Szczególna teoria względności/Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu

Będziemy się tutaj zajmowali lokalną zachowawczością tensora gęstości energii (masy) - pędu kinematycznego. Będziemy się zajmowali układem rozciągłym materii, na którą w każdym punkcie tego ośrodka działa nieskończenie mały tensor siły zewnętrznej niekoniecznie równy zero.

Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny i jego lokalną zachowawczość w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny definiujemy w taki sposób dla obu sygnatur (sygnatura dodatnia znak u góry, a sygnatura ujemna u dołu): Szablon:CentrujWzór Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny Szablon:LinkWzór w układzie globalnie (lokalnie) płaskim globalnie (lokalnie) spoczynkowym przedstawia się ogólnie jako macierz o elementach tylko diagonalnych w przestrzeni n-wymiarowej: Szablon:CentrujWzór W tym układzie mogą występować gęstości tensorów sił wynikających z ciśnienia i gęstość tensorów sił zewnętrznych, stosując to do praw dynamiki dla ruchu płynu Szablon:LinkWzór mamy dla niego równość dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, czyli: Szablon:CentrujWzór

• gdzie Szablon:Formuła jest to nieskończenie mała objętość spoczynkowa w przestrzeni zwykłej n-wymiarowej.

A stąd wykorzystując Szablon:LinkWzór (zerowa współrzędna gęstości tensora siły) i Szablon:LinkWzór (wzór na tensor siły) w układach globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych do policzenia następnego związku wiedząc, że współrzędne czasowe jakikolwiek gęstości tensorów sił, które po policzeniu są równe zero na podstawie tego, że Szablon:Formuła, mamy: Szablon:CentrujWzór Równości tensorowe Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy zapisać w postaci jednego ogólnego wzoru tensorowego słuszne jedynie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych przy tensorze metrycznym Minkowskiego Szablon:Formuła równym Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór jest słuszny tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, ale uogólnijmy ten wzór dla dowolnych prędkości mniejszych od prędkości światła w układach globalnie (lokalnie) płaskich wiedząc, że prawa i lewa strona równości Szablon:LinkWzór jest tensorem w tym celu wymnóżmy prawą i lewą stronę równości tej przez Szablon:Formuła, wtedy: Szablon:CentrujWzór

• gdzie Szablon:Formuła jest to nieskończenie mała objętość ogólnie niespoczynkowa w przestrzeni zwykłej n-wymiarowej.

Dowolność tensora gęstości energii(masy)-pędu w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona

Będziemy tutaj przedstawiać, że stała Szablon:Formuła w równaniu Hilberta-Einsteina w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona jest równa tam zero, a tensor Einsteina w tych teoriach jest dokładnie równy zero. Powiemy, że stała kosmnologiczna Szablon:Formuła jest równa zero dla dowolnego Szablon:Formuła.

Dowód z teorii lagrangianowej z równania Eulera-Lagrange'a

Weźmy gęstość lagrangianu przestrzennego, który zdefiujemy w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona w postaci: Szablon:CentrujWzór

• Podwójny znak w Szablon:LinkWzór został napisany ze zgodnością z ogólną teorią względności dotyczący równania Hilberta-Einsteina.

Wtedy całkowita gęstość lagrangianu jest sumą gęstości lagrangianu przestzrennego Szablon:LinkWzór i masowego, co zapisujemy rachunkiem: Szablon:CentrujWzór Całkowity lagrangian jest całką obietościową z gęstości lagrangianu całkowitego po całej czasoprzestrzeni (n+1)-wymiarowej (jeden wymiar czasowy i Szablon:Formuła przestrzennych), z którego napiszemy całkę działania w teorii lagrangianowej, wtedy: Szablon:CentrujWzór Weźmy równanie Eulera-Lagrange'a, dla całki działania Szablon:LinkWzór, w postaci: Szablon:CentrujWzór Równanie, które wynika z równania Eulera-Lagrangian Szablon:LinkWzór ma się po podstawieniu do niej za całkowitą gęstość lagrangianu Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

• Gdzie Szablon:Formuła to wymiar przestrzeni zwykłej w czasoprzestrzeni słabozakrzywionej uważanych za płaskie we współrzędnych uogólnionych (krzywoliniowych).

