Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Działania na zbiorach

Suma zbiorów

Sumę zbiorów A i B ilustruje poniższy diagram Venna: Szablon:Indeksuj

Przykład.

Jeżeli $A=\{1,2,5\}$ i $B=\{1,3,4\}$, to $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$. Pomimo tego, że 1 występuje w obydwu zbiorach, w sumie tych zbiorów występuje tylko jeden raz.

Iloczyn zbiorów

Przykład.

Jeśli $A=\{1,2,5\}$ i $B=\{1,3,4\}$, to $A\cap B=\{1\}$. Liczba 1 jest jedynym wspólnym elementem tych zbiorów.

Różnica zbiorów

Jeśli $A=\{1,2,5\}$ i $B=\{1,3,4\}$, to $A\mathrm{\setminus }B=\{2,5\}$. Jedynym wspólnym elementem obydwu zbiorów jest liczba 1, więc otrzymany zbiór będzie bardzo podobny do zbioru A, lecz nie posiadający liczby 1.

Dopełnienie zbioru

Z definicji dopełniania wynika także, że jest to po prostu różnica przestrzeni U i zbioru A: $A^{\prime }=U\mathrm{\setminus }A$. Zbiór U zwany jest zbiorem uniwersum. Czasami zamiast U używa się innego oznaczenia przestrzeni np. X.

Przykład.

Jeśli $A=\{1,2,3\}$, a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczb całkowitych dodatnich, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór $A^{\prime }=\{4,5,6,7,8,\dots \}$.

Przykład.

Jeśli $A=\{2,3,5,6\}$, a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczb całkowitych dodatnich jednocyfrowych, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór $A^{\prime }=\{1,4,7,8,9\}$, ponieważ:

$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

$A=\{2,3,5,6\}$

$A^{\prime }=U\mathrm{\setminus }A=\{1,4,7,8,9\}$

Własności działań na zbiorach i prawa De Morgana

Szablon:Indeksuj Prawa przedstawione wyżej mają pewne własności, które zaraz przedstawimy. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa:

• $(A\cup B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cap B^{\prime }$ -- I prawo De Morgana
• $(A\cap B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cup B^{\prime }$ -- II prawo De Morgana
• $A\cup B=B\cup A$ -- przemienność dodawania zbiorów
• $A\cap B=B\cap A$ -- przemienność mnożenia zbiorów
• $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ -- łączność dodawania zbiorów
• $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ -- łączność mnożenia zbiorów
• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ -- rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia
• $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ -- rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania

Przykład.

Mamy zbiór $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{1,3,5\}$, $C=\{3,5,9\}$. Obliczyć $D=A\cap (B\cup C)$:

$D=A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)=$

$=(\{1,2,3,4\}\cap \{1,3,5\})\cup (\{1,2,3,4\}\cap \{3,5,9\})=$

$=\{1,3\}\cup \{3\}=\{1,3\}$

(W rozwiązaniu celowo wykorzystano własności działań na zbiorach. Gdyby ich nie użyto rozwiązanie byłoby odrobinę krótsze.)