Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Pojęcie zbioru

Pojęcie zbioru

Szablon:Indeksuj W poprzednim rozdziale tłumaczyliśmy czym jest zbiór, a także zapoznaliśmy się z kilkoma oznaczeniami dotyczącymi zbioru takimi jak zawieranie czy moc. Dla przypomnienia spójrzmy na kilka przykładów. Przykładami zbiorów może być:

• zbiór książek,
• zbiór ciasteczek,
• zbiór możliwych do otrzymania ocen.

Załóżmy, że zbiór książek, który oznaczymy przez $K$, składa się z czterech książek o tytułach:

„W pustyni i w puszczy”,

„Matematyka dla liceum”,

„C++ w 24 godziny”,

„Angielski w 2 minuty”.

Liczba elementów, czyli inaczej moc zbioru, wynosi $|K|=4$. Jeśli książkę „Angielski w 2 minuty” oznaczymy przez Szablon:Math, wówczas możemy napisać $a\in K$, ponieważ książka ta należy do naszego zbioru książek Szablon:Math. Jednak jeśli książkę o tytule „Język niemiecki” oznaczymy przez Szablon:Math, wówczas zapiszemy $j\in ̸K$, ponieważ nie posiadamy tej książki.

Za chwilę zobaczymy, czym jest zawieranie i równość zbioru, a także czym się one od siebie różnią. A trochę później powiemy, jak można definiować zbiory.

Zawieranie i równość zbiorów

Przykład.

Oznaczmy $D_8$ jako zbiór wszystkich dodatnich dzielników liczby 8, a także B jako zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich mniejszych od 10. Wówczas:

$D_8=\{1,2,4,8\}$

$B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

Ponieważ wszystkie elementy w $D_8$ powtarzają się także w $B$, więc zbiór $D_8\subset B$. Kiedy mówimy, że jeden zbiór zawiera się w drugim, mamy na myśli to, że jest on po prostu podzbiorem tego zbioru. W przykładzie zbiór $D_8$ jest podzbiorem $B$. Odwrotna relacja nie zachodzi, ponieważ nie wszystkie elementy w $B$ znajdują się także w $D_8$ np. $3\notin D_8$. Gdyby taka relacja zachodziła, wynikałaby wtedy równość tych zbiorów, $A=B$, co zaraz zobaczymy w kolejnej definicji. Szablon:Indeksuj Szablon:Mat:Def

Przykład.

Jeśli $A=\{1,2,2\frac{1}{2},3\}$ i $B=\{1,2,\frac{5}{2},3\}$, to zbiory te są równe. Jak weźmiemy dowolny element w A, znajdziemy go także w B - $A\subset B$. Podobnie jeśli weźmiemy dowolny element z B znajdziemy go także w A - $B\subset A$. Wynika z tego, że zbiory te muszą być równe.

Definiowanie zbiorów

Szablon:Indeksuj Zbiory możemy definiować wymieniając wszystkie elementy danego zbioru lub podając własność, która charakteryzuje dany zbiór. Własność możemy podać słownie lub używając specjalnego zapisu, który zaraz zobaczymy.

Przykład.

Niech A oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8, wówczas możemy go opisać:

• słownie:

  zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8.

• wypisując wszystkie elementy:

  $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$,

• używając zapisu:

  $A=\{a:a\in \mathbb{Z}\wedge a>0\wedge a<8\}$

Zapis $A=\{a:a\in \mathbb{Z}\wedge a>0\wedge a<8\}$ czytamy: „zbiór A jest zbiorem wszystkich elementów a takich, że a należy do liczb całkowitych i a>0 i a<8”. Podobnie zapis $X=\{x:x\in ℝ\wedge x\in A\}$ możemy przeczytać „zbiór X jest zbiorem wszystkich elementów x takich, że x należy do liczb rzeczywistych i x należy do zbioru A”.

Jeśli mamy na myśli zbiór liczb rzeczywistych, często możemy skrócić nasz zapis. Na przykład $X=\{x:x\in ℝ\wedge x\ge 100\}$ możemy zapisać jako $X=\{x:x\ge 100\}$ i obydwa będą oznaczały to samo.

Przykład.

Oznaczmy $D_{15}$ jako zbiór dodatnich dzielników 15. Wypiszmy z tego zbioru wszystkie elementy parzyste, tworząc z nich zbiór X.

Ponieważ $D_{15}=\{1,3,5,15\}$, więc nie znajdziemy w nim żadnego elementu parzystego, w związku z tym zbiór X jest zbiorem pustym:

$X=\varnothing$.

Szablon:Nawigacja