Mechanika teoretyczna/Problem zderzenia cząstek

Będziemy tutaj rozpatrywali rozpad cząstki spoczywającej na dwie cząstki o pędach o takim samym kierunku, wartości, ale przeciwnych zwrotach, oraz zderzeniem doskonale sprężystym, rozpraszaniem cząstek na potencjale, a także będziemy się zajmowali wyprowadzaniem wzoru Rutherforda. Na samym końcu podamy opis rozpraszania pod małym kątem.

Wstęp do opisu rozpadu cząstek

Rozpatrzmy rozpad cząstek, w którym nasza początkowa cząstka spoczywa, jest to układ środka masy, po rozpadzie mamy dwie cząstki, które mają taką sama wartość pędu równą pSzablon:Sub. Jeśli weźmiemy, że cząstka przed rozpadem ma energię w sobie ESzablon:Sub a po rozpadzie na dwie cząstki, których energie są: ESzablon:Sub, ESzablon:Sub, wtedy energetyczne prawo rozpadu jest: Szablon:CentrujWzór Energię rozpadu cząstki na dwie cząstki określamy jako różnicę energii całkowitej cząstki przed rozpadem i energii cząstek po rozpadzie, określamy ją poprzez: Szablon:CentrujWzór Z drugiej jednak strony energię rozpadu możemy określić poprzez energię kinetyczne cząstek po rozpadzie, tzn. wyrażone przy pomocy pędów pSzablon:Sub, i na samym końcu wyrazimy ją przy pomocy masy zredukowanej Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Z równości Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć prędkości cząstek po rozpadzie z definicji pędu, tzn. vSzablon:Sub=pSzablon:Sub/mSzablon:Sub, vSzablon:Sub=pSzablon:Sub/mSzablon:Sub. Niech prędkością cząstki przed rozpadem w układzie laboratoryjnym będzie Szablon:Formuła. Zajmijmy się cząstką, która jest z jednych produktów rozpadu i jej prędkość w rozpadzie w układzie laboratoryjnym i środka masy jest Szablon:Formuła i Szablon:Formuła. Jeśli powiązać wszystkie te prędkości w jedno równanie Szablon:Formuła, i w ten sposób licząc kwadrat tego wzoru, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Zależności te są podane na rysunku obok, dla której zachodzi V<vSzablon:Sub i dla V>vSzablon:Sub. W pierwszym przypadku cząstka może polecieć pod dowolnym kątem θ, a w drugim przypadku cząstka może polecieć z kątem maksymalnym θSzablon:Sub, którego sinus: Szablon:CentrujWzór Tangens kąta θ w układzie laboratoryjnym względem kąta θSzablon:Sub liczonej w układzie środka masy możemy powiązać ze sobą, w ten sposób możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór możemy podnieść do kwadratu i później pomnożyć przez wyrażenie, które jest po jego prawej stronie w mianowniku, w tak otrzymanym wyrażeniu, wykorzystując definicję jedynki trygonometrycznej, w ten sposób otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Wyrazy występujące w równaniu Szablon:LinkWzór grupujemy po lewej stronie tejże równości, w ten sposób mamy: Szablon:CentrujWzór Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym względem cosθ, z którego możemy wyznaczyć deltę Δ (wyróżnik trójmianu kwadratowego), który jest napisany wzorem: Szablon:CentrujWzór Całkowite rozwiązanie na cosθSzablon:Sub, na podstawie wcześniejszych obliczeń i definicji wyróżnika wielomianu Szablon:LinkWzór, jest napisane: Szablon:CentrujWzór Jak widać według rysunku obok dla V<vSzablon:Sub we wzorze Szablon:LinkWzór musimy wybrać znak plus, by było θ=0 dla θSzablon:Sub, to rozwiązanie powinno być dla naszego przypadku jednoznaczne. Dla V>vSzablon:Sub rozwiązanie jest dwuznaczne, tzn. istnieją dwie wartości θSzablon:Sub dla jednego θ. Wszystkie cząstki będące produktami rozpadu dwucząstkowego mają ten sam pęd w układzie środka masy. Także ich rozkład kierunków przestrzennych jest izotropowy. Wykorzystując ten fakt, a także dσSzablon:Sub/4π, co jest prawdopodobieństwem rozkładu, jeśli mamy pas o szerokości dθ, to mamy dσSzablon:Sub=2πsinθSzablon:SubdθSzablon:Sub, wtedy wyrażenie na rozkład cząstek wychodzących po zdrzerzeniu jest: Szablon:CentrujWzór W układzie laboratoryjnym można napisać związek wychodząc od Szablon:Formuła, który zróżniczkujemy, mamy: Szablon:CentrujWzór Jeśli wykorzystamy wzór na energię kinetyczną T=mvSzablon:Sup/2, która mieści się w przedziale od TSzablon:Sub=m(vSzablon:Sub-V)Szablon:Sup/2 do TSzablon:Sub=m(vSzablon:Sub+V)Szablon:Sup/2, wtedy nasz wzór na rozkład Szablon:LinkWzór ze względu na energię T przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Możemy wykorzystać wzór Szablon:LinkWzór, który tak przekształcimy, by mieć energię kinetyczną cząstki pierwszej: Szablon:CentrujWzór

Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek

Doskonale sprężystym zderzeniem nazywamy takie zderzenie, w którym nie towarzyszą im przemiany wewnętrzne, zatem te przemiany możemy pominąć i ich nie uwzględniać. Prędkość środka masy możemy przestawić przy pomocy prędkości cząstek przed zderzeniem jako: Szablon:CentrujWzór Prędkości cząstek w układzie środka masy cząstki o masie mSzablon:Sub i o masie mSzablon:Sub przy oznaczeniu Szablon:Formuła przedstawiamy: Szablon:ElastycznyWiersz Pędy poszczególnych cząstek po zderzeniu w układzie środka masy możemy przestawić z definicji pędu klasycznego: Szablon:ElastycznyWiersz W układzie środka masy z zasady zachowania energii możemy napisać, biorąc pod uwagę, że pędy cząstek po zderzeniu mają ten sam kierunek, takie same wartości, ale przeciwne zwroty: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy czemu są równe pędy cząstek po zderzeniem, znając ich wartości przed zderzeniem, wtedy musimy policzyć wyrażenie: Szablon:CentrujWzór Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć, że pędy cząstek przed i po zderzeniu w układzie środka masy są sobie równe co do wartości, zatem oznaczmy kierunek, w którym te dwie cząstki zostają rozproszone przez Szablon:Formuła (który jest wektorem jednostkowym) dla cząstki pierwszej, ten kierunek i zwrot musi uwzględniać to by cząstki przed i po zderzeniu nie przeszły przez siebie, a także składowa równoległa dla pierwszej cząstki powinna mieć zwrot przeciwny niż pęd naszej badanej cząstki przed zderzeniem, wtedy prędkości cząstek po zderzeniu dla cząstki pierwszej i drugiej określamy przez: Szablon:ElastycznyWiersz Prędkości cząstek po zderzeniu możemy określić w układzie laboratoryjnym, dla którego prędkość środka masy jest wyrażona poprzez Szablon:LinkWzór, jest ona wyrażona poprzez prędkości cząstek po zderzeniu: Szablon:ElastycznyWiersz Pędy poszczególnych cząstek po zderzeniu możemy określić z definicji pędu według przestawień Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Szablon:Rysunek Zakładamy, że na rysunkach obok zachodzą następujące tożsamości:

• tożsamość na promień naszej rozważanej kuli:

• tożsamość na wektor odcinka Szablon:Formuła:

• tożsamość na wektor odcinka Szablon:Formuła:

