Fale/Fale dwu- i trójwymiarowe rozchodzące się w przestrzeni

Dotychczas rozważaliśmy fale opisując je w jednym kierunku. Wprowadzimy fale biegnące trójwymiarowe opisując je jako fale płaskie odpowiednio obracając układ współrzędnych. Przekonamy się, że przejście do trzech wymiarów daje nam coś więcej niż zwykła zamianę zmiennych dla fal płaskich rozchodzącej się względem starego układu wzdłuż osi "z", na podstawie tego otrzymujemy dodatkowe stopnie swobody. Dla trzecLinkh wymiarów możemy mieć falę elektromagnetyczną, którą dla jednego kierunku mamy czystą falę biegnącą.

Wektor propagacji dla płaskich fal harmonicznych

Fala płaska rozchodząca się w jednym wymiarze, która jest falą harmoniczną dla z=0, jest funkcją o stałej amplitudzie A i częstotliwości kołowej ω, którego równanie fali dla tego "z" piszemy: Szablon:CentrujWzór Gdy we wzorze Szablon:LinkWzór podstawimy t'=t-z/v, wtedy otrzymamy fale płaską określoną w płaszczyźnie z: Szablon:CentrujWzór Iloczyn liczby falowej i położenia z, czyli kz, możemy napisać dla układu obróconego względem tego układu o pewien kąt: Szablon:CentrujWzór W ogólnym przypadku iloczyn wektora propagacji i wektora położenia możemy zapisać względem jego współrzędnych w postaci: Szablon:CentrujWzór Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w trójwymiarowej przestrzeni, nazywamy wychylenie od stanu równowagi, wykorzystując przy tym fakt Szablon:LinkWzór, jest określane przez: Szablon:CentrujWzór

Prędkość fazowa

Funkcję fazową napisaną dla fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku Szablon:Formuła nazywamy funkcję zależną od częstotliwości kołowej i liczby falowej: Szablon:CentrujWzór Będziemy się tutaj zajmować przypadkiem, gdy φ jest funkcją stałą: Szablon:CentrujWzór Interesuje nasz przypadek, gdy Szablon:Formuła, bo fala rozchodzi się zgodnie z kierunkiem wektora propagacji, zatem w takim przypadku prędkość fazową definiujemy jako stosunek częstotliwości kołowej ω i liczby falowej k, która jest długością wektora propagacji. Szablon:CentrujWzór

Przykłady fal biegnących w trójwymiarze

Fala elektromagnetyczna rozchodząca się w przestrzeni, której częstość kołowa jest zależna od składowych wektora propagacji, posiada związek dyspersyjny: Szablon:CentrujWzór Dla fal rozchodzących się w ośrodku dyspersyjnym z prędkością "v", w którym możemy zapisać jako stosunek prędkości światła i stałej załamania, w którym to możemy zastąpić w Szablon:LinkWzór "c" przez prędkość "v", wtedy mamy związek dyspersyjny dla tej rozważanej prędkości: Szablon:CentrujWzór Rozchodząca się fala w jonosferze, która ma częstość podstawową równą ωSzablon:Sub, dla którego częstość kołowa jest zależna od tej częstości i od wektora propagacji, ma związek dyspersyjny: Szablon:CentrujWzór

Fale stojące

Fale biegnące w dwóch osobnych kierunkach i mające takie same amplitudy i częstotliwości kołowe, w wyniku nakładania się takich fal, otrzymamy związek: Szablon:CentrujWzór Pamiętając, że Szablon:Formuła, to stosując odpowiednie przekształcenia trygonometryczne możemy napisać na podstawie Szablon:LinkWzór związek: Szablon:CentrujWzór

Trójwymiarowe równanie falowe według klasycznego równania fali

Wyznaczmy teraz drugą pochodną cząstkową równania fali Szablon:LinkWzór względem czasu: Szablon:CentrujWzór A teraz policzmy drugie pochodne wspomnianego równania fali względem położeń w trzech możliwych sposobach, tzn. względem trzech możliwych współrzędnych: Szablon:ElastycznyWiersz Całkowite równanie falowe na podstawie związku Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór ,Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, przy wykorzystaniu definicji długości wektora propagacji, którego długość jest liczbą falową, przy definicji prędkości falowej Szablon:LinkWzór, i definicji laplasjanu, czyli operatora Δ, jest napisane według: Szablon:CentrujWzór

Przykłady równań fali

Równanie falowe dla fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w próżni, przy założeniu, że prędkość fazowa fali jest równa prędkości światła w próżni równej "c", jest: Szablon:CentrujWzór Dla fal elektromagnetycznych rozchodzących się w ośrodku dyspersyjnym należy w równaniu falowym, wprowadzić prędkość rozchodzącej się fali równą c/n. Wtedy równanie różniczkowe falowe zapisujemy w formie: Szablon:CentrujWzór Dla fal rozchodzących się w jonosferze równanie falowe jest natomiast zależne dodatkowo od częstotliwości podstawowej ωSzablon:Sub, która jest przedstawiona w postaci: Szablon:CentrujWzór

Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w falowodzie

Równanie falowe dla przestrzeni dwuwymiarowej, w której rozchodzą się fale elektromagnetyczne Szablon:LinkWzór określanych względem współrzędnych igrekowej i zetowej, jest napisane według: Szablon:CentrujWzór Całkowite równanie fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w falowodzie, określamy jako funkcję y i z, jest: Szablon:CentrujWzór Związek Szablon:LinkWzór na podstawie Szablon:LinkWzór zachodzi, gdy mamy związek dyspersyjny: Szablon:CentrujWzór Funkcja fali Szablon:LinkWzór na obu końcach naszego falowodu jest tak skonstruowane by w tych punktach była równa zero, co dla y=0 zachodzi automatycznie, ale znów dla y=b już nie, aby to zachodziło musi być spełniony warunek: Szablon:CentrujWzór Będziemy teraz rozpatrywać częstość progową, czyli tzn. dla której zachodzi m=1, wtedy warunek dyspersyjny Szablon:LinkWzór dla której zachodzi wniosek na kSzablon:Sub, zapisujemy na w sposób: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że związek dyspersyjny Szablon:LinkWzór ma kształt podobny do związku dyspersyjnego w jonosferze Szablon:LinkWzór albo do związku dyspersyjnego dla wahadeł sprzężonych ze sobą Szablon:LinkWzór dla małych k: Szablon:CentrujWzór Dla częstości kołowej poniżej częstości πc/b równanie fali przestawiamy w zależności od stałej zaniku χ: Szablon:CentrujWzór Związek dyspersyjny dla równania fali Szablon:LinkWzór, który można otrzymać podstawiając go do Szablon:LinkWzór, otrzymujemy wtedy inny wzór do Szablon:LinkWzór, który jest w postaci: Szablon:CentrujWzór

Fale biegnące krzyżujące się nawzajem

Równanie fali Szablon:LinkWzór możemy zapisać jako superpozycja fal biegnących o takich samych częstotliwościach, ale różnych liczbach falowych, którego schemat krzyżowania się tychże fal przestawiana jest jako: Szablon:CentrujWzór dla której we wzorze Szablon:LinkWzór mamy związek dla wektorów propagacji: Szablon:CentrujWzór Krzyżowanie się fal wynika z tego, że Szablon:Formuła i Szablon:Formuła dla związków Szablon:LinkWzór mają przeciwne skierowane składowe igrekowe tychże omawianych wektorów propagacji.

Prędkość fazowa i grupowa fal rozchodzących się fal falowodzie

Szablon:Rysunek Ilustracja dla fal biegnących w falowodzie pozwala na ustalić związek pomiędzy prędkością grupową a fazową w wyniku nakładania się dwóch fal krzyżujących się ze sobą. Odpowiednik Szablon:Formuła znosi składową igrekową z Szablon:Formuła z tą sama składową, ale oba te wektory propagacji mają tą sama składową zetową. Podczas gdy promień przebywa odległość ct, w tym czasie czoło fali przebyło odległość równą: Szablon:CentrujWzór Podobnie mówimy dla prędkości grupowej uzmysławiając sobie, że zachodzi: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz iloczyn prędkości fazowej i grupowej, który jest równy kwadratowi prędkości światła: Szablon:CentrujWzór Drugi bardzo ważny związek wynika skorzystania z udowodnionego związku Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór jeśli do związku Szablon:LinkWzór podstawimy związek Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy związek dyspersyjny w zależności do liczby dyskretnej dodatniej całkowitej m i współrzędnej zetowej wektora propagacji: Szablon:CentrujWzór Co potwierdza zgodność Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór.

Odbijanie światła i jego przepuszczanie padającego ze szkła do powietrza

Szablon:Rysunek Określmy teraz dwa ośrodki, którym pierwszym jest powietrze a drugim szkło, szkło rozciąga się z minus nieskończoności do zera, a druga część przestrzeni stanowi próżnia. Wartości wektorów propagacji określamy z definicji prędkości fazowej dla próżni dla światła w sposób: Szablon:ElastycznyWiersz Współrzędne igrekowe wektorów propagacji są sobie równe w próżni i w szkle, i je zapisujemy na w sposób: Szablon:CentrujWzór Związek otrzymany w punkcie Szablon:LinkWzór podstawiamy do związku na całkowitą wartość wektora propagacji dla przestrzeni dwuwymiarowej, z którego możemy otrzymać wzór na kwadrat współrzędnej zetowej wektora propagacji: Szablon:CentrujWzór Gdy promienia załamanego nie ma, wtedy kwadrat współrzędnej zetowej wektora falowego dla fali w próżni jest równy zero. Ten kąt przy którym to pojawia się jest zwany kątem granicznym padania całkowitego odbicia wewnętrznego i przejawia się on według Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Wyprowadzenie prawa Snelliusa

