Szczególna teoria względności/Trzy zasady dynamiki Einsteina

Pierwsza i trzecia zasada dynamiki Einsteina

Pierwsza i trzecia zasada dynamiki Einsteina są powtórzeniem pierwszej i trzeciej zasady dynamiki Newtona.

Druga zasada dynamiki Einsteina - wersja wektorowa

Tutaj zajmiemy się drugą zasadą dynamiki Einsteina, wyprowadzeniem jej, także wyprowadzimy wzór na masę relatywistyczną i wzór na przyśpieszenie ciała znając siłę działającą na to ciało i jego prędkość.

Wyprowadzenie drugiej zasady dynamiki Einsteina

Tutaj wyprowadzimy wzór na drugą zasadę dynamiki w szczególnej teorii względności. Biorąc we wzorach Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór Szablon:Formuła, to wtedy możemy otrzymać zależność przyśpieszenia równoległego pomiędzy starym układem odniesienia a nowym, a w przypadku przyśpieszenia prostopadłego jest, gdy ciało porusza się z prędkością dążącą do Szablon:Formuła, co wtedy w starym układzie ciało porusza się z prędkością prostopadłą dążącą do zera lokalnie czasowo, zatem: Szablon:ElastycznyWiersz Policzmy, czemu jest równa siła w układzie Szablon:Formuła, korzystając ze wzoru na Szablon:Formuła, oraz zakładając, że siła Szablon:Formuła po rozłożeniu transformuje się ze współczynnikiem równym 1 do Szablon:Formuła, oraz do Szablon:Formuła transformuje się ze współczynnikiem równym Szablon:Formuła jak dowiedziemy poniżej, zakładając, że oba układy (stary i nowy układ odniesienia) są ogólnie nieprostokątne i ogólnie nierównoległe do siebie. Wprowadzimy tutaj dla prędkości dążących do zera wzór na wielkość tensora siły, z drugiej zasady dynamiki Newtona, którą przedstawimy jako nową siłę Szablon:Formuła w układzie Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Wiedząc, że Szablon:Formuła i Szablon:Formuła (dla teorii Newtona, która jest spełniona dla prędkości dążącej do zera) i Szablon:Formuła. Dalej wiemy, że Szablon:Formuła jest tensorem i interwały są niezmiennicze przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego według Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, to wtedy Szablon:Formuła jest tensorem, co stąd od tej chwili nową siłę nazwiemy tensorem siły. Możemy napisać wzory na tensor siły na podstawie, że Szablon:Formuła jest tensorem, bo wielkość różniczkowa Szablon:Formuła jest tensorem, w układzie, w którym ciało porusza się z dowolną prędkością mniejszą niż Szablon:Formuła wychodząc od układu Szablon:Formuła ze wzoru Szablon:LinkWzór, stąd w przestrzeni zwykłej dostajemy: Szablon:CentrujWzór Przy wyznaczania elementów przestrzennych tego tensora siły należy pamiętać, że Szablon:Formuła obieramy ze znakiem plus, a nie minus, bo Szablon:Formuła, zakładając, że siła przedstawia się wzorem w tym układzie: Szablon:CentrujWzór

• gdzie masa przedstawia się wzorem Szablon:Formuła, a pęd klasyczny formułą Szablon:Formuła.

To wtedy wzór na wektor tensora siły w przestrzeni zwykłej wychodzi: Szablon:CentrujWzór A także jeśli mamy prędkości dążące do zera punktu materialnego to powinno być Szablon:Formuła (co jest prawdą przy definicji Szablon:Formuła z plusem), to wzór na tensor siły dla jej elementów przestrzennych przechodzi w tensor siły o elementach przestrzennych dla prędkości dążącej do zera Szablon:Formuła, czyli w Szablon:LinkWzór, stąd definicja siły relatywistycznej Szablon:Formuła jest spójna dla prędkości ciała o prędkości mniejszej niż Szablon:Formuła. Możemy napisać wzór na tensor siły w układzie, w którym ciało porusza się z niezerową prędkością, mając macierz Szablon:Formuła napisaną wzorem Szablon:LinkWzór, wtedy tensor siły w układzie, w którym prędkość tego ciała dąży do zera, i transformację tej prędkości starego układu odniesienia inercjalnego do nowego też inercjalnego poruszającym się z prędkością względem starego układu odniesienia ogólnie różną zera, a w nowym układzie odniesienia poruszającą się z prędkością Szablon:LinkWzór, przedstawiamy: Szablon:CentrujWzór Policzmy nieoznaczoną całkę, która będzie nam potrzebna, by wyznaczyć końcową postać siły relatywistycznej występującego w szczególnej teorii względności. Szablon:CentrujWzór

A teraz przejdźmy do wyznaczania siły zapisanej pierwotnie w punkcie Szablon:LinkWzór przy pomocy obliczonej całki Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Aby wzór Szablon:LinkWzór był zgodny z definicją siły, tzn. Szablon:Formuła (co udowodniliśmy przed chwilą), wynikającą, że tensor siły jest tensorem, to musi zachodzić: Szablon:CentrujWzór Zatem wzór na interwał czasoprzestrzenny Szablon:Formuła, gdzie Szablon:Formuła jest napisane w Szablon:LinkWzór (wybieramy ze znakiem plus, znak minus jest niefizyczny ze względu dla dodatniej wartości różniczki czasu powinno wynikać dodatnia wartość różniczki interwału czasoprzestrzennego), zgadza się ze wzorem na interwał czasoprzestrzenny z Szablon:LinkWzór jaką przyjęliśmy wcześniej do definicji wektora tensora siły Szablon:LinkWzór w przestrzeni zwykłej.