Szablon:CentrujWzór Wzór na wektor odcinka AB możemy przestawić jako sumę z wektorów Szablon:FormułaSzablon:LinkWzór i Szablon:FormułaSzablon:LinkWzór i jak można łatwo udowodnić jest ona równa sumie pędów dwóch cząstek przed zderzeniem, tzn. Szablon:Formuła. Stosunek długości odcinków AO i OB, jak można udowodnić na podstawie AO Szablon:LinkWzór i OB Szablon:LinkWzór, jest równy: Szablon:CentrujWzór Teraz będziemy zakładać, że pęd drugiej cząstki przed zderzeniem jest równy zero. Z rysunków napisanych obok możemy napisać tożsamość na tangens kąta θSzablon:Sub zależącą od kąta χ który jest: Szablon:CentrujWzór Z tego samego rysunku co poprzednio możemy wywnioskować, że tangens kąta θSzablon:Sub zależącą od kąta χ jest: Szablon:CentrujWzór Weźmy teraz zdefiniowany kąt Szablon:Formuła, z którego możemy wyznaczyć χ równą χ=π-2κ, to podstawmy do prawej strony równania Szablon:LinkWzór, wtedy zobaczymy co wyjdzie: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór dla podstawienia κ, Szablon:LinkWzór dochodzimy do wniosku, że związek pomiędzy kątami θSzablon:Sub i χ jest: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz prędkość cząstki pierwszej po zderzeniu z twierdzenia kosinusów patrząc na powyższy rysunek w tym rozdziale: Szablon:CentrujWzór A także patrząc na ten sam rysunek prędkość drugiej cząstki wyrażamy przy pomocy twierdzenia kosinusów: Szablon:CentrujWzór Patrząc na rysunki powyżej dowiadujemy się, że dla mSzablon:Sub<mSzablon:Sub, że θSzablon:Sub+θSzablon:Sub>π/2, a dla mSzablon:Sub>mSzablon:Sub mamy θSzablon:Sub+θSzablon:Sub<π/2. Jeśli będziemy rozpatrywali cząstki pędzące w jednej linii, wtedy pędy poszczególnych cząstek po zderzeniu są takie same jak przed zderzeniem, wtedy χ=π, to prędkości cząstek po zderzeniu są sobie równe na podstawie wzorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Energia maksymalna jaką druga cząstka może posiadać, gdy ta cząstka początkowo spoczywała, jest napisana przy definicji prędkości Szablon:LinkWzór względem prędkości cząstki pierwszej: Szablon:CentrujWzór Gdy mSzablon:Sub<mSzablon:Sub prędkość pierwszej cząstki przed zderzeniem może mieć dowolny kierunek, a dla mSzablon:Sub>mSzablon:Sub już nie ma dowolnego kierunku, maksymalną wartość kąta θ, który przyjmuje ona w tym przypadku jest taki, by kąt BAC był kątem prostym: Szablon:CentrujWzór Szablon:Rysunek Gdy mamy jednakowe masy cząstek, tzn. zachodzi mSzablon:Sub=mSzablon:Sub, wtedy na pewno zachodzi Szablon:LinkWzór, a także Szablon:LinkWzór, w którym możemy tak poskracać jednakowe masy, by zachodziło: Szablon:CentrujWzór Weźmy sobie teraz κ=1/2χ z którego wynika 2κ=χ, w ten sposób przekształćmy prawą stronę równości Szablon:LinkWzór, i zobaczymy co wyjdzie: Szablon:CentrujWzór Według obliczeń Szablon:LinkWzór i zachodzącej tożsamości Szablon:LinkWzór możemy dojść do wniosku: Szablon:CentrujWzór Posługując się udowodnionymi tożsamościami Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, dostajemy wzory na prędkości cząstek po zderzeniu w zależności od kata χ i wartości prędkości cząstki pierwszej przed zderzeniem: Szablon:ElastycznyWiersz

