Matematyka dla liceum/Trygonometria/Miara łukowa kąta

Miara łukowa kąta

Szablon:Indeksuj Narysujmy okrąg o promieniu r, a na nim zaznaczmy łuk L, dla którego kąt środkowy oparty o ten łuk będzie wynosił $60^{\circ }$. Znajdźmy wzór na długość tego łuku.

Intuicyjnie długość łuku do obwodu okręgu jest równa mierze kąta w stopniach do $360^{\circ }$:

$\frac{L}{\text{Ob}}=\frac{60^{\circ }}{360^{\circ }}$

ponieważ $\text{Ob}=2\pi r$, otrzymujemy:

$\frac{L}{2\pi r}=\frac{60^{\circ }}{360^{\circ }}$

zatem:

$L=\frac{2\pi \cdot 60^{\circ }r}{360^{\circ }}=\left(\frac{2\pi \cdot 60^{\circ }}{360^{\circ }}\right)r$

Jak łatwo zauważyć wartość $\left(\frac{2\pi 60^{\circ }}{360^{\circ }}\right)$ nie zależy od promienia naszego okręgu, tylko od kąta, który tworzy nasz łuk. Wartość ta nazywana jest miarą łukową kąta dla kąta $60^{\circ }$. W ogólności wzór na długość łuku wyznaczonego przez kąt ${\phi }_{\circ }$ (wyznaczonego w stopniach) przybierze postać:

$L=\left(\frac{2\pi {\phi }_{\circ }}{360^{\circ }}\right)r=\left(\frac{\pi {\phi }_{\circ }}{180^{\circ }}\right)r$

Tak jak długość nie musi wyrażać się w metrach, tak też kąt nie musi wyrażać się w stopniach. Możemy wykorzystać inną jednostkę kąta, jakim jest radian. Wtedy wartość kąta jest wyrażana w tzw. mierze łukowej. Załóżmy, że kąt ${\phi }_{\circ }$ jest wyrażony w stopniach, $\phi$ w radianach, wówczas wartości tych kątów wiąże zależność:

$\phi =\frac{\pi {\phi }_{\circ }}{180^{\circ }}$

Jednostką miary łukowej jest radian, który w skrócie zapisywany jest przez rad. Często przy podawaniu kąta wyrażonego w mierze łukowej pomija się jednostkę np. zamiast $\frac{\pi }{2}\text{ rad}$ pisze się po prostu $\frac{\pi }{2}$.

Powróćmy znowu do wzoru na długość łuku L, tym razem jednak załóżmy, że kąt na którym jest oparty łuk jest wyrażony w radianach i wynosi $\alpha$. Wówczas wykorzystując zależność $\alpha =\frac{\pi \cdot {\alpha }_{\circ }}{180^{\circ }}$ otrzymujemy zależność:

$L=\frac{\pi \cdot {\alpha }_{\circ }}{180^{\circ }}r=\alpha r$

dzieląc obustronnie przez r otrzymujemy:

$\frac{L}{r}=\alpha$

Ten drugi wzór jest o wiele łatwiejszy do zapamiętania.

Zauważmy, że miara kąta pełnego wyrażonego w stopniach wynosi $360^{\circ }$, a w radianach $\frac{\pi \cdot 360^{\circ }}{180^{\circ }}\text{ rad}=2\pi \text{ rad}$. Zatem:

• $2\pi \text{ rad}=360^{\circ }$

• $\pi \text{ rad}=180^{\circ }$

• $\frac{\pi }{2}\text{ rad}=90^{\circ }$

• $\frac{\pi }{3}\text{ rad}=60^{\circ }$

• $\frac{\pi }{4}\text{ rad}=45^{\circ }$

• $\frac{\pi }{6}\text{ rad}=30^{\circ }$

Aby zamienić stopnie na radiany możemy wykorzystać wcześniej wzór:

$\text{radiany}=\frac{\text{stopnie}\cdot \pi }{180^{\circ }}$

(który był przedstawiony wcześniej, lecz w nieco innej postaci).

Odwrotnie, aby zamienić radiany na stopnie wykorzystujemy wzór:

$\text{stopnie}=\frac{\text{radiany}\cdot 180^{\circ }}{\pi }$

Możemy go otrzymać przekształcając poprzedni wzór.

Przykład 1 Zamieńmy miarę stopniową na miarę łukową

a) $30^{\circ }$

b) $45^{\circ }$

c) $150^{\circ }$

Wówczas możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:

$2\pi$ - $360^{\circ }$

$x$ - $30^{\circ }$

czyli:

$\frac{2\pi }{x}=\frac{360^{\circ }}{30^{\circ }}$

$x=\frac{2\pi \cdot 30^{\circ }}{360^{\circ }}$

$x=\frac{\pi }{6}$

II sposób, wykorzystując wzór:

$x=\frac{30^{\circ }\pi }{180^{\circ }}$

$x=\frac{\pi }{6}$

b) $x=\frac{45^{\circ }\pi }{180^{\circ }}=\frac{\pi }{4}$

c) $x=\frac{150^{\circ }\pi }{180^{\circ }}=\frac{5\pi }{6}$

Przykład 2 Zamieńmy miarę łukową na miarę stopniową

a) $\frac{\pi }{10}$

b) $\frac{2\pi }{3}$

b) $\frac{9\pi }{5}$

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:

$2\pi$ - $360^{\circ }$

$\frac{\pi }{10}$ - $x$

zatem:

$\frac{2\pi }{\frac{\pi }{10}}=\frac{360^{\circ }}{x}$

$20=\frac{360^{\circ }}{x}$

$20x=360^{\circ }$

$x=18^{\circ }$

II sposób, wykorzystując wzór:

$x=\frac{\frac{\pi }{10}\cdot 180^{\circ }}{\pi }=18^{\circ }$

b) $x=\frac{\frac{2\pi }{3}\cdot 180^{\circ }}{\pi }=120^{\circ }$

c) $x=\frac{\frac{9\pi }{5}\cdot 180^{\circ }}{\pi }=36^{\circ }\cdot 9=324^{\circ }$

Szablon:Nawigacja