Mechanika teoretyczna/Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny

Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne aSzablon:Sub, one oznaczają współrzędne ciała w chwili t=0, te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną xSzablon:Sub nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określana jest dodatkowo względem czasu: Szablon:CentrujWzór Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje aSzablon:Sub, oczywiście tą wielkość liczymy względem czasu, co możemy napisać sposobem: Szablon:CentrujWzór Opis prędkości danej wzorem Szablon:LinkWzór nazywamy opisem według Lagrange'a. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, ale interesuje nas ściśle okreslony punkt, jest to opis prędkości dany przez: Szablon:CentrujWzór Opis dawany wzorem Szablon:LinkWzór nazywamy opisem Eulera. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej trajektorii , czyli po zbiorze punktów, do której należy do tej trajektorii, a natomiast linią prądu nazywamy takie krzywe linie, do której styczne określa kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu nazywamy takie krzywe w przestrzeni trójwymiarowej, której równanie jest opisywane przez równość stosunków różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: Szablon:CentrujWzór Przyspieszeniem w znaczeniu Lagranga'e nazywamy przyspieszeniem określanego jako pochodną wielkości Szablon:LinkWzór względem czasu: Szablon:CentrujWzór Napiszmy teraz czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie, a także pochodna cząstkową prędkości względem czasu, zatem z definicji różniczki zupełnej możemy napisać tożsamość: Szablon:CentrujWzór Wektorowo związek Szablon:LinkWzór piszemy wedle schematu poniżej wykorzystują definicję gradientu: Szablon:CentrujWzór Ogólnie rzecz biorąc tożsamość podana w punkcie Szablon:LinkWzór jest słuszna dla dowolnego wektora Szablon:Formuła powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tego ostatniego, czyli naszej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się pochodną substancjalną.

Definicja źródeł i wirów

Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości Szablon:Formuła, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię S, którą definiujemy jako strumień pola prędkości: Szablon:CentrujWzór Infinitezymalny wektor Szablon:Formuła nazywamy wektor mówiąca jaka jest infinitezymalna powierzchnia przez którą przepływa ciecz, a zwrot tego wektora jest prostopadły do tej powierzchni i skierowanej jest na zewnątrz naszej powierzchni, jeśli mamy do czynienia z powierzchnią zamkniętą. Jeśli mamy tą powierzchnię, wtedy możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, wtedy strumień pola prędkości, gdy nie ma źródeł, możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Jeśli ciecz podczas jego ruchu ma źródła, to wtedy nie zachodzi Szablon:LinkWzór, ale zachodzi: Szablon:CentrujWzór Patrząc na wzór Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć, że jeśli Q>0, to ciecz wypływa z pewnej powierzchni, zaś jeśli Q<0, to ciecz wpływa do wewnątrz powierzchni Σ. Wielkość Q nazywamy wydajnością źródła. Z drugiej jednak strony wydajność źródła Q nazywamy taką wielkość, które jest całką po objętości względem wielkości q: Szablon:CentrujWzór Porównując wzory Szablon:LinkWzór ze wzorem Szablon:LinkWzór, korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, możemy napisać tożsamość: Szablon:CentrujWzór Wprowadźmy teraz inną wielkość, która określa wirowość pola prędkości danej cieczy, którą określa cyrkulacja z wielkości, która jest prędkością, jest ona określana wzorem poniżej, którego definicja jest całką po prędkościach względem infinitezymalnego wektora określająca dany element krzywej zamkniętej. Także w naszej cyrkulacji wykorzystamy twierdzenie Stokesa, wtedy będzie to całkowanie po powierzchni ograniczonej przez naszą wspomniana krzywą: Szablon:CentrujWzór Cyrkulacja Γ Szablon:LinkWzór jest związana z rotacją pola prędkości, którą to jest połową rotacji pola prędkości, które opisuje prędkość kątową wirów w danej badanej cieczy: Szablon:CentrujWzór Aby udowodnić wzór Szablon:LinkWzór napiszmy jak jest związana prędkość ciała z jej prędkością kątową, którego zapis jest taki, że jest iloczynem wektorowym prędkości kątowej i wektora wodzącego, który ma początek w samym środku wirów. Szablon:CentrujWzór W tym celu prędkość kątową przestawmy w postaci wektorowej Szablon:Formuła i policzmy połówkową wartość rotacji pola prędkości Szablon:LinkWzór, która jest opisany wzorem Szablon:LinkWzór, który to wykorzystamy przy dowodzie wzoru wspomnianego wcześniej: Szablon:CentrujWzór Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, to wtedy mamy do czynienia z ruchem wirowym, wtedy zachodzi Szablon:Formuła. Cyrkulację pola prędkości Szablon:LinkWzór nazywamy całkę na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór, którego to Szablon:Formuła nazywamy polem wirów, wielkość, którą nazywamy strumieniem wirów. Szablon:CentrujWzór

Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej

Rozparzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja tej samej wielkości względem prędkości są równe zero. Szablon:ElastycznyWiersz Oznaczmy przez prędkość danego punktu masowego po przez potencjał pola prędkości Φ w przestrzeni dwuwymiarowej, która jest gradientem wspomnianego potencjału pola prędkości: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że równanie Szablon:LinkWzór jest tak sformułowane, by rotacja pola prędkości Szablon:LinkWzór przyjmowała wartość zerową, co dowód podamy poniżej, wykorzystując definicję rotacji i gradientu. Szablon:CentrujWzór Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową, to zdefiniujemy prędkość danego punktu cieczy, to współrzędne jego zależą do współrzednej x i y w przestrzeni dwuwymiarowej, którego nasz przepływ zachodzi dla z=0, czyli ruch zachodzi w płaszczyźnie zetowej o tej współrzędnej równej zero. Szablon:CentrujWzór Jeśli dokonamy podstawienia, której współrzędna iksowa prędkości jest pochodną cząstkową pewnej wielkości Ψ względem współrzędnej igrekowej, a współrzędna igrekowa prędkości jest pochodną cząstkową wielkości Ψ względem współrzędnej iksowej i wziętej z minusem: Szablon:ElastycznyWiersz Definicje współrzędnych prędkości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są tak sformułowane, by dywergencja prędkości miała wartość zerową, tzn. spełniającego tożsamość poniżej, do której podstawimy wspomniane wielkości w tym zdaniu, by na końcu udowodnić, że nasze pole prędkości jest polem bezźródłowym: Szablon:CentrujWzór Jeśli wprowadzimy wielkość, której wszystkie współrzędne są równe zero, oprócz ostatniej, która jest równa Ψ, zatem tą wielkość przestawimy wzorem Szablon:Formuła, to można zauważyć, że jeśli zachodzą związki prędkości iksowej i igrekowej, tzn. wielkości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, to wtedy dowiemy się, że rotacja wektora Szablon:Formuła jest równa prędkości dla danego punktu cieczy: Szablon:CentrujWzór Patrząc na wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, a także na definicję prędkości Szablon:LinkWzór poprzez potencjał pola prędkości Φ, wtedy dostajemy wniosek: Szablon:ElastycznyWiersz Wprowadźmy teraz funkcję W(z) , której częścią rzeczywistą jest funkcja Φ(x,y), a częścią urojoną jest funkcja Ψ(x,y), zatem na podstawie tego możemy zbudować zespoloną funkcję, której zapis: Szablon:CentrujWzór Określmy teraz prędkość zespoloną, która jest pochodną zupełną wielkości W(z) Szablon:LinkWzór względem jej argumentu z, i wykorzystując przy tym fakt Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór i definicję prędkości względem potencjału pola prędkości Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Zespolona sprzężona prędkość na powstaje z jej odpowiednika normalnego Szablon:LinkWzór, i piszemy go wzorem poniżej. Szablon:CentrujWzór Teraz zbadajmy jak się zmienia wielkość Ψ wzdłuż linii prądu, w tym celu należy rozpisać różniczkę funkcji ψ z twierdzenia o różniczce zupełnej wielkości dwóch zmiennych, i wykorzystując przy tym fakt na linię prądów Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Obliczenia wykonane w punkcie Szablon:LinkWzór mówią, że wzdłuż linii prądów wielkość Ψ jest wielkością stałą.

