcją energii w rezonansie przez układ. Dla drgającego układu daleko od rezonansu masy możemy napisać tożsamość, która jest spełniona w przybliżeniu: Szablon:CentrujWzór

Krzywe rezonansowe

Dla oscylatora harmonicznego drgania wymuszone możemy opisywać za pomocą kilku wielkości zależne od częstotliwości kołowych, ale napiszmy najpierw wzór na amplitudę absorpcyjną: Szablon:CentrujWzór Teraz wyznaczmy kwadrat modułu amplitudy, która jest sumą kwadratów amplitudy elastycznej Szablon:LinkWzór i absorpcyjnej Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór Energię oscylacji określamy według wzoru Szablon:LinkWzór, która jest definicją mocy traconej przez układ, znając definicję amplitudy absorpcyjnej Szablon:LinkWzór, piszemy ją: Szablon:CentrujWzór Całkowita energia zmagazynowana przez układ określamy jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej posiadanej przez układ, którą piszemy w postaci wzoru Szablon:LinkWzór, do której wykorzystamy wzór Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymamy końcową tożsamość opisującą tą naszą wielkość: Szablon:CentrujWzór W powyższych wielkościach mianownik jest określony poprzez częstotliwość drgań podstawowych i częstotliwość drgań wymuszonych: Szablon:CentrujWzór Definicja D napiszmy, gdy częstotliwość ω jest bliska ωSzablon:Sub, dla stanu słabego tłumienia, tzn. dla którego zachodzi Γ<<ωSzablon:Sub, przy pomocy tychże dysput sumę ωSzablon:Sub+ω możemy przestawić w przybliżeniu w postaci 2ωSzablon:Sub, wtedy D opisujemy wzorem przybliżonym na podstawie jej ścisłej definicji Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wtedy możemy wprowadzić współczynnik R(ω), który jest tak dobrany by dla ωSzablon:Sub był równy jeden, czyli zachodziło R(ωSzablon:Sub)=1: Szablon:CentrujWzór Funkcja Szablon:LinkWzór jest funkcją parzystą ze względu na ωSzablon:Sub-ω, następnie udowodnimy, aby wspomniana funkcja była równa połowie jedynki, czyli wtedy powinno zachodzić Szablon:Formuła, co z tego możemy wywnioskować Szablon:Formuła, co dalej można łatwo udowodnić, że szerokość połówkowa naszej funkcji jest równa Γ. Funkcja R(ω) w optyce jest nazywana często rozkładem lorentzowskim, a w fizyce jądrowej jest nazywana krzywą rezonansową Breita-Wignera, dla którego zamiast ω i ωSzablon:Sub są zastępowane tam kolejno przez Szablon:Formuła i Szablon:Formuła.

Niestacjonarne drgania harmoniczne tłumione

Niestacjonarne drgania harmoniczne, która jest rozwiązaniem równania Szablon:LinkWzór, która jest szczególnym rozwiązaniem równania różniczkowego Szablon:LinkWzór, a dla równania jednorodnego Szablon:LinkWzór, którego rozwiązaniem jest Szablon:LinkWzór, to suma tych rozwiązań tutaj rozważanych piszemy: Szablon:CentrujWzór Częstotliwość ωSzablon:Sub we wzorze Szablon:LinkWzór jest to wielkość opisana wzorem Szablon:LinkWzór.

Układ drgający niestacjonarny spoczywający w stanie początkowym

Aby układ w stanie początkowym t=0 miał położenie zerowe, wtedy musi zachodzić BSzablon:Sub=ASzablon:Sub. Dalej będziemy mieli na myśli słabe tłumienie, tzn. czynnik exp(-Γ t) praktycznie się wcale nie zmienia w chwili w ciągu jednego okresu, zatem dla chwili początkowej mamy Szablon:Formuła, ponieważ interesują nas częstotliwości rezonansowe niezbyt odległe od częstotliwości podstawowej, czyli kładziemy ASzablon:Sub=-ASzablon:Sub, czyli powinno chodzić: Szablon:CentrujWzór co prędkość drgań początkowych jest równa zero, gdy zachodzi w przybliżeniu ω=ωSzablon:Sub, lub gdy ASzablon:Sub=0, co implikuje Γ=0. Na podstawie tychże omawianych wniosków dostajemy: Szablon:CentrujWzór Gdy częstość wymuszająca drgania jest równa częstotliwości drgań tłumionych, czyli ω=ωSzablon:Sub, wtedy na podstawie Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć, że zachodzi własność: Szablon:CentrujWzór