Weźmy sobie dwa dowolne ośrodki, w którym pierwszy jest ośrodek o współczynniku załamania nSzablon:Sub, a drugi o współczynniku załamania nSzablon:Sub. Mając na myśli, że igrekowe współrzędne promienia przed i po załamaniu w zależności od całkowitej długości liczby falowej przestawiamy jako: Szablon:ElastycznyWiersz Porównując te dwie wielkości na współrzędne igrekowe dla ośrodka pierwszego jak i drugiego, które się nie zmieniają, to możemy określić pewien związek pomiędzy kątami padania i załamania: Szablon:CentrujWzór

Całkowite wewnętrzne odbicie

Rozważmy przypadek, gdy we wzorze Szablon:LinkWzór wyrażenie to przyjmuje wartość ujemną dla pewnych katów większych od kąta granicznego, zatem weźmy sobie na tyle duży kąt by stała Szablon:Formuła miała wartość ujemną, wtedy należy napisać: Szablon:CentrujWzór Wtedy związek Szablon:LinkWzór, który jest napisany w zależności od kąta padania na granicy dwóch ośrodków θSzablon:Sub, na postawie Szablon:LinkWzór, jest: Szablon:CentrujWzór Fala elektromagnetyczna rozchodząca się w próżni jest fala zanikającą, która opisywana jest przy pomocy funkcji proporcjonalnej do funkcji wykładniczej: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że wtedy funkcja falowa jest falą biegnącą wzdłuż osi igrekowej, a falą wykładniczą wzdłuż osi zetowej. Patrząc na wzór Szablon:LinkWzór, to średnia gęstość energii jest wprost proporcjonalna do jego średniej czasowej kwadratu funkcji falowej.

Teoretyczny opis fal na wodzie

Zawsze nas interesowały fale na wodzie. Pominiemy niektóre właściwości rzeczywistej wody, miedzy innymi jej lepkość, dla której Prof. Richard Feynman określa je mianem suchej wody. Przemieszczenie na wodzie poszczególnych punktów, które będziemy opisywać jej jako położenie poszczególnych elementów wody zależne od położenia i czasu, określamy je przez: Szablon:CentrujWzór Chwilowa prędkość wody o współrzędnych x, y w stanie równowagi, która jest określana jako pochodna cząstkowa przemieszczenia Szablon:LinkWzór, jest pisana: Szablon:CentrujWzór Lokalne prawo zachowania masy mówi, że suma dywergencji iloczynu prędkości przez gęstość i pochodnej cząstkowej gęstości cząstkowej względem czasu jest równa zero, a my będziemy rozpatrywać, gdy gęstość wody nie zmienia się w czasie i też w przestrzeni, wtedy dywergencja wektora prędkości powinna być równa zero, co do tak uzyskanego prawa podstawiamy Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Warunek braku pęcherzyków we wzorze Szablon:LinkWzór indukuje, że dywergencja wektora przemieszczenia poszczególnych elementów wody indukuje natomiast fakt: Szablon:CentrujWzór Brak wirów w wodzie indukuje wskazuje, że rotacja wektora prędkości Szablon:LinkWzór pokazuje, a co za tym idzie, że rotacja przemieszczenia jest wielkością stałą i równą zero, tzn. że powinno zachodzić przy braku pęcherzyków : Szablon:CentrujWzór Przyjmijmy, że funkcje ψSzablon:Sub i ψSzablon:Sub, które są przemieszczeniami w zależnymi od czasu i położenia iksowego, która względem tych argumentów zmieniają się w sposób sinusoidalny lub kosinusoidalny, przedstawiają się: Szablon:ElastycznyWiersz

Zależności pomiędzy ruchem poziomym a pionowym

Wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy podstawić do Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy warunki w postaci dwóch równań różniczkowych względem dwóch nieznanych funkcji, które chcemy wyznaczyć: Szablon:ElastycznyWiersz Równanie Szablon:LinkWzór różniczkujemy obustronnie względem "y" i wykorzystujemy do niego równość Szablon:LinkWzór, otrzymujemy równanie drugiego rzędu, którego rozwiązanie podamy w jednej linijce: Szablon:CentrujWzór Końcowe rozwiązanie f(y) podane w punkcie Szablon:LinkWzór podstawiamy do wzoru różniczkowego za f(y) Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy równość na rozwiązanie g(y): Szablon:CentrujWzór

Warunki brzegowe na dnie zbiornika wodnego

Na dnie zbiornika wodnego nie ma ruchu pionowego wody, zatem powinno zachodzić dla y=-h warunek ψSzablon:Sub(-h)=0, co indukuje od razu warunek brzegowy zależności stałej B od stałej A, który piszemy wzorem Szablon:Formuła, co daje nam równania na przemieszczenia względem osi iksowej i igrekowej, co je piszemy wzorami: Szablon:ElastycznyWiersz Gdy mamy do czynienia z głęboką wodą, wtedy przemieszczenia Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy napisać po pominięciu wyrazu z eSzablon:Sup, w ten sposób otrzymujemy wzory na ψSzablon:Sub i na ψSzablon:Sub: Szablon:ElastycznyWiersz Gdy mamy doczynienia z wodą płytką, wtedy należy pominąć wyrazy z dokładnością do wyrazów liniowych względem przestawienia Szablon:Formuła, w ten sposób dostajemy wniosek: Szablon:ElastycznyWiersz

Związek dyspersyjny dla fal grawitacyjnych rozchodzącej się w wodzie

Całkowita siła działając na nieskończenie mały element objętości wody o masie Δm, która działa na powierzchni piszemy z definicji siły pochodzącej od ciśnienia, jest: Szablon:CentrujWzór Druga zasada dynamiki Newtona dla naszego elementu wody o masie ΔM dla niezrównoważonej siły FSzablon:Sub wprost proporcjonalnej do drugiej pochodnej igrekowego przemieszczenia względem czasu jest określana według: Szablon:CentrujWzór Jeśli połączymy związki Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór przy istniejących funkcjach jako przemieszczenia iksowego Szablon:LinkWzór i przemieszczenia igrekowego Szablon:LinkWzór, w ten sposób dostajemy związek dyspersyjny kwadratu częstotliwości kołowej względem liczby falowej i głębokości wody: Szablon:CentrujWzór Patrząc na wzór Szablon:LinkWzór możemy napisać wzory na związki dyspersyjne na kwadrat częstotliwości kołowych dla wody głębokiej i płytkiej: Szablon:ElastycznyWiersz

Fale biegnące na wodzie

Rozważmy teraz fale na wodzie, które przestawiamy względem funkcji sinus i kosinus przy argumencie ωt-kx, których definicja przemieszczenia igrekowego i iksowego przestawiamy koleino: Szablon:ElastycznyWiersz Związki na f(y) i g(y) dla ψSzablon:Sub Szablon:LinkWzór i ψSzablon:Sub Szablon:LinkWzór są Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, zatem dalsze obliczenia co do fal rozchodzących się po wodzie są takie same jak dla fal stojących, więc nie należy ich powtarzać.

Fale elektromagnetyczne w próżni

Zestaw równań obowiązujących w próżni, dla którego gęstość objętościowa ładunku i gęstość objętościowa prądu elektrycznego jest równa zero, określamy wedle: Szablon:Tabelka

Rozpatrzmy teraz równanie fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w próżni, dostajemy gdy równość Szablon:LinkWzór zróżniczkujemy obustronnie cząstkowo względem czasu, i do niego podstawiając wzór Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Tutaj skorzystamy z tożsamości różniczkowej, które tutaj nie będziemy udowodniać i ją przestawiamy w postaci: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór możemy napisać na podstawie zachodzącej tożsamości różniczkowej Szablon:LinkWzór i pierwszego równania różniczkowego Maxwella Szablon:LinkWzór w postaci: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest równoważne trzem równaniom różniczkowym, które przepisujemy trzema związkami, które są równaniami falowymi: Szablon:ElastycznyWiersz Równania Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są to klasyczne równania falowe dla każdej współrzędnej z osobna. Podobne związki możemy otrzymać, gdy mamy doczynienia z falami magnetycznymi, które też otrzymujemy w postaci trzech związków. Całkowity wektor fali elektrycznej i magnetycznej, gdy mamy poszczególne współrzędne, które są równaniami falowymi, przestawiamy: Szablon:ElastycznyWiersz Z warunku Szablon:LinkWzór wynika, że składowa zetowa natężenia pola elektrycznego nie zależy od współrzędnej zetowej, czyli stąd wynika, że mamy doczynienia z falami poprzecznymi, napiszemy teraz dowód wykorzystując, że fala Szablon:LinkWzór nie zależy od współrzędnej iksowej i igrekowej, która mówi o poprzeczności fali elektrycznej, co matematycznie zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Z Szablon:LinkWzór wynika, co chcieliśmy wykazać. Następnie wykażmy czy pole magnetyczne jest polem poprzecznym, w tym celu należy wykorzystać drugie prawo Maxwella Szablon:LinkWzór i z zależności współrzędnych wektora wektora indukcji magnetycznej Szablon:LinkWzór, z której wynika od razu poprzeczność naszej fali magnetycznej. Wykażemy teraz, że zetowa współrzędna fali elektromagnetycznej nie zależy od czasu dla pola elektrycznego, w tym celu należy wykorzystać tożsamość Szablon:LinkWzór dla fali magnetycznej zapisaną w punkcie Szablon:LinkWzór w postaci pewnego wektora, stąd wnioskujemy, że współrzędna zetowa fali elektrycznej nie zależy od czasu, a matematyczny zapis tego dowodu jest: Szablon:CentrujWzór Co z czwartego różniczkowego prawa Maxwella wynika nasz upragniony dowód o niezależności współrzędnej zetowej pola elektrycznego od czasu. Podobnie wykazujemy, że współrzędna zetowa pola magnetycznego też nie zależy od czasu, w tym celu należy skorzystać ze wzoru Szablon:LinkWzór, co tutaj dowodzimy jak w punkcie Szablon:LinkWzór.