Wprowadzenie tensora deformacji

Nowe położenie cząstki xSzablon:Sub jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od jej chwili początkowej, co możemy napisać równaniami dla położenia nowego cząstki i różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek naszego ciała po deformacji: Szablon:ElastycznyWiersz Wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie Szablon:LinkWzór w zależności od różniczki daSzablon:Sub, wiedząc, że pole sSzablon:Sub jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych aSzablon:Sub, którą to napiszemy za nawiasem wykorzystując definicję delty Kroneckera. Różniczkę położeń końcowych dwóch najbliższych infinitezymalnie bliskich punktów należących do danego ciała piszemy: Szablon:CentrujWzór Tensor Szablon:Formuła nazywamy tensorem dystorsji lub tensorem przesunięć. Wyrażenie Szablon:LinkWzór zawiera nie tylko same deformacje, ale też same obroty, aby otrzymać wyrażenie, które zawiera same deformacje należy napisać obiekt, które jest różnicą kwadratów dwóch odległości, tzn. nowych odległości między punktami ciała po deformacji i ciała przed deformacją, tzn. między punktami aSzablon:Sub i aSzablon:Sub+daSzablon:Sub, wykorzystując przy tym fakt Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wprowadzimy teraz tensor deformacji εSzablon:Sub, który jest z definicji symetryczny ze względu na przestawienie jego wskaźników, który składa się części pierwszego rzędu, z tensorów dystorsji i członu kwadratowego, definicja tego tensora jest: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie na różniczkę zmiany początkowych położeń w zależności od różniczki między końcowymi położeniami, wiedząc że sSzablon:Sub jest jednoznaczną funkcją położeń końcowych, i wykorzystując definicję delty Kroneckera, to różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych przedstawiamy: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie Szablon:LinkWzór zawiera nie tylko same deformacje, ale też same obroty, aby otrzymać wyrażenie, które zawiera same deformacje należy napisać obiekt, która jest różnicą kwadratów dwóch odległości, tzn. nowych odległości między punktami ciała po deformacji i ciała przed deformację, tzn. pomiędzy punktami xSzablon:Sub i xSzablon:Sub+dxSzablon:Sub, wykorzystując przy tym wspomniane wyrażenie, wtedy powiemy: Szablon:CentrujWzór Tensor deformacji Szablon:Formuła nazywamy w tym przypadku tensor: Szablon:CentrujWzór Jeśli dodatkowo ograniczymy się do małej deformacji ciała deformowanego Szablon:Formuła, to w wyrażeniach na tensory deformacji Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy pominąć wyrazy kwadratowe, w ten sposób dostajemy wzory na przybliżone tensory deformacji Szablon:Formuła i Szablon:Formuła: Szablon:ElastycznyWiersz Tensor dystorsji możemy rozłożyć na jej część symetryczną εSzablon:Sub, który jest tensorem symetrycznym i asymetryczną DSzablon:Sub, który jest tensorem asymetrycznym: Szablon:CentrujWzór By zobaczyć co ze sobą reprezentuje tensor asymetryczny Szablon:Formuła możemy wyznaczyć wektor Szablon:Formuła, który ma trzy niezależne elementy, a jego definicja jest: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór możemy zapisać w postaci zwartej przy pomocy wektora Szablon:Formuła i definicji operatora rotacji, który to poniższy tensor jest rotacją wielkości Szablon:Formuła, i całość jest pomnożona przez połowę jedynki i wziętej razem z minusem: Szablon:CentrujWzór Napiszmy teraz elementy tensora asymetrycznego DSzablon:Sub, przestawionego w punkcie Szablon:LinkWzór (pierwsza równość poniżej), patrząc na definicję wielkości DSzablon:Sub napisanego w punkcie Szablon:LinkWzór (druga równość poniżej), którego elementy możemy przestawić jako: Szablon:CentrujWzór Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu Szablon:Formuła wokół osi równoległej wyznaczonej przez wektor $\mathrm{rot}\overrightarrow{s}$ i przechodzącej przez punkt określany przez wektor Szablon:Formuła, i wykorzystując fakt Szablon:LinkWzór, co piszemy je: Szablon:CentrujWzór

