Fale/Układy fizyczne, a jego drgania swobodne

Ruchem drgającym harmonicznym nazywamy drgania, które zależą od częstotliwości kołowej drgań własnych ω i przesunięcia fazowego φ. Drgania te opisujemy względem czasu "t" wzorem: Szablon:CentrujWzór Ruch pokazany przy pomocy równości Szablon:LinkWzór, są to ruchy o jednym stopniu swobody. Okresem drgań harmonicznych nazywamy odwrotność częstości ν, którą możemy przepisać przy pomocy definicji częstotliwości kołowej: Szablon:CentrujWzór

Siła kierujące i bezwładność ciała dla drgań o jednym stopniu swobody

Ruch harmoniczny Szablon:LinkWzór jest rezultatem działania dwóch przeciwstawnych czynników, tzn. siły kierującej i bezwładności. Siła kierująca w ruchu harmonicznym usiłuje przywrócić układ do stanu równowagi, a bezwładność jest cechą układu, która przeciwstawia się zmianom ruchu układu.

Drgania tłumione

Ruch harmoniczny opisywany wzorem Szablon:LinkWzór nie jest ruchem tłumionym, bo jego amplituda nie zmienia się w miarę upływu czasu. W ruchu tłumionym, amplituda drgań maleje z czasem. Przykładem drgań gasnących są drgania opisane równością: Szablon:CentrujWzór

Wahadło matematyczne

Wahadłem matematycznym nazywamy układ, w którym ciało o masie M jest zawieszone na nieważkiej nici lub pręcie o długości l. Siłą kierującą w ruchu wahadła jest składowa siły grawitacji prostopadła do nici, jej wartość określa wzór F=Mg sinψ, to z drugiej zasady dynamiki Newtona w tym przypadku wynika: Szablon:CentrujWzór Funkcję sinus możemy rozłożyć w szereg Taylora, którego zapis dla naszej funkcji jest następujący: Szablon:CentrujWzór Dla małych kątów ψ, można pominąć wszystkie wyrazy szeregu poza pierwszym, wówczas równość Szablon:LinkWzór możemy przestawić Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Rozwiązaniem równania Szablon:LinkWzór są funkcje harmoniczne w postaci Szablon:LinkWzór (co udowodnimy poniżej), dla której druga pochodna tego właśnie przypuszczalnego rozwiązania naszej funkcji jest: Szablon:CentrujWzór Jeśli funkcję Szablon:LinkWzór wraz Szablon:LinkWzór podstawimy do wzoru Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymamy tożsamość, co dowodzi o harmoniczności ruchu masy M w wahadle matematycznym.

Ciężarek o masie M przyczepiony do dwóch sprężynek

Rozważmy dwie sprężynki przyczepione do ścianek i połączone ze sobą poprzez masę M. Sprężynki mają znikomą masę. Całkowita siła działająca na masę M jest wyrażona: Szablon:CentrujWzór Ruch ciężarka możemy opisać drugim prawem dynamiki Newtona, który piszemy: Szablon:CentrujWzór Ruch ciała M będziemy opisywać funkcją ψ(t), którą definiujemy jako starą funkcję z(t) minus stałą "a", zatem w Szablon:LinkWzór możemy dokonać zamiany zmiennych według: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór przy pomocy podstawienia Szablon:LinkWzór, którym występuje poszukiwana funkcja ψ(t) jest zależna od czasu, dla równania, która jest równaniem oscylatora harmonicznego, możemy zapisać w postaci: Szablon:CentrujWzór Kwadrat częstości kołowej ruchu harmonicznego ciała, a także rozwiązanie ruchu Szablon:LinkWzór na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, przestawiamy: Szablon:ElastycznyWiersz

Drgania poprzeczne ciężarka przyczepionego do sprężyn

Rozważmy ciężarek o masie M przyczepiony do dwóch nieważkich sprężyn. Współczynnik sprężystości sprężyn wynosi K. W położeniu równowagi każda ze sprężyn zostaje napięta do długości a. Opisywany układ może wykonywać dwa rodzaje drgań poprzecznych i jedno drganie podłużne. W stanie równowagi siła działająca na ciało z jednej ze sprężyn jest opisywana: Szablon:CentrujWzór Opisu drgań podłużnych nie będziemy powtarzać, ponieważ jest zamieszczony w poprzednim rozdziale. W drganiach poprzecznych siła, z jaką pojedyncza sprężyna działa na ciężarek M, jest opisana wzorem: Szablon:CentrujWzór Z drugiej zasady dynamiki Newtona ruch opisujący drgania poprzeczne jest opisywany przez równanie różniczkowe: Szablon:CentrujWzór Należy zauważyć, że długość l występująca po prawej stronie wzoru końcowego Szablon:LinkWzór jest funkcją w ogólności od zmiennej x.