Oscylator niestacjonarny przy braku tłumienia

Tutaj kładziemy Γ=0, wtedy amplituda absorpcyjna ASzablon:Sub jest równa zero, wtedy wzór na amplitudę elastyczną Szablon:LinkWzór jest wyrażona przy pomocy częstotliwości drgań podstawowych ωSzablon:Sub i częstotliwości drgań wymuszonych ω: Szablon:CentrujWzór Wtedy położenie masy M Szablon:LinkWzór, przy powyżej kładzionych warunkach, i wzoru na amplitudę ellastyczną Szablon:LinkWzór, piszemy: Szablon:CentrujWzór Jeśli wprowadzimy związki na częstotliwość średnią Szablon:Formuła i wolnozmienną amplitudę oscylacji harmonicznych z niską częstością modulacji napisaną Szablon:Formuła, wtedy położenie ciała w zależności od amplitudy modulacyjnej i amplitudę drgań przestawiamy: Szablon:ElastycznyWiersz Energia modulacji jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy modulacji określoną w punkcie Szablon:LinkWzór jest określona w zależności od czasu i częstotliwości drgań podstawowych ωSzablon:Sub i częstotliwości drgań wymuszonych: Szablon:CentrujWzór Gdy częstotliwość ω jest równa częstotliwości podstawowej ωSzablon:Sub, to wtedy położenie ciała Szablon:LinkWzór możemy napisać, korzystając z wiadomości o granicach na funkcjach trygonometrycznych znanych z analizy matematycznej: Szablon:CentrujWzór

Drgania niestacjonarne nietrwałe i jego dudnienie

Będziemy liczyli energię drgań niestacjonarnych od czasu w przypadku słabego tłumienia, zatem w takim wypadku czynnik eksponencjalny występujący we wzorze Szablon:LinkWzór w ciągu jednego okresu niewiele się zmienia, wtedy możemy rozważmy przypadek, gdy częstotliwość wymuszająca i drgań tłumionych są bardzo bliskie częstotliwości podstawowej ωSzablon:Sub, zatem prędkość masy M liczymy jako pochodna wspomnianego wzoru w postaci przybliżonego wzoru: Szablon:CentrujWzór Całkowita energia układu mechanicznego dla słabego tłumienia, piszemy przy pomocy prędkości drgań masy w zależności od czasu Szablon:LinkWzór i położenia drgań tej samej masy w zależności do czasu Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Funkcja kosinus mieści się w zakresie wartości od minus jedynki do jedynki, zatem kres dolny rozwiązania Szablon:LinkWzór jest: Szablon:CentrujWzór Kres górny rozwiązania Szablon:LinkWzór na podstawie własności funkcji kosinus rozważanej powyżej przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Szablon:Rysunek Według rysunku obok, gdy by nie było tłumienia, oscylacje były by draniami oscylatora harmonicznego i takie dudnienia zachodziły by bez końca. Przy istnieniu dudnienia układ swoją fazę oscylacji ustala do siły wymuszającej, by ostatecznie osiągnąć częstotliwość drgań oscylacji równą ω, a względna faza pomiędzy oscylatorem a siłą wymuszającą zostaje ustalona w taki sposób, by ilość energii dostarczonej do układu była równa energii traconej przez sam oscylator przez siłę oporu spowodowanej w równaniu Szablon:LinkWzór przy współczynniku tłumienia Γ.

