Wytrzymałość materiałów/Zadania

Wiadomości wstępne

Brak zadań

Ściskanie i rozciąganie pręta prostego

Statycznie wyznaczalne

Zadanie 2.1

Wyznaczyć minimalną średnicę pręta rozciąganego siłą osiową

P = 3000 N

, wiedząc że naprężenia dopuszczalne materiału z którego jest wykonany pręt wynoszą

k_{r} = 240 M P a

.

Rozwiązanie

Przekrojem pręta kołowego jest koło, więc pole powierzchni przekroju wyraża się wzorem:

A = π r^{2} = π {(\frac{d}{2})}^{2} = π \frac{d^{2}}{4}

zgodnie ze wzorem Szablon:LinkWzór otrzymujemy:

k_{r} \geq \frac{P}{A}

k_{r} \geq \frac{P}{π \frac{d^{2}}{4}}

k_{r} \geq \frac{4 P}{π d^{2}}

z ostatniego wzoru wyznaczamy średnicę:

d \geq \sqrt{\frac{4 P}{π k_{r}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 3000 N}{π \cdot 240 M P a}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 3000 N}{π 240 \frac{N}{m m^{2}}}}

d \geq 3, 99 m m

Odp: Pręt powinien mieć co najmniej

4 m m

średnicy.

Zadanie 2.2

Oblicz naprężenia i wydłużenie jakie wystąpi w pręcie stalowym o przekroju kołowym rozciągany siłą osiową.

Średnica

d = 4 m m

; długość

l = 2 m

; siła

P = 2000 N

; moduł Younga

E = 2, 1 \cdot 1 0^{5} M P a

Rozwiązanie

σ = \frac{P}{A} = \frac{4 P}{π d^{2}} = \frac{4 \cdot 2000}{π \cdot 4^{2}} = 159, 15 \frac{N}{m m^{2}} = 159, 15 M P a

Δ l = \frac{P l}{E A} = \frac{4 P l}{E π d^{2}} = \frac{4 \cdot 2000 \cdot 2000}{2, 1 \cdot 1 0^{5} \cdot π \cdot 4^{2}} = 1, 5 m m

Odp: Naprężenia wynoszą

159, 15 M P a

a pręt wydłuży się o

1, 5 m m

.

Zadanie 2.3

Oblicz składowe przemieszczeń punktu

C

dla układu pokazanego na rysunku obok obciążony siłą

P

. Oba pręty są zamocowane do ściany na podporze przegubowej stałej (punkty:

A; B

), oraz połączenie tych prętów jest przegubowe (punkt:

C

). Mamy daną długość pręta drugiego oraz kąt między prętem pierwszym a drugim.

Sztywność prętów wynosi

E A

.

Rozwiązanie

Z równań równowagi wyznaczyć należy składowe siły

P

działające na pręt ① i ②.

S_{1} = \frac{P}{s i n α}

S_{2} = - \frac{P}{s i n α} c o s α = - P c t g α

Znak minus w pręcie drugim oznacza że siła składowa

S_{2}

ściska pręt co prowadzi do skrócenia jego długości

Długości prętów są następujące:

①

= \frac{l}{c o s α}

②

= l

Wydłużenie pręta pierwszego zaznaczono na rysunku jako odcinek

\overline{C C_{1}}

wynosi:

Δ l_{1} = \frac{P l}{E A s i n α c o s α} = \frac{2 P l}{E A s i n 2 α}

Wydłużenie (skrócenie) pręta drugiego zaznaczono na rysunku jako odcinek

\overline{C C_{2}}

wynosi:

Δ l_{2} = \frac{- P c t g α l}{E A}

Pręt drugi skróci się oraz obróci się wokół punktu

B

. Gdy mamy do czynienia ze nieznacznymi zmianami wymiarów długości luk obrotu można zastąpić styczną