Rozpraszanie cząstek na potencjale

Tożsamość całkową Szablon:LinkWzór możemy przepisać dla przejrzystości wykładu, pamiętając przy okazji, ze w tej tożsamości występuje minus przed nasza całką, bo rozpatrujemy malejące położenia radialne cząstki, co prowadzi do tożsamości całkowej: Szablon:CentrujWzór Jeśli będziemy badać ruch nieskończony wygodnie jest posługiwać innymi wielkościami niż "E" i "L". Zastąpimy je wielkością vSzablon:Sub, która jest prędkością cząstki w nieskończoności i przez parametrem ρ będącym parametrem określającym odległość toru centrum pola od asymptoty dla orbity, jak by pole nie występowało. Te nowe wielkości możemy użyć do zdefiniowania "E" i "L": Szablon:ElastycznyWiersz Wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór podstawiamy do Szablon:LinkWzór i otrzymujemy następującą całkę przy zdefiniowanych parametrach vSzablon:Sub i ρ: Szablon:CentrujWzór Zwykle mamy do czynienia z wiązką cząstek, które poszczególne cząstki mają różne parametry zderzenia, a zatem rozpraszają się one z różnymi kątami χ, które mają jednakowe prędkości równe Szablon:Formuła. Oznaczmy dN liczbę cząstek rozproszonych w przedziale od χ do χ+dχ, jest ona niewygodna do opisywania procesu rozpraszania i dlatego wprowadza się związek: Szablon:CentrujWzór

• gdzie n jest liczbą cząstek przechodzących przez jednostkę powierzchni prostopadłych do biegu rozważanych cząstek, zakładamy przy okazji, że wiązka jest jednorodna.

Stosunek Szablon:LinkWzór ma wymiar powierzchni i nazywamy go przekrojem czynnym na rozpraszanie. Zakładamy, że pomiędzy wielkościami χ i ρ istnieje jednoznaczny związek, czyli dla kątów rozpraszania χ i χ+dχ istnieje przedział na parametry zderzenia równą ρ(χ) i ρ(χ)+dρ(χ). Przekrój czynny, który oznaczymy poprzez χ, jest równy: Szablon:CentrujWzór We wzorze posługiwaliśmy się wartością bezwzględną pochodnej dρ/dχ, która ma zazwyczaj wartość ujemną. Zazwyczaj zamiast kąta χ zwykle odnosimy się od zależności od kąta bryłowego według do=2πsinχdχ, który to podstawimy do wzoru Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Można powiedzieć, że wzór Szablon:LinkWzór określa przekrój czynny w zależności od kata rozpraszania w układzie środka masy, dla której χ, którą jest θSzablon:Sub dla cząstek padających lub θSzablon:Sub dla cząstek pierwotnie spoczywających, wtedy taki związek możemy wyrazić poprzez tożsamość Szablon:LinkWzór lub poprzez Szablon:LinkWzór.

Wyprowadzenie wzoru Rutherforda

Weźmy sobie pod ostrzał wzór Szablon:LinkWzór, do którego dokonamy podstawienia u=1/r, w ten sposób wzór możemy napisać przy definicji potencjału U=α/r, który opisuje pole kulistosymetryczne, wtedy kąt z jaką cząstka w tym polu wychodzi na zewnątrz jest opisywana: Szablon:CentrujWzór Patrząc na przeprowadzone obliczenia Szablon:LinkWzór, stąd wywnioskujemy, że zachodzi równość na zależność kwadratu parametru zderzenia ρ i kąta θSzablon:Sub, do którego podstawimy wzór wynikający z Szablon:LinkWzór, którym zamiast θSzablon:Sub jest tutaj θSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie Szablon:LinkWzór różniczkujemy względem χ obustronnie i wynik podstawiamy do końcowego wzoru Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy końcowy wynik względem zmiennej χ, a także względem kąta bryłowego: Szablon:ElastycznyWiersz Wzór Szablon:LinkWzór opisuje przekrój czynny w układzie środka masy, aby przejść do układu laboratoryjnego należy zastosować wzór Szablon:LinkWzór, który przedstawimy jako χ=π-2θSzablon:Sub, w ten sposób: Szablon:CentrujWzór W ogólnym przypadku przejście do układu laboratoryjnego prowadzi do bardzo skomplikowanej zależności, zatem rozpatrzmy jego szczególne przypadki. Jeśli według wzoru Szablon:LinkWzór masa cząstki mSzablon:Sub jest o wiele większa niż masa cząstki mSzablon:Sub, to wtedy zachodzi χ≈θSzablon:Sub i m≈mSzablon:Sub, wtedy przekrój czynny Szablon:LinkWzór ma się: Szablon:CentrujWzór Jeśli masy obu cząstek są jednakowe, tzn. mSzablon:Sub=mSzablon:Sub, m=mSzablon:Sub/2, to zgodnie z Szablon:LinkWzór prowadzi to do tożsamości: Szablon:CentrujWzór Jeśli dwie nasze cząstki nie można rozróżnić, to całkowity przekrój na zderzenie obu cząstek jest sumą przekrojów czynnych Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Rozważmy teraz przypadek ogólny Szablon:LinkWzór, który opisuje cząstki dla ich różnych mas, którego przestawienie jest napisane przy pomocy wzoru Szablon:LinkWzór dla drugiej cząstki początkowo będącej w spoczynku, i dla pierwszej cząstki poruszająca się z prędkością vSzablon:Sub, wzór na prędkość drugiej cząstki po zderzeniu jest napisane poprzez: Szablon:CentrujWzór Energia kinetyczna cząstki drugiej po zderzeniu możemy przestawić z jej definicji na podstawie prędkości tejże cząstki Szablon:LinkWzór, i policzmy też jego różniczkę w tej samej linijce, wtedy te wzory przedstawiamy: Szablon:ElastycznyWiersz Wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór podstawiamy do ogólnego równania na przekrój czynny Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór

Rozpraszanie cząstek w przybliżeniu małych katów

Będziemy rozpatrywać te zderzenia, które charakteryzują się dużym parametrem zderzenia, wtedy katy rozproszenia są zazwyczaj małe. Sinus kąta rozproszenia jest mały i jest napisany wzorem: Szablon:CentrujWzór Początkowo cząstka miała pęd równy pSzablon:Sub i wyniku oddziaływania z pewnym polem nabyła pędu prostopadłego do poprzedniej wartości pędu równą p'Szablon:Sub. Powyżej będziemy rozpatrywali małe katy rozproszenia w układzie laboratoryjnym, a nie w układzie środka masy. Dla małych kątów rozproszenia możemy zastąpić oczywiście sinθSzablon:Sub przez θSzablon:Sub, a w mianowniku należy zastąpić p'Szablon:Sub przez mSzablon:SubvSzablon:Sub, co w takim wypadku mamy w przybliżeniu: Szablon:CentrujWzór Ponieważ zachodzi Szablon:Formuła, wtedy całkowity przyrost pędu w kierunku osi igrekowej, zakładając jednocześnie, że pęd igrekowy początkowy był równy zero, jest wyrażony poprzez: Szablon:CentrujWzór Współrzędną igrekową zdefiniowaną poprzez potencjał względem współrzędnej igrekowej pola, którą piszemy jako pochodną potencjału względem współrzędnej radialnej i innych parametrów, piszemy: Szablon:CentrujWzór W naszych obliczeniach należy oczekiwać, że cząstka niewiele odchyliła się od swego biegu, czyli porusza się ona ruchem prawie prostoliniowym, wtedy mamy y=ρ. a dt możemy wyrazić poprzez prędkość w nieskończoności vSzablon:Sub i różniczkę położenia iksowego, wtedy te wzory: Szablon:ElastycznyWiersz Wzór na całkowite siłę igrekową Szablon:LinkWzór i różniczkę czasu Szablon:LinkWzór podstawiamy do wzoru na całkowity przyrost pędu igrekowego Szablon:LinkWzór, w ten sposób: Szablon:CentrujWzór Z definicji promienia radialnego możemy wyrazić x, a potem przyrost dx w zależności od położenia radialnego "r" i parametru zdarzenia ρ w postaci: Szablon:CentrujWzór Końcowy wzór Szablon:LinkWzór podstawiamy do Szablon:LinkWzór, a to wzoru Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy tożsamość na kąt θSzablon:Sub w zależności od parametru zdarzenia ρ: Szablon:CentrujWzór Mając znany potencjał U możemy wyznaczyć zależność θSzablon:Sub od ρ, co tą zależność możemy odwrócić, tak by otrzymać zależność ρ od kąta θSzablon:Sub w układzie laboratoryjnym, co go możemy podstawić do Szablon:LinkWzór i dla małych katów otrzymać wzór na przekrój czynny: Szablon:CentrujWzór