Polaryzacja liniowa i eliptyczna pola elektromagnetycznego

Współrzędne pola elektrycznego nie są sprzężone równaniami różniczkowymi Maxwella ESzablon:Sub i ESzablon:Sub, one są niezależne od siebie, tzn. możemy wytworzyć je w taki sposób by ESzablon:Sub było zawsze różne od zera, a składowa ESzablon:Sub było zawsze równe zero, mówimy wtedy, że fala elektryczna jest spolaryzowana w kierunku wektora Szablon:Formuła. Układ jest spolaryzowany kołowo, gdy natężenia współrzędnych fali elektrycznej spełniają zależności: Szablon:ElastycznyWiersz Widzimy, że według przestawienia współrzędnych iksowej Szablon:LinkWzór i igrekowej Szablon:LinkWzór pola elektrycznego zmieniają się z częstością kołową ω, co takie przestawienie składowych pola elektrycznego nazywamy polaryzacją kołową, to te współrzędne pola możemy powiązać równaniem: Szablon:CentrujWzór Natomiast, gdy pole jest związane zależnościami dla drgających składowych fali pola elektrycznego z częstością kołową ω: Szablon:ElastycznyWiersz wtedy na podstawie zależności współrzędnej iksowej Szablon:LinkWzór i igrekowej Szablon:LinkWzór pola elektrycznego, to takie przestawienie składowych pola elektrycznego nazywamy polaryzacją eliptyczną, możemy je powiązać równaniem: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że polaryzacja kołowa przestawiona wzorem Szablon:LinkWzór jest szczególnym przypadkiem polaryzacji eliptycznej Szablon:LinkWzór dla ESzablon:Sub=ESzablon:Sub=ESzablon:Sub.

Biegnące Fale elektromagnetycznego harmoniczne

Przyjmijmy, że mamy falę biegnącą harmoniczną przestawiającą drgania pola elektrycznego w czasie drgającą z częstością kołową ω i posiadającej liczbę falową równą "k" przestawianą przy założeniu, że ta fala jest fala liniową. Szablon:CentrujWzór Biorąc warunki koleino Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wtedy przy pomocy równania fali Szablon:LinkWzór przestawiających falę elektryczną biegnącą harmoniczną, które możemy wykorzystać do przestawienia poniższych równości: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Widzimy na podstawie wzorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, że pochodna BSzablon:Sub względem czasu "t" i położenia "z" jest wprost proporcjonalna do odpowiednich pochodnych fali elektrycznej ESzablon:Sub, zatem wnioski stąd wynikające: Szablon:ElastycznyWiersz W powyższych rozważaniach pola elektryczne i magnetyczne biegły w zgodnych kierunkach zgodnie z osią "z", którego równania dla składowej pola magnetycznego igrekowego powstaje po podzieleniu ESzablon:Sub przez prędkość światła, co Szablon:LinkWzór dla pola elektrycznego razem z równania fali pola indukcji magnetycznej napisaną poniżej jest zgodne z równaniami Maxwella: Szablon:CentrujWzór Ale również możemy rozpatrywać falę BSzablon:Sub, dla której ta fala biegnie w kierunku przeciwnym do osi "z", którego równanie fali jest ze znakiem przeciwnym niż u Szablon:LinkWzór i to równanie fali wyrażamy według: Szablon:CentrujWzór to równanie razem z Szablon:LinkWzór również jest zgodne z równaniami Maxwella. Oba te kierunki są uwzględnione od razu w równaniach Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór.

Stojąca fala elektromagnetyczna

Zajmijmy się teraz falami elektromagnetycznymi, zatem w nim występująca fala elektryczna może się rozchodzić w dwóch przeciwstawnym kierunkach, tzn. z kierunkiem +z i kierunkiem -z, wtedy suma amplitud tejże fali, dla której wykorzystamy wiadomości z trygonometrii, jest opisywana: Szablon:CentrujWzór Wektor indukcji magnetycznej jest napisany w zależności od natężenia pola elektrycznego, którą piszemy w postaci iloczynu wektorowego wektora jednostkowego w kierunku propagacji fali przez natężenie pola elektrycznego i ta całość podzielona przez prędkość światła w próżni "c". Szablon:CentrujWzór Dla fali magnetycznej w zależnej od fali elektrycznej biegnącej zgodnie lub niezgodnie z osią zetową, to ich superpozycja jest wyrażona: Szablon:CentrujWzór Jeśli patrząc na wzór Szablon:LinkWzór, to można powiedzieć, że współrzędne igrekowe fali magnetycznej lecącą w kierunku +z odpowiadające fali elektrycznej iksowej lecącą w kierunku +z, a także odpowiadające współrzędne fali magnetycznej igrekowej lecącą do -z, która odpowiadają iksowej fali elektrycznej lecącą zgodnie -z, jeśli te dwie składowej pola magnetycznego lecącego zgodnie i odwrotnie do zwrotu osi zetowej dodamy je do siebie, w ten sposób otrzymujemy stojącą fale magnetyczną w postaci: Szablon:CentrujWzór