Tensor deformacji i jego sens fizyczny

Aby z ilustrować sens fizyczny tensora deformacji, dla którego będziemy rozpatrywać będziemy wydłużenie liniowe, skręcenia, a także przypadek na rozszerzalnością objętościowa i to wszystko dotyczy ciał fizyczny, którego będziemy mieli na uwadze.

Wydłużenie liniowe ciał fizycznych

Wydłużenie liniowe ε ciał nazywamy wielkość, jego przepis jest: Szablon:CentrujWzór Z równania Szablon:LinkWzór możemy napisać tożsamość jako kwadrat infinitezymalnych odległości blisko siebie położonych punktów w ciele po deformacji poprzez kwadrat długości pomiędzy dwoma tymi samymi punktami przed deformacją, wtedy nasz wzór możemy zapisać jako poniżej, wtedy możemy podzielić tą równość przez infinitezymalną długość między naszymi punktami dlSzablon:Sup: Szablon:CentrujWzór

• gdzie eSzablon:Sub są to elementy składowe wektora Szablon:Formuła, którego odkształcenie jest w kierunku wektora Szablon:Formuła. W takim bodź razem wielkość Szablon:LinkWzór możemy zapisać:

Szablon:CentrujWzór Wielkość ε daje nam względną zmianę długości ciała względem jej wydłużenia początkowego w kierunku wektora Szablon:Formuła, tensor εSzablon:Sub ma tylko elementy diagonalne, którego to elementy charakteryzują wydłużenie ciała względem danej osi symetrii charakteryzujących dane ciało fizyczne, to macierzowo piszemy elementy wspomnianego tensora deformacji: Szablon:CentrujWzór Wielkości εSzablon:Sub występujące w macierzy na εSzablon:Sub są elementami własnymi tensora deformacji i je nazywamy głównymi dylatacjami.

Skręcenia

Szablon:Rysunek Rozparzmy sobie dwa kierunku, które to wektory określające te kierunki są do siebie prostopadłe i są zdefiniowane w sposób: Szablon:ElastycznyWiersz Określmy sobie teraz kąt θ, którego definicja jest napisana wzorem poniżej, który to kąt jest bliski kątowi prostemu: Szablon:CentrujWzór Wiemy, że kąt pomiędzy ściankami zmienia się, które jest określony przez Szablon:LinkWzór, zatem z oczywistych powodów z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać warunek: Szablon:CentrujWzór

• gdzie z oczywistych powodów wielkości Szablon:Formuła i Szablon:Formuła możemy zapisać:

Szablon:ElastycznyWiersz Infinitezymalny iloczyn dxSzablon:SubdxSzablon:Sub zapisujemy wzorem według Szablon:LinkWzór, do którego wykorzystamy fakt, że iloczyn skalarny położeń początkowych danych dwóch punktów masowych umieszczonych na rozważanych dwóch różnych bokach jest równy zero: Szablon:CentrujWzór Z definicji wydłużenia liniowego możemy wyznaczyć końcowe wydłużenie względem wydłużenia początkowego ciała niedeformowanego: Szablon:CentrujWzór Nasz kosinus możemy zapisać wychodząc od wzoru Szablon:LinkWzór, z którego wyznaczymy kosinus kąta θ, i do którego wykorzystamy definicję wydłużenia Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór i iloczynu skalarnego dwóch różniczek położeń końcowych danych punktów masowych umieszczonych na dwóch różnych bokach mającej ten sam początek Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Napiszmy teraz wektory jednostkowe określonych przed deformacją rozważanego ciała dla dwóch rozważanych boków Szablon:Formuła, Szablon:Formuła, wtedy współczynnik γ na podstawie definicji kata θ Szablon:LinkWzór, a także definicji wektorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, możemy napisać tożsamość: Szablon:CentrujWzór Wielkość określoną wzorem Szablon:LinkWzór nazywamy skręceniem, która dla małych skręceń, czyli dla małych wartości kata φ, możemy napisać: Szablon:CentrujWzór

Przypadek rozszerzalności objętościowej

Dylatacją objętości, czy też względną zmianą objętości nazywamy wielkość, którą określimy wzorem poniżej, która z definicji jest ilorazem bezwzględnej zmiany infinityzymalnych objętości po i przed deformacją przez objętość infinitezymalną przed deformacją, wtedy piszemy naszą wielkość: Szablon:CentrujWzór Względna zmiana długości ciała definiujemy wzorem podobnym do wzoru Szablon:LinkWzór, ale tym razem mamy dxSzablon:Sub=(1+εSzablon:Sub)daSzablon:Sub, stąd tożsamość na względną zmianę objętości przy pominięciu członów kwadratowych dla współczynnika rozszerzalności objętościowej, a także przy wykorzystaniu faktu istnienia tylko elementów diagonalnych Szablon:LinkWzór, określamy: Szablon:CentrujWzór

Rozkład tensora deformacjii na część zachowująca objętość i je niezachowująca

Tesnor deformacji zapiszmy w postaci wzoru, w którym dokonamy rozkładu na jej część, która zachowuje objętość, a także na jego część, która jej nie zachowuje, zatem nasz tensor deformacji napiszmy jako: Szablon:CentrujWzór Możemy zauważyć, że tensor Szablon:Formuła jest tak zbudowany, którego ślad jest równy zero, a oto dowód: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że tensor Szablon:Formuła ma zerowy ślad, zatem na podstawie wyników uzyskanych w punkcie Szablon:LinkWzór dochodzimy do wniosku, że tensor opisuje takie deformacje ciała, które nie zmieniają objętości. A cześć tensora deformacji εSzablon:Sub, czyli: 1/3θδSzablon:Sub opisuje takie transformacje, które odpowiadają rozciąganiu, a także kurczeniu, zatem ten człon opisuje jednocześnie zmiany objętości, która charakteryzuje dane ciało.

Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji

Mamy sobie tensor prędkości przesunięć Szablon:Formuła, który to rozkładamy na jej część symetryczną i asymetryczną, któego zapis jest: Szablon:CentrujWzór Wzór na tensor prędkości przesunięć nazywamy tensor składająca się z jej części symetrycznej (wartość tego tensora nie zmienia się wcale po przestawieniu wskaźników między sobą) i asymetrycznej (wartość tego tensora zmienia się po przestawieniu wskaźników między sobą, a mianowicie pojawia się znak minus przed takim tensorem po dokonanym przestawieniu). Symetryczną częścią występującej we wzorze Szablon:LinkWzór nazywamy tensorem prędkości deformacji: Szablon:CentrujWzór Ślad tensora ΝSzablon:Sub Szablon:LinkWzór nazywamy sumowanie po elementach jego diagonalnych, którego zapis tego śladu jest napisany jako sumą po elementach po wskaźniku l, w którym te właśnie składniki są pochodnymi cząstkowymi l-tej współrzędnej prędkości względem współrzędnej l-tej współrzędnej położenia: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że w ramach przybliżenia liniowego pochodna czasowa cząstkowa tensora deformacji Szablon:LinkWzór jest to po prostu tensor prędkości deformacji na podstawie: Szablon:CentrujWzór bo w Szablon:LinkWzór wyraz Szablon:Formuła pomijamy, bo jest bardzo mały. Napiszmy pochodną cząstkową tensora deformacji względem czasu: Szablon:CentrujWzór Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć i zbadajmy wyrażenie, które powstaje o ten właśnie człon, wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi Szablon:LinkWzór, co możemy już zacząć te obliczenia. Szablon:CentrujWzór