Fale/Polaryzacja liniowa, kołowa, eliptyczna fal

Wstęp do opisu polaryzacji

Dla wszystkich ruchów falowych badaliśmy przemieszczenie, które określamy przy pomocy pewnej funkcji względem położenia równowagi. W ogólnym przypadku przemieszczenie określamy jako funkcje z "x","y","z", czyli Szablon:Formuła. Zwykle badamy fale płaskie, które określamy jako funkcje ψ(z,t), gdzie z jest liczone wzdłuż rozchodzenia się fali płaskiej, często interesującymi wielkościami są Szablon:Formuła i Szablon:Formuła. Dla fal płaskich przemieszczenie będziemy określać przez wektor przemieszczenia w postaci: Szablon:CentrujWzór W przypadku fal poprzecznych wektor przemieszczenia Szablon:Formuła ma tylko składowe x i y. O takich falach mówimy, że one mają polaryzacje poprzeczną. Fala dźwiękowa jest to fala mająca przemieszczenie wzdłuż osi zetowej. Nie ma poprzecznych fal dźwiękowych, chociaż możemy je sobie wyobrazić jako fale odbijające, które są jako fale podłużne odbijające się od ścianek wewnętrznych rury, i w rezultacie dla fali rozchodzącej się wzdłuż rury fala dźwiękowa oprócz składowych podłużnych mają składowe poprzeczne. Fala elektromagnetyczna, czyli suma fal elektrycznych i magnetycznych, ma tylko składowe poprzeczne. Fala elektromagnetyczna ma też składowe podłużne, jeśli ona rozchodzi się w falowodzie. Falą poprzeczną nazywamy falę, dla której składowa zetowa przemieszczenia nigdy nie występuje, zatem drgania poprzeczne w analogii do Szablon:LinkWzór są napisane: Szablon:CentrujWzór

Promieniowanie ładunku punktowego

Innym przykładem fali płaskiej są drgania wyemitowane w początku układu współrzędnych, które daleko od punktu emisji obserwujemy jako fale płaskie, których przemieszczenie ładunku q jako źródła fal opisujemy przez: Szablon:CentrujWzór Natężenie pola elektrycznego fali Szablon:LinkWzór dla odległości r=z od początku układu współrzędnych wytworzone przez ładunek poruszający się z pewnym przyspieszeniem na podstawie Szablon:LinkWzór piszemy: Szablon:CentrujWzór Biorąc współczynnik proporcjonalności Szablon:Formuła, wtedy przemieszczenie fali może być uważane za natężenie pola elektrycznego w czasie przedwczesnym Szablon:Formuła.

Polaryzacja liniowa

W przypadku drgań poprzecznych, którego drgania są tam i z powrotem, to te drgania można opisywać w dwóch niezależnych kierunkach: Szablon:ElastycznyWiersz Superpozycją drgań Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór w dwóch osobnych kierunkach nazywamy falę: Szablon:CentrujWzór Całkowita długość drgań amplitudy opisywanej wzorem Szablon:LinkWzór piszemy jako pierwiastek sumy kwadratów amplitud drgających w dwóch prostopadłych kierunkach: Szablon:CentrujWzór kierunkiem polaryzacji, patrząc na wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, nazywamy kierunek, którego wektor jest napisany: Szablon:CentrujWzór łatwo sprawdzić, że wektor Szablon:Formuła jest wektorem jednostkowym, co wynika z prostopadłości wektorów Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, które z kolei są wektorami jednostkowymi.

Liniowo spolaryzowaną falę biegnącą

Liniowo spolaryzowaną falę biegnącą nazywamy falę przy ustalonych płaszczyźnie drgań biegnącego w kierunku +z: Szablon:CentrujWzór

Liniowo spolaryzowana fala stojąca

Załóżmy, że mamy dwie fale biegnące w kierunku +z, a druga w kierunku -z, to superpozycja tychże fal możemy opisać: Szablon:CentrujWzór

Polaryzacja kołowa

Tutaj przemieszczenie fali poprzecznej ulega ruchowi kołowemu. Równanie tejże fali opisujemy przy pomocy funkcji sinus i kosinus z ωt, których drganie w kierunku Szablon:Formuła wyprzedza drganie w kierunku Szablon:Formuła o kąt 90Szablon:Sup; Szablon:CentrujWzór Podobnie, gdy fala drgań w kierunku Szablon:Formuła od Szablon:Formuła wyprzedza o kąt 90Szablon:Sup, to fala spolaryzowana kołowo jest opisywana: Szablon:CentrujWzór

Spolaryzowana kołowo fala biegnąca

Spolaryzowana kołowo fala biegnącą nazywamy falę biegnącą w kierunku osi zetowej (+z), którego przepis jest zależny od częstotliwości kołowej ω i liczby falowej "k" : Szablon:CentrujWzór

Spolaryzowana kołowo fala stojąca

Kołowo spolaryzowaną falę stojącą nazywamy dwie fale biegnące zdefiniowane w punkcie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, którego biegną kierunkach +z(pierwsza fala) i w kierunku -z (druga fala), to wyniku superpozycji tychże fal otrzymujemy falę tzn. stojącą, który wyjdzie nam z obliczeń: Szablon:CentrujWzór