Mała długość swobodna sprężyny jako pierwsze przybliżenie

Równanie ruchu ciała o masie M Szablon:LinkWzór w przybliżeniu małej długości sprężyny, tzn. stosunek długości sprężyny swobodnej aSzablon:Sub przez długość sprężyny l jest w naszym przypadku tutaj rozważanym wielkością pomijalną. Równanie ruchu Szablon:LinkWzór przybliżeniu tutaj omawianym jest w postaci: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór uzyskaliśmy na podstawie dokładnego rozwiązania Szablon:LinkWzór, w której definicja kwadratu częstotliwości kołowej dla przybliżenia małej długości sprężyny przy zachodzącym Szablon:LinkWzór jest: Szablon:CentrujWzór Rozwiązaniem równania ruchu Szablon:LinkWzór jest to równanie zależne od częstotliwości kołowej ω, które jest opisane wzorem Szablon:LinkWzór. Widzimy, ze zgodnie ze wzorami Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, że częstość drgań poprzecznych w naszym przybliżeniu jest równa częstości drgań podłużnych w ruchu drgającym ciała o masie M.

Przybliżenie małych drgań

Aby rozwiązać równanie różniczkowe Szablon:LinkWzór stosowaliśmy przybliżenia małej długości swobodnej sprężyny, wtedy stosunek długości swobodnej sprężyny aSzablon:Sub do długości aktualnej sprężyny jest względnie mały, których stosunek w takiej sytuacji możemy pominąć. Jeśli tego stosunku nie można pominąć, to możemy powiedzieć, że dla małego ε, względem którego będziemy rozkładali odwrotność długości chwilowej sprężyny w szereg Taylora, który to podstawimy do równania różniczkowego Szablon:LinkWzór, i pominiemy wyrazy wyższe niż liniowe, w ten sposób dojdziemy do równania różniczkowego, które jest równaniem różniczkowym ruchu harmonicznego, to co chcieliśmy otrzymać. Zatem napiszmy teraz definicję kwadratu chwilowej długości sprężyny "l" i kwadratu wielkości ε: Szablon:ElastycznyWiersz Odwrotność długości sprężyny liczymy rozkładając tę odwrotność w szereg Taylora względem zmiennej x, która jest położeniem ciała o masie M: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór podstawiamy do Szablon:LinkWzór do odjemnika w nawiasie, w ten sposób możemy otrzymać równość zależną od zmiennej x, którego to równanie jest równaniem oscylatora harmonicznego: Szablon:CentrujWzór Równanie ruchu Szablon:LinkWzór możemy przepisać dokonując odpowiednich przekształceń w nawiasie w końcowej wspomnianej tożsamości: Szablon:CentrujWzór W równaniu ruchu masy M zapisaną w punkcie Szablon:LinkWzór możemy pominąć wyższe wyrazy niż liniowe przy przybliżeniu małych drgań, by potem wykorzystać wzór Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Kwadrat częstotliwości kołowej ruchu drgającego drgań poprzecznych wynika z równania różniczkowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Rozwiązanie równania ruchu Szablon:LinkWzór przy definicji kwadratu częstotliwości kołowej Szablon:LinkWzór jest równaniem zapisane w punkcie Szablon:LinkWzór. Możemy wyznaczyć iloraz częstotliwość drgań podłużnych Szablon:LinkWzór przez częstotliwość kołową drgań poprzecznych Szablon:LinkWzór przy oznaczeniu Szablon:LinkWzór w następującej postaci: Szablon:CentrujWzór Patrząc na wzór Szablon:LinkWzór, gdy długość własna sprężyny aSzablon:Sub jest względnie mała w porównaniu z długością sprężyny w stanie równowagi "a", to częstotliwości kołowe drgań podłużnych i poprzecznych są sobie w przybliżeniu równe.

Obwód LC, czyli solenoid z dwoma kondensatorami

Równanie opisujących układ LC z dwoma kondensatorami o pojemności C i z cewką od indukcji elektrycznej L przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Ładunek QSzablon:Sub jest powiązany z ładunkiem QSzablon:Sub, a także ten drugi ładunek jest powiązany z natężeniem prądu elektrycznego płynącego w obwodzie: Szablon:ElastycznyWiersz Równanie Szablon:LinkWzór możemy tak napisać przy wykorzystaniu tożsamości Szablon:LinkWzór, które to możemy dalej zróżniczkować obustronnie względem czasu przy wykorzystaniu Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymamy równość różniczkową drugiego stopnia: Szablon:CentrujWzór Końcowe równanie Szablon:LinkWzór jest równaniem oscylatora harmonicznego, którego kwadrat częstotliwości kołowej przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Natężenie prądu elektrycznego, który jest rozwiązaniem równania różniczkowego Szablon:LinkWzór przestawiamy podobnym wzorem do Szablon:LinkWzór, jest to równanie w postaci: Szablon:CentrujWzór

Zasada superpozycji i liniowość równań ruchu

Omawiane tutaj były przypadki, w których siła kierunkowa była wprost proporcjonalna do ψ(t), natomiast niezależała od wyższych potęg ψ, tzn. ψSzablon:Sup,ψSzablon:Sup,.... Równanie niezawierające wyższych potęg ψ niż pierwszego stopnia nazywamy równaniem liniowym. Gdy w naszym równaniu występują wyższe potęgi niż pierwszego stopnia, tak powstałe równanie nazywamy nieliniowym. Natomiast, gdy równanie nie zawiera wyrazów z niezależnych od ψ nazywamy równaniem jednorodnym.