Rezonans o dwóch stopniach swobody

Drgania wymuszone dwóch wahadeł wymuszonych

Szablon:Rysunek Równania ruchu drgań pierwszego i drugiego wahadła matematycznego, które są sprzężone ze sobą za pomocą sprężyny, do drugiej sprężyny jest podłączona siła, która zmienia się kosinusoidalnie z siłą FSzablon:Subcosωt, to równania ruchu takiego układu są przestawione: Szablon:CentrujWzór Możemy dodać i odjąć powyższe równanie układu równań, w ten sposób otrzymać układ następny równoważny do poprzedniego układu równań: Szablon:CentrujWzór Nasz układ posiada dwie częstotliwości podstawowe, które są przestawione w punkcie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór. Szablon:Rysunek Podamy teraz wzory na amplitudę elastyczną i absorpcyjną, wykorzystując przy okazji wzór Szablon:LinkWzór, którego amplituda A jest sumą dwóch amplitud absorpcyjnych podanych dla obu częstotliwości podstawowych Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór A amplituda elastyczna dla naszego układu zapisujemy podobnie jak przy amplitudzie absorpcyjnej podanej w punkcie Szablon:LinkWzór, która ta amplituda B jest sumą amplitud elastycznych dla obu drgań amplitud elastycznych podanych w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Drgania wymuszone układów izolowanych o wielu stopniach swobody

Wahadła sprzężone ze sobą w przybliżeniu ciągłości

Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek opisujemy przy pomocy równania Szablon:LinkWzór, które dla porządku dziennego jeszcze raz powtórzymy. Szablon:CentrujWzór Załóżmy, że funkcja ψSzablon:Sub jest wolno-zmienną funkcją n. Co wynika z tego, że wszystkie ciężarki znajdujące niemal blisko siebie wykonują w przybliżeniu te same drgania, zatem napiszmy teraz funkcją ψ dla n, n+1 i n-1: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór można otrzymać dwie następujące tożsamości, która ta pierwsza jest różnicą funkcji wychylenia od stanu równowagi dla n+1 i dla n, a ta druga różnica jest różnicą funkcji zależnej od n dla n i n-1: Szablon:ElastycznyWiersz Równości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy podstawić do równania różniczkowo-różnicowego Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymać tożsamość różniczkową drugiego stopnia, z której możemy wyznaczyć funkcję ψ, która jest rozwiązaniem równania opisującej ruch drgający: Szablon:CentrujWzór

Równanie Kliena-Gordona

Jeśli sobie obierzemy funkcję zależną od z i t, którą jest funkcja harmoniczna zależna od czasu, pomnożonej przez amplitudę zależną od z, to jego definicja: Szablon:CentrujWzór A jej drugie pochodne cząstkowe liczone względem czasu i położenia, których pierwsza jest wprost proporcjonalna do A(z), a druga do drugiej pochodnej zupełnej względem położenia kulki: Szablon:ElastycznyWiersz Wykorzystując tożsamości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór i podstawiając to wszystko do równości różniczkowej Szablon:LinkWzór, wtedy możemy napisać końcowe równanie na A(z): Szablon:CentrujWzór

Fale sinusoidalne

Fale sinusoidalne możemy opisać równaniem Szablon:LinkWzór dla której definicja stałej kSzablon:Sup, która jest wprost proporcjonalna do różnicy kwadratów częstotliwości kołowej drgań wymuszonej ω i częstotliwości podstawowej ωSzablon:Sub, podajemy w tej samej linijce oba równania, co równanie falowe: Szablon:ElastycznyWiersz wtedy A(z) jest kombinacją funkcji sinus i kosinus, których argumentem jest funkcja kz, którą piszemy przy pomocy stałej A i B: Szablon:CentrujWzór Stałe A i B występujące w równaniu Szablon:LinkWzór są to stałe opisywane przez warunki brzegowe.

Fale eksponencjalne

Są to fale opisywane na podstawie Szablon:LinkWzór, dla którego definicję stałej χSzablon:Sup, która jest wprost proporcjonalna do różnicy kwadratów częstotliwości kołowej podstawowej drgań ωSzablon:Sub i częstotliwości wymuszonej ω, które te związki podajemy w jednej i tej samej linijce co równanie różniczkowe drgań tejże opisywanej fali: Szablon:ElastycznyWiersz Rozwiązanie A(z), które jest rozwiązaniem Szablon:LinkWzór piszemy jako kombinacja funkcji eksponencjalnych, których pierwsza jest funkcja malejącą do zera, a druga rosnąca do nieskończoności dla "z" coraz większego: Szablon:CentrujWzór Stałe A i B występujące w równaniu Szablon:LinkWzór są stałe opisywane przez warunki brzegowe.