Polaryzacja eliptyczna

Falę spolaryzowaną eliptycznie nazywamy falę, których amplitudy drgań w kierunkach Szablon:Formuła i Szablon:Formuła mają różne wartości amplitudy i wzory na fale stojącą dla której superpozycja dwóch fali biegnących w tych samych kierunkach, ale w innych płaszczyznach, piszemy: Szablon:CentrujWzór Eliptycznie spolaryzowana fale stojącą nazywamy dwie fale biegnące zdefiniowane w punkcie Szablon:LinkWzór, którego biegną kierunkach +z(pierwsza fala) i w kierunku -z (druga fala), to wyniku superpozycji tychże fal otrzymujemy falę tzn. stojącą, który wyjdzie nam z obliczeń w sposób: Szablon:CentrujWzór

Superpozycja dwóch fal o niejednakowych amplitudach

Weźmy sobie dwie fale o jednakowej częstotliwości kołowej ω i o niejednakowych amplitudach, których superpozycja jest opisywana: Szablon:CentrujWzór Opiszmy falę biegnącą opisywaną według Szablon:LinkWzór, którego będziemy rysowali na wykresach poniżej, których współrzędną iksową jest jedna z tych fali, a osią igrekową jest druga z tychże fali, dla różnych ich przesunięć fazowych: Szablon:Rysunek

Liczby zespolone w opisie fal

Zastosowanie liczb zespolonych z ilustrujmy na przykładzie fali elektromagnetycznej, a właściwie dla fali pola elektrycznego, którego superpozycja fal biegnących w dwóch prostopadłych płaszczyznach jest w postaci wektora natężenia fali pola elektrycznego, gdy te dwie fale są przesunięte względem siebie o pewne przesunięcie fazowe φSzablon:Sub-φSzablon:Sub, to ich superpozycja jest: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór możemy przestawić w postaci zespolonej, którego częścią rzeczywistą jest równanie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Zespolone natężenie funkcji falowej możemy napisać jak superpozycja dwóch fal o funkcjach falowych Szablon:Formuła i Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Funkcje falowe Szablon:Formuła i Szablon:Formuła są to funkcje, których definicje są wyrysowane w zależności od częstotliwości kołowej i liczby falowej zapisane są przy pomocy funkcji eksponencjalnej: Szablon:ElastycznyWiersz Amplitudy występujące w równaniu są to amplitudy zależne od przesunięć fazowych φSzablon:Sub i φSzablon:Sub zapisane pod funkcją eksponencjalną, jak widzimy, te amplitudy są wielkościami zespolonymi: Szablon:ElastycznyWiersz

Superpozycja funkcji ortonormalnych

Funkcję, które opisywaliśmy w punkcie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są to funkcje ortonormalne i tworzą zupełną bazę ortonormalną zupełną bazowych funkcji falowych, które przestawiamy: Szablon:ElastycznyWiersz Aby sprawdzić, czy funkcję Szablon:Formuła i Szablon:Formuła zdefiniowane w poprzednim rozdziale tworzą zupełny układ bazowy należy na tych funkcjach wykonać następujące działania, które są opisywane wzorami Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, zatem do dzieła: Szablon:ElastycznyWiersz Ponieważ nasze rozważane funkcje bazowe są funkcjami ortonormalnymi, zatem zdefiniujmy moduł funkcji natężenia pola elektrycznego Szablon:Formuła zdefiniowanego w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Inne postacie ortonormalnych funkcji bazowych

Aby napisać wektor natężenia fali pola elektrycznego Szablon:LinkWzór w innych bazach niż tutaj obranego pierwotnie, których z oczywistych powodów jest ich nieskończenie wiele, które można tak obrać przez obrót pierwotnego układu współrzędnych o pewien kąt φ, których nowe wersory naszej bazy są napisane względem odpowiedników starej bazy w sposób: Szablon:ElastycznyWiersz Na podstawie przestawienia wersorów w Szablon:LinkWzór Szablon:LinkWzór dowiadujemy się, że one są do siebie ortonormalne, wtedy ich funkcje falowe są ortonormalne: Szablon:ElastycznyWiersz

Przestawienie polaryzacji fali płaskiej

Falę biegnącą fali płaskiej, która jest spolaryzowana kołowo, którą możemy przedstawić w zależności od częstości kołowej i liczby falowej w postaci poniżej: Szablon:CentrujWzór Końcowy wynik Szablon:LinkWzór możemy przestawić w postaci zespolonej za pomocą funkcji eksponencjalnych: Szablon:CentrujWzór Wykorzystamy tutaj pewne tożsamości na liczbach zespolonych, która wynika z definicji eSzablon:Sup jako liczby zespolonej zapisaną w postaci eksponencjalnej, które te tożsamości piszemy wzorami przy rozwinięciu jego do postaci trygonometrycznej: Szablon:ElastycznyWiersz Na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wzór Szablon:LinkWzór możemy przepisać po odpowiednich jego przekształceniach do wzoru, z którego będzie jasne jak wybierzemy funkcję ortogonalne: Szablon:CentrujWzór Wybierzmy sobie teraz funkcję ortonormalne spełniające warunki Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Jeśli dodatkowo weźmiemy, że liczby ASzablon:Sub i ASzablon:Sub, których definicje są takie by przy wektorach ortonormalnych Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór była spełniona tożsamość Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór i przedstawienia bazy ortogonalnej, tzn. Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór przy definicji jego współczynników Szablon:LinkWzór równanie na natężenie fali elektromagnetycznej piszemy w postaci formalnej: Szablon:CentrujWzór