Algebra abstrakcyjna/Grupy - podstawy
Grupy - podstawy
Definicja grupy
Grupą nazywamy parę (G,*), gdzie G jest dowolnym zbiorem niepustym, a * jest działaniem w zbiorze G spełniającym warunki:
- (G1) działanie * jest łączne;
- (G2) działanie * ma element neutralny;
- (G3) dla każdego elementu zbioru G istnieje element odwrotny.
Grupa abelowa
Grupę (G,*) nazywamy grupą abelową, jeśli działanie * jest przemienne.
Rząd grupy; grupa skończona
Niech G będzie grupą. Jeśli zbiór G jest skończony, to grupę G nazywamy skończoną, a liczbę elementów zbioru G nazywamy rzędem grupy G i oznaczamy przez |G|. Jeśli zbiór G jest nieskończony, to mówimy, ze grupa G jest nieskończona lub też, że grupa G ma rząd nieskończony. Piszemy wtedy |G|=∞.
Grupa przekształceń
Def.
Grupa symetryczna
Grupą symetryczną (grupą symetrii, grupą permutacji) zbioru X nazywamy zbiór wszystkich bijekcji z X na X z działaniem składania funkcji. Grupę tę oznaczamy zazwyczaj przez .