Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Dziedzina funkcji

Własności funkcji

Szablon:Indeksuj Dla każdej funkcji możemy podać jej własności. Są nimi:

• dziedzina funkcji
• zbiór wartości funkcji
• miejsca zerowe funkcji
• zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest dodatnia
• zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest ujemna
• monotoniczność
• najmniejsza i największa wartość funkcji
• różnowartościowość
• parzystość
• nieparzystość
• okresowość
• wartości funkcji

Dziedzina funkcji

Dziedzinę funkcji f najczęściej oznaczamy przez $D_f$.

Wyznaczanie dziedziny funkcji

Podczas wyznaczania dziedziny funkcji musimy pamiętać, że:

• dzielenie przez zero jest niewykonalne, w przypadku ułamka mianownik musi być różny od 0,
• liczba podpierwiastkowa nie może być ujemna
• liczba podpierwiastkowa w mianowniku pewnego ułamka musi być liczbą dodatnią

Kiedy wyznaczamy dziedzinę pewnej funkcji, staramy się patrzeć prościej na to, co widzimy. Czyli kiedy zobaczymy taki prosty wzór:

$f(x)=\frac{x^2}{x+2}$

Nasz tok rozumowania będzie wyglądał tak:

1. Jest to po prostu ułamek $\frac{a}{b}$, dlatego mianownik (czyli b) ma być różny od zera
2. Zauważamy, że $a=x^2$. Zastanawiamy się, czy jest tu jakiś ułamek lub pierwiastek, lecz na szczęście nie ma. Zatem w tym przypadku $x\in ℝ$
3. Patrzymy na mianownik. Mamy $b=x+2$. Niestety, ponieważ jest to mianownik (pamiętamy „nigdy cholero nie dziel przez zero!”), musimy założyć, że $b\ne 0$, czyli $x+2\ne 0⟹x\ne -2$.
4. Na koniec podsumowujemy wszystko. Czyli odrzucamy wszystkie x, które zostały odrzucone w którymś punkcie. Czyli otrzymujemy $x\ne -2$, zatem dziedziną będzie $D_f=R\mathrm{\setminus }\{-2\}$.

Spójrzmy teraz na bardziej skomplikowany

$f(x)=\frac{{\sqrt{x-3}}^2}{\sqrt{x}(x-4)(x-3)}$

I znowu banał...

1. Mamy ułamek $\frac{a}{b}$, gdzie a może być dowolne, a b różne od zera
2. Patrzymy na licznik a. I znowu mamy $a=c^2$. Ponieważ kwadraty nas nie interesują, nie wpływają na dziedzinę funkcji patrzymy na c:
   • No i mamy $c=\sqrt{x-3}$. Wiemy, że liczba podpierwiastkowa (w tym przypadku $x-3$) musi być nieujemna, więc rozwiązujemy nierówność x $x-3\ge 0$ i po prostym przekształceniu otrzymujemy $x\ge 3$
3. Teraz patrzymy na mianownik $b=d\cdot e\cdot f$, który ma być różny od 0. Wykorzystujemy własność mówiącą, że iloczyn pewnych liczb wynosi zero, gdy któraś z tych liczb jest równa 0. Czyli w skrócie $d\cdot e\cdot f=0⟺d=0\vee e=0\vee f=0$. I rozwiązujemy, wykluczając te liczby:
   • $d=0⟹\sqrt{x}=0⟹x=0$
   • $e=0⟹x-3=0⟹x=3$
   • $f=0⟹x-4=0⟹x=4$

   Zatem $x\ne 0$, $x\ne 3$, $x\ne 4$. Ponadto, aby wyrażenie $\sqrt{x}$ miało sens, x nie może być liczbą ujemną, zatem $x\ge 0$.

4. I podsumowujemy: $x\ge 3$, $x\ge 0$, $x\ne 0$, $x\ne 3$, $x\ne 4$. Zatem $D_f=(3;+\mathrm{\infty })\mathrm{\setminus }\{4\}$.

Plik:Suma przedziałów (1).png

Przykład 1. Określmy dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{1}{x}$. Wyrażenie $\frac{1}{x}$ ma sens liczbowy jedynie wtedy, gdy $x\ne 0$, ponieważ gdyby x było równe zeru musielibyśmy wykonać dzielenie przez 0, a wszyscy dobrze wiemy, że nie wolno dzielić przez 0 (1:0 nie ma sensu liczbowego). Wobec czego możemy wywnioskować, że $D_f=ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}$.

Przykład 2. $f(x)=\frac{3x+2}{(x-1)(x-2)}$ Aby określić dziedzinę musimy wyznaczyć te wartości x, dla których mianownik jest równy 0, a następnie wykluczyć te liczby z dziedziny:

$(x-1)(x-2)=0$

z własności iloczynu wiemy, że iloczyn ma wartość zero, jeśli którykolwiek z czynników ma wartości zero. Wobec czego:

$x-1=0\text{ lub }x-2=0$

$x=1\text{ lub }x=2$

Czyli $D_f=ℝ\mathrm{\setminus }\{1,2\}$.

Przykład 3. $f(x)=\frac{2x+2}{\sqrt{x-2}}$ Ponieważ liczba podpierwiastkowa musi być liczbą nieujemną, ponadto mianownik nie może być równy zeru, więc liczba podpierwiastkowa musi być większa od zera. Czyli $x-2>0\Rightarrow x>2$, a wtedy $D_f=(2;+\mathrm{\infty })$.

Przykład 4. $f(x)=\frac{1}{x^2+4}$ Mianownik musi być różny od zera, wobec czego $x^2+4\ne 0\Rightarrow x^2\ne -4$. Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny (czyli zawsze $x^2\ge 0$), więc $x^2$ nigdy nie będzie równy liczbie -4. Otrzymujemy $D_f=ℝ$.

Szablon:Nawigacja