Wprowadzenie do równań liniowych jednorodnych

Równania liniowe i jednorodne różniczkowe mają tę właściwość, że suma dwóch rozwiązań równania liniowego i jednorodnego też spełnia równanie liniowe i jednorodne, co jest wiadomo. Udowodnimy czy też jest dla równań różniczkowych nieliniowych, że jeśli mamy dwa rozwiązania poniższego równania różniczkowego, to suma ich ma spełniać też to równanie, jak wykażemy co jest jedynie możliwe, gdy mamy równanie różniczkowe liniowe. A oto mamy równość różniczkową w ogólności zależną od wyższych potęg niż pierwszego stopnia: Szablon:CentrujWzór Weźmy dwa rozwiązania ψSzablon:Sub i ψSzablon:Sub, które spełniają równanie różniczkowe Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Sumę rozwiązań ψSzablon:Sub i ψSzablon:Sub też spełnia równanie różniczkowe Szablon:LinkWzór jak i składowe tejże sumy: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór możemy dodać do Szablon:LinkWzór do siebie i porównać ze wzorem Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy tożsamości: Szablon:ElastycznyWiersz Szablon:ElastycznyWiersz Równanie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są tożsamościami, tzn. które są zawsze spełnione, a równości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są zawsze spełnione tylko dla α=0 i β=0, zatem co zachodzi tylko dla rozwiązania liniowego przy postawionych warunkach powyżej, to superpozycja rozwiązań równania różniczkowego liniowego jest też rozwiązaniem tego samego równania różniczkowego. Co kończy dowód.

Warunki początkowe a superpozycja rozwiązań

Załóżmy, że mamy dwa rozwiązania jako szczególne rozwiązania w chwilach szczególnych ψSzablon:Sub(0) i ψSzablon:Sub(0), które odpowiadają warunkom brzegowym rozwiązań ψSzablon:Sub(t) i ψSzablon:Sub(t), a rozwiązania równania będące superpozycją naszych rozwiązań, czyli ψSzablon:Sub(t)+ψSzablon:Sub(t), odpowiadają warunki brzegowe w postaci: ψSzablon:Sub(0)+ψSzablon:Sub(0).

Niejednorodne równanie liniowe

Wprowadźmy do równania liniowego siłę wymuszającą F(t) zależną od czasu, wtedy po tej operacji otrzymujemy równanie różniczkowe: Szablon:CentrujWzór Załóżmy, że mamy dwa równania różniczkowe Szablon:LinkWzór, każde odpowiada innej sile wymuszającej, to superpozycja dwóch rozwiązań spełnia równanie różniczkowe odpowiadające sumie dwóch sił wymuszających w równaniu Szablon:LinkWzór, tzn. FSzablon:Sub(t)+FSzablon:Sub(t).

Wahadło sferyczne

W celu zilustrowania zasady superpozycji rozpatrzmy wahadło sferyczne zawieszone na nieważkiej nici, która posiada możliwość ruchu w dowolnym kierunku. Położenie równowagi znajduje się w punkcie x=0 i y=0, co równania ruchu takiego wahadła piszemy: Szablon:ElastycznyWiersz Powyższe dwa równania są rozdzielone, tzn. każde równanie zależy od innych zmiennych i ich rozwiązania są niezależne i są opisywane wzorami tylko od zmiennej t i są to dwa rozwiązania: Szablon:ElastycznyWiersz Kwadrat częstotliwości kołowej występujących w rozwiązaniach Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wynikających z równań Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór zapisujemy wzorem Szablon:LinkWzór.