\overline{C_{2} C_{3}}

. Podobnie pręt pierwszy wydłuży się i obróci wokół punktu

A

, koniec pręta przesunie się wzdłuż prostej

\overline{D C_{3}}

. Punkt

C

przemieści się do punktu

C_{3}

czyli do przecięcia wyżej omawianych prostych. Składowa pozioma i pionowa przemieszczenia wynoszą:

f_{x} = Δ l_{2}

f_{y} = \overline{C_{2} D} c t g α

\overline{C_{2} D} = \overline{C_{2} C} + \overline{C D} = Δ l_{2} + \frac{Δ l_{1}}{c o s α}

f_{y} = Δ l_{2} c t g α + \frac{Δ l_{1}}{s i n α}

Zadanie 2.4

Oblicz o jaki kąt obróci się pręt drugi wokół punktu

C

dla układu pokazanego na rysunku obok obciążony siłą

P

. W tym przypadku należy przyjąć że jedynie pręt pierwszy jest rozciągany, natomiast pręt drugi jest nieważki i niepodatny na działanie siły

P

. Oba pręty są zamocowane do ściany na podporze przegubowej stałej (punkty:

B; C

), oraz połączenie tych prętów jest przegubowe (punkt:

D

).

Długość pręta pierwszego wynosi

l

, a jego sztywność

E A

Rozwiązanie

Siła rozciągająca pręt zależy od kąta między prętem pierwszym a drugim oraz od usytuowania połączenia przegubowego między prętami (punkt:

D

) czyli jakie są długości ramion dźwigni jednostronnej.

S = P \frac{\overline{A C}}{\overline{D C}} s i n α

Dla uproszczenia przyjmujemy że odcinek

\overline{A D} = a

natomiast odcinek

\overline{D C} = 2 a

, wtedy wydłużenie pręta wynosi:

Δ l = \overline{D D_{1}} = \frac{3}{2} \frac{P l}{E A s i n α}

Aby wyznaczyć kąt obrotu należy ustalić najpierw długość odcinka

\overline{D D_{2}}

\overline{D D_{2}} = \frac{Δ l}{s i n α}

t g φ = \frac{\overline{D D_{2}}}{\overline{C D}} = \frac{Δ l}{2 a s i n α} = \frac{3 P l}{4 a E A s i n^{2} α}

Statycznie niewyznaczalne

Zadanie 2.5

Obliczyć siły jakie występują w betonowej kolumnie ściskanej siłą osiową

P

rozłożoną równomiernie na całą powierzchnie. Słup jest o stałym polu przekroju

A

oraz posiada zbrojenie stalowymi prętami o stałym polu przekroju

A_{S}

.

Długość pręta wynosi

l

, natomiast moduł Younga dla betonu wynosi

E_{B}

a dla stali

E_{S}

.

Rozwiązanie

Dla przejrzystości wyznaczymy pole powierzchni betonu w przekroju kolumny

A_{B} = A - A_{S}

Siła ściskająca

P

filar rozkłada się na siłę ściskającą pręty stalowe

P_{S}

oraz na siłę ściskającą beton

P_{B}

P = P_{S} + P_{B}

(warunek równowagi)

Ponieważ pręty są zamurowane w betonie więc odkształcenie wzdłużne betonu i stali są jednakowe

Δ l_{S} = Δ l_{B}

(warunek nierozdzielności przemieszczeń -> warunek geometryczny)

Δ l_{S} = \frac{P_{S} l}{E_{S} A_{S}} Δ l_{B} = \frac{P_{B} l}{E_{B} A_{B}}

(warunki fizyczne)

\frac{P_{S} l}{E_{S} A_{S}} = \frac{P_{B} l}{E_{B} A_{B}}

Gdy mamy dwa równania i dwie niewiadome wyznaczamy siły działające na pręty stalowe i beton. Najpierw wyznaczymy siłę działającą na stal

P_{S} = P_{B} \frac{E_{S} A_{S}}{E_{B} A_{B}} = > P_{S} = (P - P_{S}) \frac{E_{S} A_{S}}{E_{B} A_{B}} = > P_{S} + P_{S} \frac{E_{S} A_{S}}{E_{B} A_{B}} = P \frac{E_{S} A_{S}}{E_{B} A_{B}} = > P_{S} (1 + \frac{E_{S} A_{S}}{E_{B} A_{B}}) = P \frac{E_{S} A_{S}}{E_{B} A_{B}}

P_{S} = P \frac{\frac{E_{S} A_{S}}{E_{B} A_{B}}}{1 + \frac{E_{S} A_{S}}{E_{B} A_{B}}}

