Analiza matematyczna/Układy równań różniczkowych/Przykład 5.1

Dany jest układ równań:

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)=-y+z\\ y^{\prime }(t)=z\\ z^{\prime }(t)=-x+z\end{array}$

W zapisie macierzowym ${𝕏}^{\prime }=𝔸\cdot 𝕏$ powyższy układ wygląda następująco:

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 0& 0& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$

Jest to układ równań liniowych jednorodny z trzema niewiadomymi funkcjami $x(t)$, $y(t)$ oraz $z(t)$, zależnymi od jednej zmiennej niezależnej $t$.

Wartości własne macierzy współczynników

Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia wartości własnych $\lambda$ macierzy $𝔸$:

$det[𝔸-\lambda I]=0$

$det\left[\begin{array}{ccc}-\lambda & -1& 1\\ 0& -\lambda & 1\\ -1& 0& 1-\lambda \end{array}\right]=$

szukany wyznacznik macierzy ma postać:

$=({\lambda }^2(1-\lambda )+1+0)-(\lambda +0+0)=$

$={\lambda }^2(1-\lambda )+1-\lambda =$

$=(1-\lambda )({\lambda }^2+1)$

Zatem rozwiązaniem równania:

$(1-\lambda )({\lambda }^2+1)=0$

są liczby ${\lambda }_1=1$, ${\lambda }_2=i$ oraz ${\lambda }_3=-i$

Rzeczywiste wartości własne

Szukamy wektorów własnych $ℂ$ odpowiadających rzeczywistej 1-krotnej wartości własnej ${\lambda }_1=1$.

$[𝔸-{\lambda }_{1}I]\cdot ℂ=0$

zatem:

$\left[\begin{array}{ccc}-{\lambda }_1& -1& 1\\ 0& -{\lambda }_1& 1\\ -1& 0& 1-{\lambda }_1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

następnie:

$\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ 0& -1& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

co ostatecznie daje układ równań:

$\{\begin{array}{c}-c_1-c_2+c_3=0\\ -c_2+c_3=0\\ -c_1=0\end{array}$

Z ostatniego równania mamy $c_1=0$. Podstawiając tę wartość do równania pierwszego, otrzymamy, że $c_2=c_3=s$, gdzie $s$ jest dowolnym parametrem. Podsumowując, otrzymamy:

$\{\begin{array}{c}{c}_1=0\\ c_2=s\\ c_3=s\end{array}$

co w zapisie wektorowym wygląda następująco:

$C_{{\lambda }_1=1}=\left[\begin{array}{c}0\\ s\\ s\end{array}\right]$ $=s\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

Zespolone wartości własne

Szukamy wektorów własnych $ℂ$ odpowiadających zespolonej 1-krotnej wartości własnej ${\lambda }_2=i$ wraz z rozwiązaniem sprzężonym do niej ${\lambda }_3=-i$.

W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną wartość własną ${\lambda }_3=-i$ bez żadnych negatywnych skutków dla wyniku ostatecznego.

$[𝔸-{\lambda }_{2}I]\cdot ℂ=0$

zatem:

$\left[\begin{array}{ccc}-{\lambda }_2& -1& 1\\ 0& -{\lambda }_2& 1\\ -1& 0& 1-{\lambda }_2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}-i& -1& 1\\ 0& -i& 1\\ -1& 0& 1-i\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

co ostatecznie daje układ równań:

$\{\begin{array}{c}-i{c}_1-c_2+c_3=0\\ -i{c}_2+c_3=0\\ -c_1+(1-i)c_3=0\end{array}$

Z drugiego równania wyznaczamy $c_3=i{c}_2=s$, gdzie s jest dowolnym parametrem rzeczywistym. Z powyższej zależności oraz z równania pierwszego wyznaczymy współrzędne wektora własnego odpowiadającego parze sprzężonych zespolonych wartości własnych.

$\{\begin{array}{c}{c}_1=(1-i)s\\ c_2=-is\\ c_3=s\end{array}$

co w zapisie wektorowym wyrazimy jako

${ℂ}_{{\lambda }_2=i}=s\left[\begin{array}{c}1-i\\ -i\\ 1\end{array}\right]$