Układy o dwóch stopniach swobody i jego drgania swobodne

Opis układów w ogólnej konfiguracji wymaga znajomości dwóch zmiennych, tzn. ψSzablon:Sub i ψSzablon:Sub, co oznacza np. ruch wahadła wokół płaszczyzn wzajemnie prostopadłych kierunkach w płaszczyźnie drgań, a w przypadku układów LC, co oznacza, że ψSzablon:Sub i ψSzablon:Sub oznaczają ładunki na dwóch kondensatorach lub też natężenia prądów elektrycznych. Najbardziej ogólny ruch harmoniczny jest superpozycja dwóch drgań harmonicznych, których jak wiemy też jest w pewnym senie ruchem harmonicznych. Składowe tych rozważanych drgań harmonicznych nazywamy drganiami normalnymi lub drganiami własnymi. Można tak dobrać warunki początkowe, by układ wykonywał jedno lub drugie drganie harmoniczne. Załóżmy, że układ wykonuje drgania z częstotliwościami kołowymi ωSzablon:Sub i ωSzablon:Sub. Przesunięcia fazowe dla obu drgań normalnych są sobie równe. Dla obu tychże drgań wychylenia od stanu równowagi są opisywane przez: Szablon:ElastycznyWiersz Dla drugiej postaci drgań normalnych, zachodzą podobne związki jak w punktach Szablon:LinkWzór I Szablon:LinkWzór, tylko jedynkę zamieniamy na dwójkę. W ogólnej konfiguracji wychylenia od położenia równowagi dla ψSzablon:Sub i ψSzablon:Sub zapisujemy jako superpozycja drgań harmonicznych o częstotliwościach ωSzablon:Sub i ωSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór a dla drugiej zmiennej, tzn. ψSzablon:Sub drgania opisujemy: Szablon:CentrujWzór

Wahadło sferyczne jako układ drgający o dwóch stopniach swobody

Dla wahadła sferycznego na podstawie równań różniczkowy opisujący te nasze drgania , tzn. równań Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór dla dwóch niezależnych drgań, tzn. w niezależnych zmiennych, dla którego kwadrat częstotliwości kołowej jest opisywany wzorem Szablon:LinkWzór, których to wychylenia od stanu równowagi dla tych rozważanych zmiennych są przestawione jako: Szablon:ElastycznyWiersz

Przybliżenie harmoniczne dla dwuwymiarowego układu współrzędnych

Szablon:Rysunek Szablon:Rysunek Rysunek obok przestawia ruch ciała o masie M przyczepionych do czterech sprężyn o stałych proporcjonalnych KSzablon:Sub i KSzablon:Sub, które są przyczepione do odpowiednich ścianek. Masy sprężynek są w przybliżeniu zerowe w porównaniu z masą kulki M. Kulka może wykonywać dwa niezależne drgania wzdłuż osi iksowej i igrekowej lub w postaci złożenia tychże drgań. We wzorach opisujących ruch masy M pomijamy człony xSzablon:Sup/aSzablon:Sup, ySzablon:Sup/aSzablon:Sup i xy/aSzablon:Sup. W ten sposób możemy napisać przybliżenie klasyczne małych drgań. Jeśli dokonamy odpowiedniego małego przesunięcia ciała M w kierunku osi iksowej, to wtedy z dokładnością do wyrazów wyżej podanych otrzymamy wzór na siłę iksową i igrekową w postaci: Szablon:ElastycznyWiersz Podobnie postępujemy, gdy dokonamy małego przesunięcia wzdłuż osi igrekowej. Ogólne równania ruchu opisujące drgania masy M są to równania ruchu zapisane w przybliżeniu małej długości sprężyny, które możemy napisać je jako dwa równania opisujące ruch ciała M na płaszczyźnie xy, których rozwiązania są superpozycją drgań wzdłuż osi iksowej i igrekowej: Szablon:ElastycznyWiersz Rozwiązania równania Szablon:LinkWzór, a także kwadrat częstotliwości kołowej możemy zapisać w postaci poniższych tożsamości: Szablon:ElastycznyWiersz Wychylenie od punktu początkowego względem osi igrekowej jako rozwiązanie równania różniczkowego Szablon:LinkWzór i kwadrat jej częstotliwości kołowej piszemy: Szablon:ElastycznyWiersz

Współrzędne normalne w układzie obróconym o pewien kąt

Szablon:Rysunek Albowiem równania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór opisują ruchy harmoniczne, ale w ogólności to ma ogólnych rozwiązań w postaci rozwiązań Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór. W naszym przypadku opisujące ruch harmoniczny. Aby łatwiej można było opisywać ruch harmoniczny kulki wprowadza się współrzędne x'. y', które są obliczone względem starych współrzędnych obrócone o kąt α, których są kombinacjami liniowymi współrzędnych starych x i y. Są to współrzędne, których równania ruchu masy M opisywane są względem jednej współrzędnej, a każde równanie różniczkowe zależy od innej zmiennej. W ogólnym przypadku wybór współrzędnych normalnych nie jest taki łatwy. Zazwyczaj jest tak, że równania ruchu zawierają współrzędne x i y wziętej razem. W ogólnym przypadku prosta transformacja nie wystarcza i należy dokonać ogólnej transformacji liniowej w układzie równań różniczkowych opisujących nasze ruchy, by w ten sposób każde równanie było opisywane we współrzędnych normalnych, tzn. każde równanie zależało tylko od jednej zmiennej.

