Analiza matematyczna/Granica funkcji

Granica funkcji

Szablon:Mat:Def Jeżeli funkcja $f(x)$ ma granicę $g$ w punkcie $x_0$, piszemy: $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=g$.

Najczęściej używane są dwie formalne definicje granicy funkcji, definicja Heinego i definicja Cauchy'ego. Są one równoważne. Szablon:Mat:Def

Jeżeli $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }$, mówimy, że w punkcie $x_0$ funkcja $f(x)$ ma granicę niewłaściwą.

Granice jednostronne funkcji

Granicę $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ nazywamy również granicą obustronną funkcji. Niekiedy będziemy rozpatrywać również granice jednostronne funkcji.

Przyjrzyjmy się granicy funkcji $f(x)=\frac{1}{x}$ w punkcie $0$. Posługując się definicją Heinego, znajdziemy ciąg $(x_n)$ zbieżny do $0$. Najprostszym takim ciągiem będzie $(a_n)=\frac{1}{n}$. Zauważmy, że:

$\underset{a_n\to 0}{\lim }f(a_n)=\underset{a_n\to 0}{\lim }\frac{1}{a_n}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }n=+\mathrm{\infty }$

Posłużmy się jednak teraz ciągiem $(b_n)=-\frac{1}{n}$, również zbieżnym do $0$:

$\underset{b_n\to 0}{\lim }f(b_n)=\underset{b_n\to 0}{\lim }\frac{1}{b_n}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }-n=-\mathrm{\infty }$

Widzimy, że wyznaczone granice różnią się. Oznacza to, że granica obustronna funkcji $f(x)$ nie istnieje. W takich przypadkach będziemy wyznaczać granicę lewostronną oraz granicę prawostronną funkcji. Szablon:Mat:Def Granicę lewostronną funkcji $f(x)$ w punkcie $x_0$ zapisujemy $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$, granicę prawostronną zaś zapisujemy $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$. Szablon:Mat:Tw

Przyjrzenie się wykresowi funkcji $f(x)=\frac{1}{x}$ może pomóc w zrozumieniu pojęcia granicy jednostronnej. Szablon:Centruj Im bardziej zbliżamy się do zera z lewej strony na osi poziomej, tym bardziej funkcja maleje, dlatego granicą lewostronną funkcji będzie $-\mathrm{\infty }$. Jeżeli będziemy natomiast zbliżać się do zera z prawej strony, funkcja będzie nieskończenie rosnąć, widzimy więc, że granicą prawostronną będzie $+\mathrm{\infty }$.

Zależności między granicami funkcji

Dla granic funkcji zachodzą podobne zależności, co dla granic ciągu. Szablon:Mat:Tw

Rozpatrzmy dla przykładu granicę funkcji $f(x)=\frac{(x-2{)}^2}{\cos (\pi x)}$ w 1:

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-2{)}^2}{\cos (\pi x)}=\frac{\underset{x\to 1}{\lim }(x-2{)}^2}{\underset{x\to 1}{\lim }\cos (\pi x)}=\frac{(1-2{)}^2}{\cos (\pi \cdot 1)}=\frac{(-1{)}^2}{\cos (\pi )}=\frac{1}{-1}=-1$.

Twierdzenie o trzech funkcjach

Spróbujmy znaleźć granicę $\underset{x\to 0}{\lim }x\sin (\frac{1}{x})$. Kuszące mogłoby się wydawać zastosowanie zależności:

$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin (\frac{1}{x})=\underset{x\to 0}{\lim }x\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\sin (\frac{1}{x})$.

Jednak granica $\underset{x\to 0}{\lim }\sin (\frac{1}{x})$ nie istnieje. Czy wobec tego granicy $\underset{x\to 0}{\lim }x\sin (\frac{1}{x})$ również nie możemy wyznaczyć?

Znane jest nam już twierdzenie o trzech ciągach. Istnieje analogiczne twierdzenie o trzech funkcjach, którym możemy się tu posłużyć. Szablon:Mat:Tw

Zastanówmy się nad zadaniem jeszcze raz. Wiemy, że największą wartością funkcji $\sin (x)$ będzie 1, a najmniejszą będzie −1; inaczej mówiąc, $-1⩽\sin (x)⩽1$. Podstawiając owe wartości za $\sin (\frac{1}{x})$, otrzymujemy dwie granice: $\underset{x\to 0}{\lim }=-x$ oraz $\underset{x\to 0}{\lim }=x$.

Ponieważ granice obu funkcji równe są 0, możemy wnioskować, że:

$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin (\frac{1}{x})=\underset{x\to 0}{\lim }-x=\underset{x\to 0}{\lim }x=0$.

Szablon:Nawigacja