Masa relatywistyczna

Pierwszy człon siły Szablon:Formuła, musimy przyjąć dla zgodności z mechaniką klasyczną i nazywać w nim pod różniczką w liczniku masą relatywistyczną pamiętając, że wybieramy Szablon:Formuła ze znakiem plus bo powinno zachodzić Szablon:Formuła, zatem wzór na masę relatywistyczną z definicji jej przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór

Przybliżenie małych prędkości w porównaniu z prędkością światła dla masy relatywistycznej

Do wyrażeń matematyczno-fizycznych zastosujmy przybliżenie nierelatywistyczne, tzn.: Szablon:Formuła, tzn. Szablon:LinkWzór, stosując: Szablon:CentrujWzór A Szablon:Formuła w Szablon:LinkWzór jest dowolną liczbą rzeczywistą, a znienna Szablon:Formuła spełnia warunek Szablon:Formuła. Dla małych prędkości masa relatywistyczna jest równa w przybliżeniu masie spoczynkowej, udowodnijmy to, zatem stosując Szablon:LinkWzór (przybliżenie) i warunek na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni Szablon:LinkWzór, co na podstawie transformacji masy spoczynkowej do relatywistycznej Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Siła styczna i dośrodkowa

Przy drugim członie w Szablon:LinkWzór przyjmowaliśmy Szablon:LinkWzór ze znakiem plus, czyli ten wzór na Szablon:Formuła zgadza się ze wzorem Szablon:LinkWzór (bo Szablon:Formuła jak przyjmowaliśmy przy wyprowadzaniu wzoru na siłę wiedząc, że druga zasada dynamiki Newtona jest spełniona dla prędkości dążących do zera) co teoria, którą chcemy wyprowadzić jest spójna, zatem relatywistyczna siła Szablon:LinkWzór na podstawie Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór

• gdzie r to jest promień krzywizny toru ciała poruszającego się po zakrzywionym torze.

Pęd relatywistyczny ciała

Zdefiniujmy pęd relatywistyczny posiadanej przez ciało poprzez iloczyn masy relatywistycznej Szablon:LinkWzór posiadanej przez ciało przez jego prędkość zgodnie co wcześniej podaliśmy wzór na wektor pędu przy założeniu, że prędkości nie muszą być dążące do zera, przy tym wiedząc, że współczynnik γ jest podany w punkcie Szablon:LinkWzór przy wyborze znaku na plus, a dlaczego tak robimy już to zostało udowodnione wcześniej, a więc: Szablon:CentrujWzór

Ogólny wzór na siłę relatywistyczną działającą na ciało

Siłę relatywistyczną Szablon:LinkWzór wykorzystując Szablon:LinkWzór możemy zapisać w formie skróconej jako pochodną zupełna pędu relatywistycznego względem czasu rzeczywistego w formie: Szablon:CentrujWzór Czyli ta definicja jest zgodna ze wzorem na siłę Szablon:Formuła jaką wcześniej obraliśmy, którą obraliśmy z definicji tensora siły dla jej elementów przestrzennych, zatem jeszcze raz mówiąc teoria cała jest spójna, którą chcemy wyprowadzić. Zgodnie z definicją tensora siły dla jej elementów przestrzennych wynika druga zasada dynamiki Einsteina z definicji tensora siły dla mechaniki Newtona. Znając wzór na pęd Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór przy założeniu, że znamy Szablon:Formuła wynikające ze wzoru Szablon:LinkWzór, co stąd możemy napisać wzór na siłę Szablon:LinkWzór z definicji siły dla dowolnych prędkości Szablon:Formuła. Wzór Szablon:LinkWzór jest również w przybliżeniu spełniony dla układów słabozakrzywionych na podstawie definicji tensora siły Szablon:LinkWzór i zależności pomiędzy wektorem tensora siły a wektorem siły przedstawia się w formie Szablon:LinkWzór, a także Szablon:LinkWzór, co zachodzi dla układów słabozakrzywionych.

Wzór na przyśpieszenie ciała znając siłę działająca na ciało i jego prędkość

Policzmy czemu jest równe wyrażenie, z którego chcemy otrzymać przyspieszenie ciała, przy czym będziemy korzystać Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór Stąd na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór dostajemy: Szablon:CentrujWzór Według wzoru Szablon:LinkWzór przyśpieszenie zależy od siły działającej na ciało, jego prędkości i masy relatywistycznej.

Zasada niezależności działania sił składowych ze sił wypadkowych, gdy każda z sił wypadkowych działa na to samo ciało poruszające się z taką samą prędkością

Jeżeli na ciało materialne będące punktowe działa kilka sił Szablon:Formuła, a siła wypadkowa jest Szablon:Formuła, to przyspieszenie wywołanej siłą wypadkową Szablon:Formuła jest równe sumie przyspieszeń wywołane przez siły składowe Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór