Szczególna teoria względności/Równoważności macierzy transformacji

Tutaj będziemy się zajmowali przejściem, ze szczególnego przypadku macierzy transformacji do postaci ogólnej w teorii transformacji Galileusza (mechanika Newtona) i Lorentza (szczególna teoria względności). Tym szczególnym przypadkiem macierzy transformacji Galileusza i Lorenzta jest macierz transformacji dla układów o osiach równoległych względem siebie starego i nowego układu odniesienia prostokątnego z prędkością nowego układu odniesienia równoległą do osi OX starego układu odniesienia.

Teoria transformacji Lorentza

Napiszmy macierz transformacji Szablon:Formuła, którą nazwiemy Szablon:Formuła, która przedstawia transformacje z układu odniesienia starego do nowego układu współrzędnych, wiedząc, że nowy układ odniesienia porusza się równoległe wzdłuż osi OX względem starego układu odniesienia, nowy układ odniesienia jest równoległy do starego układu, ale oba układy są prostokątne, wtedy mamy prędkość Szablon:Formuła, a macierz transformacji piszemy: Szablon:CentrujWzór Napiszmy macierz transformacji z układu prostokątnego do innego układu odniesienia wiedząc, że oba układy odniesienia ogólnie nie są do siebie równoległe, także wiemy że Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, zatem: Szablon:CentrujWzór Postać macierzy transformacji Szablon:Formuła jest oczywista bo oba układy się nie poruszają się, wtedy Szablon:Formuła, a transformacja położeń Szablon:Formuła na Szablon:Formuła jest taka sama jak w teorii transformacji Galileusza. Zatem macierz transformacji z układu starego do nowego przedstawiamy: Szablon:CentrujWzór Otrzymaliśmy macierz transformacji Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, gdy oba układy są równoległe względem siebie, a nowy układ odniesienia nie równolegle się porusza względem osi OX starego układu odniesienia. Policzmy wyznacznik macierzy trasformacji Szablon:LinkWzór, wtedy na podstawie własności na wyznacznikach: Szablon:CentrujWzór Napiszmy macierz transformacji, gdy nowy układ odniesienia nie tylko równoległe się nie porusza wzdłuż osi OX starego układu odniesienia, ale oba układy nie są takie same, wtedy możemy napisać ogólną transformację z układu starego do nowego (wiedząc, że Szablon:Formuła w Szablon:LinkWzór jest inne niż powyżej, tzn. w Szablon:LinkWzór): Szablon:CentrujWzór Wzór na macierz transformacji na Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór jest taki sam jak wzór na taką samą macierz Szablon:LinkWzór. Zatem postać szczególna macierzy transformacji Szablon:LinkWzór jest szczególnym przypadkiem macierzy transformacji Szablon:LinkWzór i szczególny przypadek tej macierzy jest zgodny z jej ogólną postacią na podstawie wcześniejszych obliczeń. Policzmy macierz transcformacji macierzy Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór Ale ponieważ wyznacznik macierzy Szablon:Formuła jest równy wyznacznikowi macierzy Szablon:Formuła, a wyznacznik ten wcale nie jest równy zero, zatem wyznacznik macierzy Szablon:Formuła, a zarazem Szablon:Formuła, nie są macierzami osobliwymi.

Teoria transformacji Galileusza

Napiszmy macierz transformacji Szablon:Formuła, którą nazwiemy Szablon:Formuła która przedstawia transformacje z układu odniesienia starego do nowego układu współrzędnych, wiedząc, że nowy układ odniesienia porusza się równoległe wzdłuż osi OX względem starego układu odniesienia, nowy układ odniesienia jest równoległy do starego układu, ale oba układy są prostokątne, wtedy mamy prędkość Szablon:Formuła, a macierz transformacji piszemy: Szablon:CentrujWzór Macierz transformacji z układu prostokątnego do innego układu odniesienia wiedząc, że oba układy odniesienia ogólnie nie są do siebie równoległe, także wiemy że Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, zatem postać transformacyjna z wektora Szablon:Formuła do Szablon:Formuła przedstawiamy wzorem Szablon:LinkWzór. Macierz transformacji z jednego układu do drugiego przedstawiamy: Szablon:CentrujWzór Wyznacznik macierzy transformacji w teorii transformacji Galileusza jest taki sam jak w teorii transformacji Lorenzta i dowód przebiega podobnie jak Szablon:LinkWzór, więc: Szablon:CentrujWzór Rozszerzmy wzór na macierz transformacji transformującą jeden dowolny układ odniesienia na drugi dowolny wiedząc, że Szablon:Formuła na górze (tzn.: Szablon:LinkWzór) jest inne niż na dole (tzn.: Szablon:LinkWzór), wtedy: Szablon:CentrujWzór Stąd macierz transformacji Szablon:LinkWzór jest taka sama jak w punkcie Szablon:LinkWzór i ta macierz jest przybliżeniem dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła macierzy Szablon:LinkWzór. Wyznacznik macierzy Szablon:LinkWzór liczmy podobnie jak w punkcie Szablon:LinkWzór, czyli: Szablon:CentrujWzór