Rozwiązywanie równań różniczkowych ruchu

Załóżmy, że mamy układ fizyczny, która drga, który jest opisywany przy pomocy równań różniczkowych zapisane we współrzędnych x i y w postaci: Szablon:ElastycznyWiersz Przyjmijmy, że rozwiązaniami równań ruchu Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są to rozwiązania w postaci funkcji x i y, które są opisywane w postaci funkcji zależnych od czasu i są zależne od takiego samego przesunięcia fazowego. Szablon:ElastycznyWiersz Jeśli układ wykonuje drgania normalne wzdłuż jednej osi, to wtedy równania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są opisywane równaniami dla każdego ruchu z osobna: Szablon:ElastycznyWiersz W ogólnym przypadku, gdy nie mamy doczynienia ze współrzędnymi normalnymi, to wtedy należy rozwiązania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór podstawić do Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymać następujący układ równań: Szablon:ElastycznyWiersz Z równań Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć stosunek x/y wedle następujących sposobów: Szablon:ElastycznyWiersz Warunkiem koniecznym by rozwiązać równania różniczkowe ruchu Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, jest równość obu stron Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, co prowadzi do: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest równaniem kwadratowym względem zmiennych ωSzablon:Sup, którego rozwiązaniem są dwa kwadraty częstotliwości ωSzablon:SubSzablon:Sup i ωSzablon:SubSzablon:Sup. Stosunek y/z względem równości Szablon:LinkWzór dla jednej i drugiej postaci drgań normalnych nazywamy stosunkiem w postaci: Szablon:ElastycznyWiersz Rozwiązaniami równania różniczkowego falowego Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór dla współrzędnej x jest superpozycją rozwiązań równania falowego dla częstotliwości ωSzablon:Sub i ωSzablon:Sub, co jest to rozwiązaniem w postaci: Szablon:CentrujWzór A rozwiązaniami y(y) według Szablon:LinkWzór są to rozwiązania przestawione w postaci równania: Szablon:CentrujWzór

Drgania podłużne, układ sprężynek i ciężarków

Rozpatrzmy układ trzech sprężynek o masie zaniedbywanej, w których dwie sprężynki są połączone ze ściankami, a sprężynka środkowa jest połączona z ciężarkami o masie M. Rozważmy sytuację, gdy dwa ciężarki są przesunięte o to samo przesunięcie, wtedy sprężynka środkowa nie jest napięta, Siła z jaką sprężynka działa na pierwsze ciało jest określona wzorem FSzablon:Sub=-KψSzablon:Sub, a na drugie ciało wzorem FSzablon:Sub=-KψSzablon:Sub, przy założeniu ψSzablon:Sub=ψSzablon:Sub, i pamiętając że sprężynka środkowa nie oddziaływuje w takim przypadku z ciężarkami, równanie ruchu jest opisane: Szablon:ElastycznyWiersz Kwadrat częstotliwości kołowej z jaką drga ten układ dwóch mas jest określony przez wzór: Szablon:CentrujWzór Rozważmy teraz sytuację, gdy ψSzablon:Sub=-ψSzablon:Sub, wtedy siła działająca na pierwszy ciężarek, której wartość jest równa potrojonej wartości współczynnika sprężystości i przesunięcia od stanu równowagi ciężarka pierwszego, której kierunek tej siły jest przeciwny niż kierunek osi zet: Szablon:CentrujWzór A całkowita siła działająca na drugi ciężarek, której wartość jest równa potrojonej wartości współczynnika sprężystości i przesunięcia od stanu równowagi ciężarka pierwszego, kierunek tej siły jest przeciwny niż kierunek osi zet: Szablon:CentrujWzór Równania ruchu dla ciężarka pierwszego i drugiego są określone przez wzory wynikających z drugiego prawa Newtona: Szablon:ElastycznyWiersz Kwadrat częstotliwości drgań swobodnych drgań normalnych, który dla drgań dwóch ciężarków opisywanych przez równania różniczkowe Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie przypadków szczególnych jakie dokonaliśmy w powyższych rozważaniach dowiadujemy się, że układ może drgać na dwa sposoby, której kwadrat częstotliwości jest opisany wzorem Szablon:LinkWzór lub Szablon:LinkWzór.

Rozważmy teraz przypadek ogólny, w którym opisywać będziemy ruch dwóch tych ciężarków, które są opisywane równaniami wynikających z drugiego prawa Newtona: Szablon:ElastycznyWiersz Równania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy do siebie dodać i je odjąć, w ten sposób otrzymać następne dwa równania zależne od zmiennych ψSzablon:Sub+ψSzablon:Sub i ψSzablon:Sub-ψSzablon:Sub: Szablon:ElastycznyWiersz Na podstawie równości Szablon:LinkWzór otrzymujemy pierwsze równanie na kwadrat częstotliwości kołowej drgań Szablon:LinkWzór, a także z równania Szablon:LinkWzór wynika drugi kwadrat częstotliwości kołowej drgań normalnych Szablon:LinkWzór. Z równań Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wnioskujemy, że można napisać następujące dwa równania: Szablon:ElastycznyWiersz Całkowite rozwiązanie ruchu opisujące przez równanie Szablon:LinkWzór i równanie Szablon:LinkWzór są opisywane dla ΨSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór A także rozwiązanie opisujące ruch ciała drugiego jest opisywane: Szablon:CentrujWzór