Przy wyznaczaniu siły działającej na beton postępujemy analogicznie jak wyżej

P_{B} = P_{S} \frac{E_{B} A_{B}}{E_{S} A_{S}} = > P_{B} = (P - P_{B}) \frac{E_{B} A_{B}}{E_{S} A_{S}} = > P_{B} + P_{B} \frac{E_{B} A_{B}}{E_{S} A_{S}} = P \frac{E_{B} A_{B}}{E_{S} A_{S}} = > P_{B} (1 + \frac{E_{B} A_{B}}{E_{S} A_{S}}) = P \frac{E_{B} A_{B}}{E_{S} A_{S}}

P_{B} = P \frac{\frac{E_{B} A_{B}}{E_{S} A_{S}}}{1 + \frac{E_{B} A_{B}}{E_{S} A_{S}}}

Przy założeniu że moduł Younga dla stali wynosi

2, 1 \cdot 1 0^{5} M P a

a betonu

0, 3 \cdot 1 0^{5} M P a

oraz że betonu jest

10

razy więcej niż prętów stalowych otrzymujemy:

P_{S} = P \frac{7}{17}

oraz

P_{B} = P \frac{10}{17}

z tego wynika że siła ściskająca beton jest większa niż siła ściskająca pręty stalowe

Zadanie 2.6

Wyznaczyć reakcje ścian

R_{A}

i

R_{B}

w układzie pokazanym obok oraz obliczyć przemieszczenie punktu

C

, między ścianami jest zamurowany pręt którego długość wynosi

a + b = L

natomiast sztywność równa się

E A

. Na pręt działa siła

P

przyłożona w punkcie

C

.

Rozwiązanie

To zadanie można rozwiązać na kilka sposobów:

Metoda przecięć

Pierwsze przecięcie dokonujemy między punktami

A

i

C

natomiast drugie między punktami

C

oraz

B

. Ponieważ pręt znajduje się między dwiema nieprzesuwnymi ścianami to zauważamy że całkowite odkształcenie pręta równa się sumie poszczególnych odkształceń tego pręta oraz równa się zeru.

Δ l = \frac{R_{A} a}{E A} + \frac{(R_{A} - P) b}{E A} = 0

Obie strony mnożymy przez sztywność

E A

oraz porządkujemy równanie

R_{A} a + R_{A} b = P b = > R_{A} = P \frac{b}{a + b}

Natomiast reakcje

R_{B}

wyznaczamy z równania równowagi:

P = R_{A} + R_{B}

R_{B} = P \frac{a}{a + b}

Przemieszczenie punktu

C

jest równe:

δ = \frac{R_{A} a}{E A} = \frac{R_{B} b}{E A} = P \frac{a b}{E A (a + b)}

Metoda superpozycji

Gdyby nie było by ściany prawej czyli

R_{B} = 0

to pręt pod działaniem sił zewnętrznych wydłużył by się o:

Δ l_{1} = \frac{P a}{E A}

Gdyby

P = 0

to odkształcenie (skrócenie) wywołane reakcją

R_{B}

wynosiłoby:

Δ l_{2} = - \frac{R_{B} (a + b)}{E A}

Ponieważ wydłużenie całkowite jest równe zeru, to z warunku:

Δ l_{1} + Δ l_{2} = 0

wyznaczamy szukane reakcje:

\frac{P a}{E A} - \frac{R_{B} (a + b)}{E A} = 0 = > \frac{P a}{E A} = \frac{R_{B} (a + b)}{E A} = > R_{B} = P \frac{a}{a + b}

Zadanie 2.7

Wyznaczyć reakcje ścian

R_{A}

i

R_{B}

w układzie pokazanym obok oraz obliczyć przemieszczenie punktu

C

, między ścianami jest zamurowany pręt którego długość wynosi

a + b = L

. Pręt składa się z dwóch części o różnej sztywności. Na pręt działa siła

P

przyłożona w punkcie

C

.