Strumień rozchodzenia się energii fali płaskiej przez pewną powierzchnię

Gęstość energii występujących w danym punkcie nieskończenie małym w próżni jest wyrażona w zależności od natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego poprzez wzór: Szablon:CentrujWzór Spróbujmy wyrazić energię występującym w nieskończenie małym elemencie powierzchni prostopadłej do osi z i grubości nieskończenie małej Δz, wtedy ta wielkość jest wyrażona przez: Szablon:CentrujWzór Wielkość Szablon:LinkWzór zróżniczkujmy obustronnie względem czasu wykorzystując definicję o pochodnej iloczynu dwóch funkcji, w ten sposób otrzymujemy wyrażenie mówiące ile jest energii dostarczanej do objetości nieskończenie małej w ΔzA w jednostce czasu. Szablon:CentrujWzór Teraz wykorzystajmy tożsamości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, by wyliczyć wartość energii wpływającej do powierzchni A o grubości Δz. Szablon:CentrujWzór Współrzędna zetowa ilości przekazywanej energii przez powierzchnię A w jednostce czasu i jednostce powierzchni jest to iloczyn wektorowy wektora natężenia fali elektrycznej przez wektor natężenia fali magnetycznej, jest wyrażona na podstawie Szablon:LinkWzór jako: Szablon:CentrujWzór

Wektorem Poyntinga nazywamy wektor, którego wartość jest ilością energii przekazywanej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni, a kierunek jest prostopadły do tej powierzchni, a zwrot jest na zewnątrz jej. Szablon:CentrujWzór Jeśli wyrazić współrzędną iksową natężenia pola elektrycznego i igrekową współrzędną indukcji pola magnetycznego przy pomocy funkcji kosinus, w ten sposób mamy dwa równania: Szablon:ElastycznyWiersz Gęstość energii Szablon:LinkWzór, u której występuje wektor natężenia pola elektrycznego, który ma tylko składową niezerową iksową, a dla pola magnetycznego posiada tylko składową igrekową, jest: Szablon:CentrujWzór Ilość energii całkowitej wypływającej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni jest narysowana przez: Szablon:CentrujWzór

Gęstość i strumień energii dla elektromagnetycznej stojącej

Mając wzory dla fali stojącej pola elektrycznego Szablon:LinkWzór i pola magnetycznego Szablon:LinkWzór, to wtedy gęstość energii pola elektrycznego i gęstość energii pola magnetycznego mają maksima w odstępach 1/4 okresy i w odstępach położenia równej 1/4 długości fali. Energia pola elektrycznego oscyluje z częstością kołową równej 2ω od zera do podwojonej wartości średniej, podobnie dzieje się z energią pola magnetycznego, a wiec energia oscyluje z tematu, w którym mamy czystą energią pola elektrycznego do tematu w którym mamy czystą energię magnetyczną, z maksimami odległymi od siebie równej 1/4λ. Przypomina to energie oscylatora harmonicznego, w której w jednej chwili mamy czystą energię potencjalną do chwili, gdy mamy czystą energię kinetyczną.

Ciśnienie promieniowania

Foton, który zostaje pochłonięty przez daną jednostkę powierzchni przekazuje jej pewien pęd równą pędowi cząstki, a jeśli foton całkowicie zostanie odbity od powierzchni przekazuje jej podwójny pęd równy zmianie pędu fotonu po odbiciu i przed odbiciem. Aby wyznaczyć zależność ciśnienia promieniowania promieniowania w zależności od energii danego fotonu musimy napisać siłę Lorentza w postaci: Szablon:CentrujWzór Weźmy sobie średnią czasową wyrażenia Szablon:LinkWzór. Wyraz Szablon:Formuła ma średnią wartość równą zero, także ostatnio wyraz rozważanego wyrażenia jest równy zero, dzieje się to tak dlatego, że przyrost prędkości w kierunku osi z można zaniedbać. Pozostaje nam jeden wyraz, dla którego będziemy liczyli średnią powyższego wyrażenia, co możemy przepisać go w postaci: Szablon:CentrujWzór Z drugiej jednak strony moc wykonywana nad przesunięciem ładunku jest iloczynem siły Szablon:LinkWzór i prędkości: Szablon:CentrujWzór Ponieważ cBSzablon:Sub=ESzablon:Sub, wtedy możemy połączyć równości Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymać związek między przekazywanym pędem a mocą wykonywaną nad ładunkiem: Szablon:CentrujWzór Ze wzoru Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć pęd fotonu w zależności od jego energii, który to pęd jest ilorazem energii fotonu W przez prędkość światła "c", lub inaczej energii fali W odpowiada pęd fali Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Energia W możemy również wyznaczyć z poniższego wzoru, która jest to energia policzona ze związku między energią a pędem ze szczególnej teorii względności dla masy jego spoczynkowej równy zero (jeśli tam podstawić M=0), co w rezultacie otrzymujemy w wyniku końcowych perypetiach równość Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór

Moment pędu przekazywanej przez fale biegnącą fali płaskiej

Fala elektromagnetyczna posiada nie tylko energię i pęd liniowy, ale również moment pędu. Będziemy rozpatrywać fale elektryczne, które wprawiają w ruch obrotowy ładunek q, co jest niemożliwe przy polu spolaryzowanym liniowo. Rozważmy falę elektryczną o stałym natężeniu obracającego się z pewną prędkością kołową, w którym pole magnetyczne w zależności od pola magnetycznego piszemy poprzez wzór Szablon:Formuła. Pole elektryczne rozpędza ładunek q, a pole magnetyczne zakrzywia jego tor ruchu naszej cząstki. Moment skręcający Szablon:Formuła oddziałujący na ładunek q z siłą, która wynosi Szablon:Formuła, której ta wspomnianą wielkość piszemy pomnożoną przez częstotliwość kołową ω, wtedy: Szablon:CentrujWzór iloczyn wektorowy Szablon:Formuła ma kierunek zgodny z Szablon:Formuła, a Szablon:Formuła ma kierunek Szablon:Formuła. A ponieważ średnia czasowa prędkości w ciągu jednego okresu jest równe zero, to momentu całkowity pochodzący od pola magnetycznego nic nie wnosi do całkowitego momentu skręcającego, ale do niego wnosi tylko pole elektryczne: Szablon:CentrujWzór wtedy średnia czasowa momentu skręcającego w ciągu jednego okresu jest wyrażona przez wyrażenie: Szablon:CentrujWzór Moment pędu fali elektromagnetycznej spolaryzowanej kołowo możemy wyrazić od energii fali W na podstawie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodku jednorodnym liniowym

Prędkość światła w zależności od prędkości światła w próżni i względem stałych przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka liniowego wyrażamy wzorem: Szablon:CentrujWzór Wtedy kwadrat liczby falowej jest równy stosunkowi kwadratów częstotliwości kołowych drgań przez kwadrat prędkości światła pomnożonej przez iloczyn względnych przenikalności elektrycznej εSzablon:Sub i magnetycznej μSzablon:Sub ośrodka liniowego: Szablon:CentrujWzór

Promieniowanie pochodzące od przyspieszającego ładunku

Załóżmy, że ładunek q znajduje się w chwili początkowej w spoczynku od czasu t=-∞ do t=0, wtedy pole elektryczne tego ładunku jest to pole opisywane przez prawo Coulumba. W chwili t=0 cząstka doznaje chwilowego przyspieszenia przez króŧki czas Δt, a później porusza się ze stała prędkością v=aΔt. W chwili t=0 pole elektryczne dane jest przez prawo Coulumba: Szablon:CentrujWzór Określmy teraz czas t długi w porównaniu z czasem Δt. Gdy odległość r jest mniejsza niż c(t-Δt) od ładunku q załamanie już mineło i pole elektryczne jest wtedy wywoływane przez ładunek poruszających się z prędkością v, jest określone jest przez wzór w zależności od kąta θ, w którym jest to kąt pomiędzy wektorem wodzącym punktu, w którym następuje obserwacja, którego początek ma w punkcie położenia chwilowego ładunku q, względem prędkości źródła pola elektrycznego: Szablon:CentrujWzór Szablon:Rysunek Gdy prędkość ładunku jest o wiele mniejsza niż prędkość ładunku, czyli v<<c, wtedy pole elektryczne jest opisywane przez Szablon:LinkWzór. Oznaczmy przez Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, które są to wartości bezwzględne składowych Szablon:Formuła koleino prostopadłej i równoległej do kierunku wektora Szablon:Formuła, które jest polem zajętym przez załamanie, pochodzących od ładunku, który poruszał się z przyspieszeniem. Prawo zachowania strumienia linii sił pola elektrycznego pociąga ze sobą oczywiście ciągłość linii sił i dlatego stosunek poprzecznej składowej pola elektrycznego Szablon:Formuła do składowej równoległej (podłużnych) da się przestawić jako stosunek odległości Szablon:Formuła przez Szablon:Formuła, który piszemy poprzez: Szablon:CentrujWzór Ponieważ pole elektryczne jest opisywane przez równanie Szablon:LinkWzór, również przez ten sam wzór jest opisujemy składową równoległą (radialna) pola elektrycznego, tzn.: Szablon:CentrujWzór Możemy połączyć równanie Szablon:LinkWzór z równaniem na składową radialną pola elektrycznego Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy równość na składową prostopadłą pola elektrycznego: Szablon:CentrujWzór Całkowity wektor natężenia pola elektrycznego promieniowania określamy w zależności od wektora Szablon:Formuła jako: Szablon:CentrujWzór

Energia promieniowania wysyłana przez ładunek punktowy

Wiemy, że natężenia pola elektrycznego jest prostopadłe do wektora jednostkowego propagacji fali elektrycznej Szablon:Formuła, i wykorzystując definicję wektora Poyntinga, który jest natężeniem wysyłanym przez ładunek punktowy w danym punkcie na jednostkę powierzchni i jednostkę czasu, to wtedy możemy napisać wzór na ten wektor: Szablon:CentrujWzór Kwadrat przyspieszenia prostopadłego jest wyrażona od całkowitego przyspieszenia z definicji trójkąta prostokątnego w postaci: Szablon:CentrujWzór Tożsamość Szablon:LinkWzór możemy podstawić do Szablon:LinkWzór, w ten sposób mamy wzór na różniczkę mocy przekazywaną w jednostce czasu przez powierzchnię dS poprzez promieniowanie: Szablon:CentrujWzór Całkowita moc przekazywana w jednostce czasu przez powierzchnię zamkniętą wyrażamy poprzez całkę po całym przebiegu zmienności θ i φ, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór

Całkowite promieniowanie dipola elektrycznego

Załóżmy, że ładunek q porusza się ruchem harmonicznym, którego funkcję położenia i przyspieszenia podamy w jednej linijce: Szablon:ElastycznyWiersz Całkowita moc promieniowania dipola elektrycznego P, która jest zależna od częstotliwości kołowej drgań, która jest wysyłana do nieskończoności, wyliczamy go podstawiając Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór, w ten sposób: Szablon:CentrujWzór

Szerokość naturalna promieniowania linii atomu dla światła

Zależność całkowitej średniej energii w zależności do czasu wyrażamy przy pomocy wzoru Szablon:LinkWzór, zatem możemy udowodnić tożsamość, że pochodna zupełna energii układu względem czasu wziętej z minusem i po podzieleniu przez energie układu równa jest odwrotności współczynnika zaniku drgań τ, czyli współczynnikowi tłumienia Γ: Szablon:CentrujWzór Całkowita energia średnia oscylatora harmonicznego tłumionego dla słabego tłumienia zależnego od czasu (wtedy ω≈ωSzablon:Sub) możemy napisać poprzez: Szablon:CentrujWzór Całkowita moc promieniowania wysyłana przez pewną powierzchnię zamkniętą określamy przez wzór Szablon:LinkWzór i na podstawie tego możemy powiedzieć, że pochodna zupełna energii układu względem czasu wziętej z minusem wyrażamy: Szablon:CentrujWzór Do wzoru Szablon:LinkWzór postawiamy wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy wzór na naturalną szerokość połówkową linii światła: Szablon:CentrujWzór

Prawo Rayleigha

Weźmy sobie teraz elektron występujący w cząsteczce molekuły, który drga pod wpływem harmonicznego natężenia pola fali elektrycznej, którego współrzędna iksowa jest: Szablon:CentrujWzór Niech ładunek q będzie związany z w cząsteczką za pomocą sprężyny o współczynniku sprężystości Szablon:Formuła, który porusza się ruchem drgającym, wtedy równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki jest: Szablon:CentrujWzór Ale ponieważ zachodzi Szablon:Formuła, co jest słuszne dla ruchu drgającego harmonicznego, wtedy równość Szablon:LinkWzór możemy przepisać, po zastąpieniu iksowego przyspieszenia przez iloczyn kwadratu częstotliwości kołowej drgań i położenia tej cząstki względem osi iksowej, wtedy równanie ruchu elektronu przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Do wzoru Szablon:LinkWzór na całkowitą moc wypromieniowanej do nieskończoności podstawiamy do tożsamości Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór W omawianym przypadku, gdy częstość kołową drgań podstawowych ωSzablon:Sub jest o wiele większa niż częstość drgań harmonicznego pola elektrycznego, czyli ωSzablon:Sub>>ω, co można przy pomocy tychże dysput powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór jest tzw. prawem Rayleigha, która jest odwrotnie proporcjonalna do czwartej potęgi długości fali promieniowania wysyłany przez ładunek.

Czemu niebo jest niebieskawe

Światło w zależności od długości fali jest rozpraszane w taki sposób, że światło o większej długości fali promieniowania elektromagnetycznego jest rozpraszane słabiej niż światło o mniejszej długości, to rozpraszanie jest dane przez prawo Rayleigha, którego to prawo obowiązuje dla równości Szablon:LinkWzór, widzimy że światło niebieskie o długości fali 440-490nm jest lepiej rozpraszane niż światło czerwone, którego długość fali jest 630-780nm, i dlatego w dzień widzimy niebo niebieskawe, a wieczorem niebo czerwonawe.