Drgania poprzeczne, układ sprężynek i ciężarków

Rozważmy teraz sobie konfigurację sprężynek wykonujących drgania poprzeczne. Rozpatrzmy teraz konfigurację, w którym środkowa sprężynka nie jest wcale naprężona, wtedy równanie ruchu pierwszej masy przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Równanie ruchu drugiego ciała jest bardzo podobne do Szablon:LinkWzór. To równanie rozwiązuje się tak samo jak Szablon:LinkWzór pamiętając przy tym o Szablon:LinkWzór, zatem kwadrat częstotliwości kołowej opisujący pierwsze drganie normalne dla ψSzablon:Sub=ψSzablon:Sub liczymy według: Szablon:CentrujWzór Następną postacią drgań normalnych jest to drganie, którego dla tego ruchu zachodzi ψSzablon:Sub=-ψSzablon:Sub, kąt pomiędzy sprężynką pierwszą a poziomem jest dwukrotnie mniejszy niż kąt pomiędzy sprężynką drugą a poziomem, co będziemy korzystali w wyprowadzeniu równania ruchu dla drugiej postaci drgań normalnych: Szablon:CentrujWzór Równanie ruchu dla drugiej sprężynki jest bardzo podobne do Szablon:LinkWzór. Równanie Szablon:LinkWzór rozwiązuje się bardzo podobnie jak równanie Szablon:LinkWzór pamiętając przy okazji o Szablon:LinkWzór, zatem kwadrat częstotliwości drgań normalnych możemy przestawić: Szablon:CentrujWzór

Dwa sprzężone ze sobą obwody LC

Układ dwóch sprzężonych ze sobą obwodów LC nazywamy układ składający się z trzech kondensatorów o pojemności C równoległych względem siebie i dwóch cewek o indukcyjności własnej L też równoległych wobec siebie. Napiszmy teraz równania różniczkowe według drugiego prawa Kirchhoffa, które rządzą dwoma oczkami z osobna, które to powiązane są ze sobą względem prądów płynących przez cewki ISzablon:Sub i ISzablon:Sub, i przy pomocy ładunków znajdujących się na poszczególnych kondensatorach QSzablon:Sub, QSzablon:Sub i QSzablon:Sub: Szablon:ElastycznyWiersz Możemy z różniczkować równania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór względem czasu i w ten sposób otrzymujemy stąd dwie dalsze tożsamości zawierające prądy ISzablon:Sub, ISzablon:Sub, a także pochodnych ładunków znajdujących się na kondensatorach QSzablon:Sub, QSzablon:Sub, QSzablon:Sub policzonych względem czasu: Szablon:ElastycznyWiersz Z pierwszego prawa Kirchhoffa możemy otrzymać trzy tożsamości, które wiążą ładunki na kondensatorach z natężeniami prądów płynących w poszczególnych obwodach: Szablon:ElastycznyWiersz Tożsamości Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy podstawić do wzorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy dwie równości różniczkowe zależne od zmiennych ISzablon:Sub i ISzablon:Sub i od pozostałych parametrów: Szablon:ElastycznyWiersz Równania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy do siebie dodać i odjąć, w ten sposób otrzymać dwa równania zależne od zmiennych ISzablon:Sub+ISzablon:Sub oraz od ISzablon:Sub-ISzablon:Sub z osobna, z których możemy wyznaczyć te wielkości w postaci ich drgań z pewnymi częstotliwościami kołowymi określonych kolejno przez ωSzablon:Sub i ωSzablon:Sub, zatem te dwa równania piszemy jako: Szablon:ElastycznyWiersz Z równań Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy otrzymać dwie wspomniane wcześniej częstotliwości kołowe drgań normalnych, której to kwadraty: Szablon:ElastycznyWiersz Układ drga z jedną częstotliwości kołowych, którego kwadraty są opisywane wzorami Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, gdy dla pierwszej mamy ISzablon:Sub=ISzablon:Sub, a dla drugiej ISzablon:Sub=-ISzablon:Sub. Ogólne rozwiązania na natężenia prądów ISzablon:Sub i ISzablon:Sub są zapisane jako: Szablon:ElastycznyWiersz

Dudnienia

Jest wiele przykładów układów drgających z dwiema częstotliwościami podstawowymi ωSzablon:Sub i ωSzablon:Sub, przykładem takich drgań mogą być drgania o dwóch stopniach swobody. Przykładem układów o dwóch stopniach swobody są drgania spowodowane przez dwie siły wymuszające drgających z dwoma częstotliwościami. Aby zobaczyć co to są dudnienia, rozpatrzmy dwa drania o takich samych amplitudach i różnych częstotliwościach podstawowych, które są opisane przez: Szablon:ElastycznyWiersz Całkowite wychylenie od położenia równowagi określamy jako sumę wychyleń Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór i są one zależne od częstotliwości kołowych ωSzablon:Sub i ωSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór

Modulacje

Średnią częstotliwość kołową ωSzablon:Sub, która jest sumą częstotliwości kołowych ωSzablon:Sub i ωSzablon:Sub podzielonych przez dwa, oraz częstotliwość kołową modulacji ωSzablon:Sub, która jest różnicą dwóch częstotliwości kołowych podanych wcześniej i podzielonych przez dwa: Szablon:ElastycznyWiersz Częstotliwości drgań kołowych drgań normalnych możemy napisać w zależności od częstotliwości drgań średnich i częstotliwości drgań modulacji: Szablon:ElastycznyWiersz Jeszcze raz patrząc na wzór Szablon:LinkWzór przy takich samych amplitudach A i B, które tutaj oznaczymy przez A, a także na wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wtedy możemy dojść do wniosku: Szablon:CentrujWzór

• gdzie amplituda modulacyjna określamy według wzoru Szablon:LinkWzór:

Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór jest wzorem ogólnym, ale największe korzyści daje nam, gdy częstotliwości ωSzablon:Sub i ωSzablon:Sub są do siebie zbliżone, to wtedy mamy na pewno ωSzablon:Sub≈ωSzablon:Sub i ωSzablon:Sub<<ωSzablon:Sub, a więc amplituda praktycznie się nie zmienia i wtedy układ wykonuje drania prawie harmoniczne o częstości ωSzablon:Sub. Natomiast gdy ωSzablon:Sub=0, to wtedy mamy ωSzablon:Sub=ωSzablon:Sub=ωSzablon:Sub, jeśli te częstotliwości kołowe różnią się niewiele, to taki ruch nazywamy prawie harmonicznym lub prawie monochromatycznym o częstotliwości ωSzablon:Sub i o amplitudzie prawie się nie zmieniającej.

Dudnienia wywołane przez dwa kamertony

Rozważmy dwa kamertony, które wywołują fale dźwiękowe, które powodują zmiany ciśnienia w pobliżu błony bębenkowej, której jako ψ jest różnicą ciśnień błony bębenkowej pomiędzy jej warstwą zewnętrzną a wewnętrzną. Jeśli mamy dwa kamertony, to ta różnica na naszej błonie jest równa sumie różnic ciśnień ψSzablon:Sub+ψSzablon:Sub, czyli jest superpozycją dwóch fal pochodzących od kamertonów. Gdy różnica częstotliwości ν różnią się o więcej niż 6%, to nasz mózg, wolą opis drgań opisany wzorem Szablon:LinkWzór. Oznacza to, że fale o dwóch częstotliwościach są słyszane jako dwa odrębne dźwięki. Jeśli natomiast mamy Szablon:Formuła, to słyszane dwa dźwięki oddzielona są wielką tercją. Jeśli natomiast Szablon:Formuła, wtedy dźwięk νSzablon:Sub słyszany jest jako półtonu wyższy od νSzablon:Sub. Jeśli natomiast dźwięki różnią o mniej niż 10Hz, to nasze ucho ma kłopoty z rozróżnianiem ich jako odrębne tony. W tym wypadku dźwięki są słyszane jako dźwięk o częstotliwości νSzablon:Sub o wolno zmiennej amplitudzie, który jest napisany zależnością Szablon:LinkWzór dla różnicy ciśnień ψ(t) danym wzorem Szablon:LinkWzór.

Detektor mocy superpozycji fali dźwiękowej

Według wzoru Szablon:LinkWzór amplituda fali dźwiękowej oscyluje z częstością kołową modulacji ωSzablon:Sub, co za każdym razem ωSzablon:Subt zwiększa się o 2π, w której amplituda modulacji ASzablon:Sub wykonuje pełny cykl modulacji (mamy tu na myśl powolne zmiany zmiany z częstotliwością modulacji ωSzablon:Sub). W tym czasie amplituda ASzablon:Sub dwa razy przyjmuje wartość równą zero, w której ludzkie ucho nic nie słyszy, a także przyjmuje dwa razy wartość bezwzględną równą wartości maksymalnej, tzn. raz maksymalną wartość wziętej z minusem, a za drugim razem z plusem, czyli w tym czasie amplituda przyjmuje dwa różne znaki o takiej samej wartości bezwzględnej amplitudy. Ludzkie ucho nie rozróżnia z jakim znakiem amplitudy mamy do czynienia, ale rozróżnia jedynie kwadrat amplitudy fali dźwiękowej, który ma dwa maksima w jednym trakcie okresu. Szablon:Rysunek Częstością dudnień nazywamy częstość powtarzania się maksymalnego kwadratu amplitudy fali modulowanej, jest ona pisana wzorem: Szablon:CentrujWzór Aby przekonać się o tym, że kwadrat amplitudy modulowanej, czyli kwadrat z Szablon:LinkWzór drga z częstotliwością kołową Szablon:LinkWzór, to napiszmy następujące przekształcenia wykorzystując znane związki z trygonometrii, wtedy: Szablon:CentrujWzór Widzimy na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór, że kwadrat amplitudy oscyluje z podwojoną częstotliwością modulowaną Szablon:LinkWzór, co było do wykazania.