Związki dyspersyjne

Związki Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy zapisać na częstotliwość kołową drgań w zależności od częstotliwości kołowej drgań zależnych od czasu i stałej liczbie falowej "k" lub "χ", które te związki piszemy: Szablon:ElastycznyWiersz

Ośrodkiem dyspersyjnym nazywamy ośrodek w którym rozchodzą się fale sinusoidalne, a ośrodkiem reaktywnym nazywamy taki ośrodek, w którym rozchodzą się fale eksponencjalne. Ten sam ośrodek może być jednocześnie ośrodkiem dyspercyjnym lub reaktywnym dla różnych zakresów częstotliwości kołowej.

Wahadła matematycznych sprzężonych ze sobą przy pomocy jednakowych sprężynek

Równanie rózniczkowe różnicowe Szablon:LinkWzór możemy zapisać wprowadzając częstość kołową drgań podstawowych wahadła matematycznego ωSzablon:Sub, którym to w tym równaniu grupujemy wyrazy względem wyrazów z tym samym wskaźnikiem n: Szablon:CentrujWzór Wprowadźmy definicję wychylenia od stanu równowagi od czasu, która zależy od czasu, którą przestawiamy przy pomocy funkcji kosinus z argumentu ωt+φ, którą jest suma iloczynu częstotliwości kołowej przez czas "t" i przesunięcia fazowego φ, co ta funkcja trygonometryczna pomnożona jest przez amplitudę ASzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Wzór na wychylenia od stanu równowagi Szablon:LinkWzór podstawiamy do Szablon:LinkWzór, w ten sposób mamy równość na związek dyspersyjny na ω, wtedy: Szablon:CentrujWzór

Zakres dyspersyjny częstości

Amplituda ASzablon:Sub możemy przestawić jako kombinację funkcji sinus i kosinus względem argumentu kna, której definicja: Szablon:CentrujWzór Definicja amplitud ASzablon:Sub i ASzablon:Sub, na podstawie definicji ASzablon:Sub Szablon:LinkWzór (tylko we wzorze tym zamiast n podstawiamy kolejno n+1 i n-1) wykorzystując z twierdzenia o rozdzielności mnożenia względem dodawania, by później było można zastosować twierdzenie od kosinusie sumy i kosinusie różnicy dla tych amplitud: Szablon:ElastycznyWiersz Zapiszmy sumę amplitud ASzablon:Sub i ASzablon:Sub, możemy je zapisać przy wykorzystaniu tożsamości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy ASzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Obliczenia Szablon:LinkWzór podstawiamy do Szablon:LinkWzór przy wykorzystaniu tożsamości trygonometrycznych na kątach połówkowych, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór

Dolny zakresy reaktywny częstości

Amplitudę ASzablon:Sub dla zakresu reaktywnego możemy przestawić jako kombinację funkcji eksponencjalnych z argumentów różniących się znakiem w postaci: Szablon:CentrujWzór Wtedy suma amplitud ASzablon:Sub i ASzablon:Sub możemy opisać przy wykorzystaniu tożsamości Szablon:LinkWzór, by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy ASzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Obliczenia Szablon:LinkWzór możemy podstawić do równości Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymać tożsamość matematyczną, do którego wykorzystamy definicję funkcji hiperbolicznych: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór możemy zapisać w formie podobnej do Szablon:LinkWzór przy wykorzystaniu tożsamości na funkcjach hiperbolicznych, którego zapis w formie bardziej uproszczonej: Szablon:CentrujWzór

Górny zakres reaktywny

Przyjmijmy, że amplituda jest opisywana przez zygzakowatą (przemienną) falę eksponencjalną, której definicja: Szablon:CentrujWzór Wtedy suma amplitud ASzablon:Sub i ASzablon:Sub możemy zapisać przy wykorzystaniu tożsamości Szablon:LinkWzór, by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy ASzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Obliczenia Szablon:LinkWzór możemy podstawić do równości Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymać tożsamość, do którego wykorzystamy definicję funkcji hiperbolicznych z znanej analizy matematycznej, doprowadzając końcowe równanie do postaci bardziej uproszczonej: Szablon:CentrujWzór