Rozwiązanie

To zadanie jest rozwinięciem poprzedniego przypadku gdy mieliśmy do czynienia z jednorodnym prętem o stałym przekroju w tym przypadku mamy dwa materiały i dwa różne pola powierzchni przekroju pręta. To zadanie rozwiążemy metodą przecięć, jak w poprzednim układzie dokonujemy dwóch przecięć:

Δ l = \frac{R_{A} a}{E_{A} A_{A}} + \frac{(R_{A} - P) b}{E_{B} A_{B}} = 0

Δ l = \frac{R_{A} a}{E_{A} A_{A}} + \frac{R_{A} b}{E_{B} A_{B}} - \frac{P b}{E_{B} A_{B}} = 0 = > \frac{R_{A} a}{E_{A} A_{A}} + \frac{R_{A} b}{E_{B} A_{B}} = \frac{P b}{E_{B} A_{B}}

oraz korzystamy z równania równowagi

P = R_{A} + R_{B}

aby wyznaczyć

R_{B}

R_{A} a \frac{E_{B} A_{B}}{E_{A} A_{A}} + R_{A} b = P b

R_{A} (a \frac{E_{B} A_{B}}{E_{A} A_{A}} + b) = P b

R_{A} = P \frac{b}{a \frac{E_{B} A_{B}}{E_{A} A_{A}} + b}

R_{B} = P - R_{A} = P \frac{a \frac{E_{B} A_{B}}{E_{A} A_{A}} + b}{a \frac{E_{B} A_{B}}{E_{A} A_{A}} + b} - P \frac{b}{a \frac{E_{B} A_{B}}{E_{A} A_{A}} + b} = P \frac{a \frac{E_{B} A_{B}}{E_{A} A_{A}} + b - b}{a \frac{E_{B} A_{B}}{E_{A} A_{A}} + b} = P \frac{a \frac{E_{B} A_{B}}{E_{A} A_{A}}}{a \frac{E_{B} A_{B}}{E_{A} A_{A}} + b}

Powyższe równania można wyznaczyć także w następujący sposób

R_{A} (\frac{a}{E_{A} A_{A}} + \frac{b}{E_{B} A_{B}}) = \frac{P b}{E_{B} A_{B}}

R_{A} = \frac{P b}{(\frac{a}{E_{A} A_{A}} + \frac{b}{E_{B} A_{B}}) E_{B} A_{B}} = P \frac{b}{a \frac{E_{B} A_{B}}{E_{A} A_{A}} + b}

Przemieszczenie punktu

C

wynosi:

δ = \frac{R_{A} a}{E_{A} A_{A}} = \frac{R_{B} b}{E_{B} A_{B}}

Z tej zależności wyznaczamy następujący stosunek:

\frac{R_{B}}{R_{A}} = \frac{a}{b} \frac{E_{B} A_{B}}{E_{A} A_{A}} = > R_{B} = R_{A} \frac{a}{b} \frac{E_{B} A_{B}}{E_{A} A_{A}} = P \frac{b}{(\frac{a}{E_{A} A_{A}} + \frac{b}{E_{B} A_{B}}) E_{B} A_{B}} \frac{a}{b} \frac{E_{B} A_{B}}{E_{A} A_{A}} = P \frac{a}{(\frac{a}{E_{A} A_{A}} + \frac{b}{E_{B} A_{B}}) E_{A} A_{A}}

Oba równania są sobie równe które jest bardziej przejrzyste dla czytelnika pozostawiam do wyboru.

Ostatecznie przemieszczenie punktu

C

wynosi:

δ = P \frac{a b}{(\frac{a}{E_{A} A_{A}} + \frac{b}{E_{B} A_{B}}) E_{A} A_{A} E_{B} A_{B}}

Wytrzymałość materiałów/Zadania

Spis treści

Wiadomości wstępne

Ściskanie i rozciąganie pręta prostego

Statycznie wyznaczalne

Zadanie 2.1

Zadanie 2.2

Zadanie 2.3

Zadanie 2.4

Statycznie niewyznaczalne

Zadanie 2.5

Zadanie 2.6

Zadanie 2.7

Geometryczne charakterystyki przekrojów

Menu nawigacyjne

Wytrzymałość materiałów/Zadania

Wiadomości wstępne

Ściskanie i rozciąganie pręta prostego

Statycznie wyznaczalne

Zadanie 2.1

Zadanie 2.2

Zadanie 2.3

Zadanie 2.4

Statycznie niewyznaczalne

Zadanie 2.5

Zadanie 2.6

Zadanie 2.7

Geometryczne charakterystyki przekrojów

Menu nawigacyjne

Szukaj