Dudnienia słabo sprzężonych ze sobą wahadeł

Weźmy układ dwóch wahadeł słabo sprzężone ze sobą, czyli dwie masy M zawieszone na nieważkich niciach, oraz połączone ze sobą przy pomocy sprężynki o stałej sprężystości K. Rozwiązując równania ruchu dla tych mas M, dowiemy się, że układ może drgać z dwiema częstotliwościami kołowymi, które są opisywane w zależności od stałej sprężystości K, przyspieszenia grawitacyjnego g i masy M. Mając równania ruchu możemy określić częstotliwości dudnień lub częstotliwość modulowaną, a także częstotliwość średnią. Napiszmy teraz równania ruchu obu kulek w sposób: Szablon:ElastycznyWiersz Różniczkowe równania ruchu dla obu kulek M, tzn. Szablon:LinkWzór I Szablon:LinkWzór możemy dodać i odjąć od siebie, w ten sposób otrzymać wnioski zależne od zmiennych ψSzablon:Sub+ψSzablon:Sub (pierwsza równość) i od ψSzablon:Sub-ψSzablon:Sub (druga równość), by z tych równań wyznaczyć wzory na wspomniane zmienne przy pomocy definicji częstotliwości ωSzablon:Sub i ωSzablon:Sub: Szablon:ElastycznyWiersz Patrząc na wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy formuły na kwadraty wspomnianych częstotliwości kołowych drgań harmonicznych, których przedstawienie jest zależne od przyspieszenia ziemskiego "g", długości wahadła matematycznego "l" i stałej sprężystości K i masy obu kulek M: Szablon:ElastycznyWiersz W celu określenia jak wyglądają dudnienia napiszmy, czemu są równe ψSzablon:Sub I ψSzablon:Sub dla osobnych drgań harmonicznych, to napiszmy równania na przemieszczenie ciała "a" dla ψSzablon:Sub i ciała "b" dla ψSzablon:Sub przy definicji częstotliwości kołowych ωSzablon:Sub i ωSzablon:Sub, w takim wypadku piszemy je: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:Rysunek Najsilniejszy efekt obserwuje się, gdy obie amplitudy są jednakowego znaku, tzn. ASzablon:Sub=ASzablon:Sub=A. Jeśli któraś z amplitud jest równe zero lub w przybliżeniu równe zero, to mamy do czynienia z drganiami harmonicznymi z drgających z jedną częstotliwością kołową, tzn. ωSzablon:Sub i ωSzablon:Sub. Drgania dwóch mas przy jednakowych amplitudach możemy zapisać: Szablon:ElastycznyWiersz Wykorzystamy wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, by potem je użyć do Szablon:LinkWzór Szablon:LinkWzór, by dalej przeprowadzić końcowe obliczenia na drgania obu mas. Dla pierwszej masy mamy według wzoru na przemieszczenia ciała "a", czyli ψSzablon:Sub Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Dla drugiej masy mamy według wzoru na przemieszczenia ciała "b", czyli ψSzablon:Sub Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Energię kulki pierwszej określamy w zależności od częstotliwości modulacyjnej ωSzablon:Sub i ωSzablon:Sub, które określamy względem częstotliwości drgań podstawowych, którego piszemy przy pomocy kwadratu funkcji kosinus z iloczynu częstotliwości modulowanej i czasu, i częstotliwości średniej: Szablon:CentrujWzór A energię drugiej kulki podobnie jak dla pierwszej kulki określamy przez: Szablon:CentrujWzór Określmy teraz wielkość zwaną E, która jest sumą całkowitych energii kulki pierwszej Szablon:LinkWzór i drugiej Szablon:LinkWzór, którego ta energia jest wielkością stałą jak można udowodnić, tzn. tylko zależy od częstotliwości średniej obu drgań podstawowych: Szablon:CentrujWzór Całkowite energie kulki pierwszej Szablon:LinkWzór i drugiej Szablon:LinkWzór, wykorzystując przy tym fakt Szablon:LinkWzór, są napisane jako z definicji kwadratu sinusa i kosinusa kąta połówkowego: Szablon:ElastycznyWiersz A różnica energii obu kulek, tzn. ESzablon:Sub i ESzablon:Sub na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór przestawiamy jako funkcję wprost proporcjonalną do kosinusa z argumentu (ωSzablon:Sub-ωSzablon:Sub)t, i wyrażamy ją: Szablon:CentrujWzór