Po podzieleniu obustronnie równości Szablon:LinkWzór przez pierwiastek modułu wyznacznika macierzy tensora metrycznego wziętej z minusem, czyli Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Po przegrupowaniu wyrazów w Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Następnie podzielmy ostatnią równość, czyli zapisaną w punkcie Szablon:LinkWzór, przez Szablon:Formuła, otrzymujemy dla sygnatury dodatniej: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest napisane dla sygnatury dodatniej, a dla obu sygnatur piszemy: Szablon:CentrujWzór Weźmy definicę tensora gęstości energii(masy)-pędu z Szablon:LinkWzór, wtedy równanie Hilberta-Einsteina możemy przepisać: Szablon:CentrujWzór W równaniu Szablon:LinkWzór, aby tensor gęstości energii(masy)-pędu był dowolny, to musi zachodzić Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, stąd w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona tensor gęstości energii(masy)-pędu jest dowolny.

Dowód mechaniczny z teorii całki z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa

Załóżmy, że w tensorze gęstości energii(masy)-pędu są uwzględnione wszystkie siły, wtedy z Szablon:LinkWzór, ale napisane dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, mamy, że Szablon:Formuła, wtedy napiszmy: Szablon:CentrujWzór Końcowy wniosek w Szablon:LinkWzór jest równoważny z Szablon:LinkWzór, a więc dla tego równania zachodzą te same wnioski, co dla poprzedniego, bo te dwa wzory z definicji rachunku tensorowego są ze sobą równoważne.

Tensor gęstości energii(masy)-pędu, a różniczka wielkości wskaźnikowej siły zewnętrznej w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona

Weźmy wzór z szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona, czyli Szablon:LinkWzór, i napiszmy je w wersji z wielkością wskaźnikową siły zewnętrznej dla układów ortonormalnych, wtedy rózniczka tej siły jest napisana dla wersji ogólnej tensora gęstości energii(masy)-pędu nie tylko kinematycznego: Szablon:CentrujWzór Końcowy wzór w Szablon:LinkWzór jest wielkością wskaźnikową różniczki siły działająca na (n+1)-wymiarową (n - wymiar przestrzeni zwykłej czasoprzestrzeni Minkowskiego) nieskończenie małą powierzchnię w czesoprzestrzeni według szczególnej teorii względności. Pierwszy wzór w Szablon:LinkWzór przedstawia wzór na różniczkę siły zewnętrznej działającej na infinitezymalną objętość, a drugi na infinitezymalną powierzchnię, i dlatego one nie są równoważne, ale drugi tam wzór wynika z pierwszego. Końcowy wzór Szablon:LinkWzór jest odpowiednikiem różniczki wektora siły pochodzącej od ciśnienia Szablon:Formuła działającą na nieskończenie małą powierzchnię Szablon:Formuła, czyli wzoru Szablon:FormułaSzablon:Patrz. Porównując wniosek Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkPatrz, wtedy otrzymujemy, że: Szablon:CentrujWzór

• gdzie w Szablon:LinkWzór jest to μ-ty wersor Szablon:Formuła bazy układu współrzędnych czasoprzestrzeni tworzący wraz z Szablon:Formuła wektor w danym punkcie prostopadły, do powierzchni, w kierunku Szablon:Formuła na zewnątrz tej powierzchni o punkcie zaczepienia na niej, a liczba ogólna Szablon:Formuła to jest wymiar przestrzeni zwykłej w czasoprzestrzeni.

Na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór otrzymujemy wzór Szablon:LinkPatrz na prawo Pascala, przy czym w Szablon:LinkWzór wielkość na ciśnienie Szablon:Formuła jest inne niż występujące we ostatnim wzorze w Szablon:LinkWzór pod wielkością tensora gęstości energii(masy)-pędu, czyli w Szablon:Formuła, np. patrząc na Szablon:LinkWzór.

Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny

Tutaj przedstawimy wzór na tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny.

Szczególna teoria względności

W szczególnej teorii względności zachodzi wzór na tensor gęstości energii-pędu kinematyczny w postaci: Szablon:CentrujWzór

Mechanika Newtona

W mechanice Newtona zachodzi wzór na tensor gęstości masy-pędu kinematyczny, wiedząc definicję tensora Minkowskiego Szablon:LinkWzór i definicję macierzy iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej Szablon:Formuła w definicji macierzy iloczynu skalarnego w tensorze metrycznym Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, w postaci: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór (który wynika z postaci Szablon:LinkWzór i definicji tensora prędkości Szablon:LinkWzór wykorzystując Szablon:LinkWzór, który w prawie Szablon:LinkWzór w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości powoduje znikanie wyrazu Szablon:Formuła na podstawie twierdzenia Szablon:LinkTwierdzenie, bo oto dowód: Szablon:CentrujWzór Drugim argumentem w Szablon:LinkWzór przy pomijaniu wyrazu Szablon:Formuła według mechaniki Newtona wiedząc, że Szablon:Formuła (bo w mechanice Newtona występują małe ciśnienia), zachodzi: Szablon:CentrujWzór Stąd wniosek, że w mechanice Newtona ten rozważany wyraz w Szablon:LinkWzór należy pomijać, bo jest bardzo mały, zatem wzór na tensor gęstości masy-pędu kinematyczny Szablon:LinkWzór jest słuszny.

Przedstawienie lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Tutaj wyprowadzimy zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności

Zatem wzór Szablon:LinkWzór (ostatni wzór) jest spełniony nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, ale też dla układów, w których tensor gęstości energii-pędu kinematyczny przedstawia się wzorem Szablon:LinkWzór (patrz: Szablon:LinkWzór), czyli dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przy wielkości wskaźnikowej siły zdefiniowanej według Szablon:LinkWzór, w postaci: Szablon:CentrujWzór

Mechanika Newtona

Zatem wzór Szablon:LinkWzór (ostatni wzór) jest spełniony nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, ale też dla układów, w których tensor gęstości masy-pędu kinematyczny przedstawia się wzorem Szablon:LinkWzór (patrz: Szablon:LinkWzór), czyli dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przy wielkości wskaźnikowej siły zdefiniowanej według Szablon:LinkWzór wiedząc o zależności pomiędzy tensorem siły a wielkością wskaźnikową siły według wzoru Szablon:LinkWzór, w postaci: Szablon:CentrujWzór

Dowód lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznej dla układów słabozakrzywionych

Przedstawimy tutaj wzory na zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego dla układów słabozakrzywionych wynikłe ze wzorów dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności

Wzór Szablon:LinkWzór jest spełniony dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, ale go przepiszmy transformując go dla układów słabozakrzywionych, ale w wersji tensorowej z wersją z Szablon:Formuła, co uwodocznimy w rachunku dla układów globalnie (lokalnie) płaskich przechodząc z wersji z Szablon:Formuła do Szablon:Formuła wykorzystując w tym rachunku skrócenie długości Szablon:LinkWzór. Następnie przejdziemy tam do układów słabozakrzywionych, wtedy: Szablon:CentrujWzór W układach słabozakrzywionych pisząc bez nadkreśleń ostateczne prawo w Szablon:LinkWzór to prawo ma taką postać jak pierwszy wzór tam, bo skorzystaliśmy tutaj z prawa dla tego słusznego, tzn. Szablon:LinkWzór przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych.

Przepisując ostatni wzór w Szablon:LinkWzór bez nadkresleń nad tensorami i prędkością światła, wykorzystując procedurę Szablon:LinkProcedura dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne Szablon:LinkWzór (w tych układach symbole Christoffela uważamy za równe zero), dalej przechodząc z tych układów do układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych), a transformacja od Szablon:LinkWzór dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne do Szablon:LinkWzór opisywane przez układy słabozakrzywione uważane za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) tak samo się udowadnia jak w punkcie: Szablon:LinkWzór, tzn. tak samo się udowadnia jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego, stąd: Szablon:ElastycznyWiersz Wielkość Szablon:Formuła jest zdefiniowana w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne i płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) oraz ma tam taką samą wartość w nich.

A wiec wzór Szablon:LinkWzór spełnia układy słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, a Szablon:LinkWzór spełnia układy nie tylko słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale też układy słabozakrzywione uważane za układy płaskie krzywoliniowe lub układy płaskie we współrzędnych uogólnionych. Jeżeli gęstość tensorowych sił zewnętrznych jest równa zero to wtedy prawa Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór przedstawiają się kolejno dla układów uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne i krzywoliniowe (lub we współrzędnych uogólnionych): Szablon:ElastycznyWiersz Równości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór przedstawia lokalną zachowawczość tensora gęstości energii-pędu kinematycznego.

Mechanika Newtona

Wzór Szablon:LinkWzór jest spełniony dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, ale go przepiszmy transformując go dla układów słabozakrzywionych, wtedy: Szablon:CentrujWzór W układach słabozakrzywionych pisząc bez nadkreśleń ostateczne prawo w Szablon:LinkWzór to prawo ma taką postać jak pierwszy wzór tam, bo skorzystaliśmy tutaj z prawa dla tego słusznego, tzn. Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych.

Przepisując ostatni wzór w Szablon:LinkWzór bez nadkresleń nad tensorami, wykorzystując procedurę Szablon:LinkProcedura dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne Szablon:LinkWzór, tzn. uważając, że w tych układach symbole Christoffela za równe zero, dalej przechodząc z tych układów do układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych), a transformacja od Szablon:LinkWzór dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne do Szablon:LinkWzór opisywane przez układy słabozakrzywione uważane za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) tak samo się udowadnia jak w punkcie: Szablon:LinkWzór, tzn. tak samo się udowadnia jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego, stąd: Szablon:ElastycznyWiersz A wiec wzór Szablon:LinkWzór spełnia układy słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, a Szablon:LinkWzór spełnia układy nie tylko słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale też układy słabozakrzywione uważane za układy krzywoliniowe lub układy we współrzędnych uogólnionych. Jeżeli gęstość tensorowych sił zewnętrznych jest równa zero to wtedy prawa Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór przedstawiają się kolejno dla układów uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne i krzywoliniowe (lub we współrzędnych uogólnionych): Szablon:ElastycznyWiersz Równości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór przedstawia lokalną zachowawczość tensora gęstości masy-pędu kinematycznego.

Inny dowód lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego w układach słabozakrzywionych

Przedstawimy tutaj dowody na lokalną zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędy kinematycznego wynikłe z definicji tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego. Udowodnimy, do prawo dla mechaniki Newtona i Einsteina układów globalnie (lokalnie) płaskich, co na tej podstawie wiemy, że ono jestv również słuszne dla układów słabozakrzywionych.

Szczególna teoria względności

Policzmy wyrażenie tensorowe wykorzystując definicję tensora gęstości energii-pędu kinematycznego Szablon:LinkWzór. Przejdźmy do dowodu równania Szablon:LinkWzór (pierwsze równanie) wykorzystując lokalne prawo zachowania energii-pędu dla układów ogólnie słabozakrzywionych Szablon:LinkWzór (pierwsze równanie), zatem w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wykorzystując pochodną zupełną ciśnienia względem interwału czasoprzestrzennego według Szablon:LinkWzór i też stosując twierdzenie Szablon:LinkTwierdzenie pamiętając, że w układach globalnie (lokalnie) płaskich symbole Christoffela w nich są równe zero, a także ze wzoru na lokalną zasadę zachowania energii-pędu Szablon:LinkWzór. W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości całkując po infinitezymalnej objętości: Szablon:CentrujWzór Stosując definicję gęstości tensora siły w zależności od gęstości wielkości wskaźnikowej siły Szablon:LinkWzór, a więc obliczenia Szablon:LinkWzór przyjmują zapis: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór po przejściu do układów co najwyżej słabozakrzywionych jest takie same jak pierwsze równanie w Szablon:LinkWzór (pierwsze równanie), zatem to równanie jest prawdziwe również dla układów co najwyżej słabozakrzywionych.

Mechanika Newtona

Stosujemy lokalne prawo zachowania masy-pędu Szablon:LinkWzór (pierwsze równanie), definicję tensora prędkości Szablon:LinkWzór i definicję tensora gęstości masy-pędu kinematycznego Szablon:LinkWzór, a także twierdzenie Szablon:LinkTwierdzenie, i również ze wzoru na lokalną zasadę zachowania masy-pędu Szablon:LinkWzór. stąd obliczenia: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór po przejściu do układów co najwyżej słabozakrzywionych jest takie same jak pierwsze równanie w Szablon:LinkWzór (pierwsze równanie), zatem to równanie jest prawdziwe również dla układów co najwyżej słabozakrzywionych.