Metody matematyczne fizyki/Wprowadzenie do teorii operatorów liniowych

Tutaj tylko podamy wstęp do teorii operatorów liniowych, które są bardzo potrzebne w analizie funkcjonalnej, ale najpierw zapoznamy się z definicją iloczynu skalarnego, ten obiekt powinien spełniać własności : Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór mówi nam, jakie warunki powinien spełniać iloczyn skalarny dwóch funkcji skalarnych lub wektorowych ale ogólnie zespolonych, jeśli ten iloczyn jest równy zero, to możemy dojść do wniosku, że funkcja f jest równa zero. Następnym bardzo ważnym postulatem jest, że zamienienie dwóch funkcji miejscami w iloczynie skalarnym, to ten nowy wynik jest sprzężonym zespolono z starym wynikiem przed przestawieniem, w takim przypadku drugi postulat: Szablon:CentrujWzór Ostatnim warunkiem jest liniowość, że względu na drugi czynnik w tymże obiekcie, co zapisujemy jako: Szablon:CentrujWzór Jeśli zastosujemy wzór na liniowość drugiego czynnika Szablon:LinkWzór i postulat Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy, że istnieje anty-liniowość ze względu na pierwszy czynnik, co obrazujemy: Szablon:CentrujWzór Gdy mamy iloczyn skalarny dwóch wektorów w przestrzeni kartezjańskiej, to definicja takiego iloczynu jest napisana przez definicję poszczególnych składowych: Szablon:CentrujWzór W przestrzeni funkcyjnej często przyjmuje się jako definicję iloczynu skalarnego dla dwóch funkcji zapisanych w przestrzeni zespolonej: Szablon:CentrujWzór Kwadrat normy wektora f zapisujemy wedle nastepującej definicji: Szablon:CentrujWzór Kwadrat definicji normy funkcji f Szablon:LinkWzór, wynikającego z definicji iloczynu skalarnego Szablon:LinkWzór, określamy dla przestrzeni jednowymiarowej i trójwymiarowej jako normę wektora: Szablon:ElastycznyWiersz Odległość dwóch funkcji f i g definiujemy: Szablon:CentrujWzór Przestrzeń nazywamy zupełną, gdy każdy ciąg pewnych funkcji ma granicę w tej omawianej przestrzeni, w której określamy daną funkcję.

Iloczyn operatorowy

Iloczynem dwóch operatorów Szablon:Formuła nazywamy operację, której najpierw operator B działa na funkcję w, a potem w ten sposób otrzymanego obiektu wsadzamy do działania operatora A, co ten wynik zapisujmy: Szablon:CentrujWzór Jeśli n-ta potęga operatora A działa na funkcję w, wtedy jego działanie jest w postaci: Szablon:CentrujWzór

Funkcja, w której argumentem jest pewien operator

Załóżmy, że mamy pewną funkcję, w której argumentem nie jest pewna liczba, tylko pewnego rodzaju operator. Przykładem takiej funkcji, w której występuje pewien operator: Szablon:CentrujWzór Ponieważ jest to funkcja gładka, możemy rozpatrzyć szereg Taylora Szablon:CentrujWzór Zbieżność szeregu Szablon:LinkWzór nie jest automatyczna, aby był szeregiem zbieżnym należy określić normę naszego operatora Szablon:Formuła należy napisać: Szablon:CentrujWzór Funkcję Szablon:LinkWzór możemy liczyć wedle sposobu poniżej, tak się to dzieje, gdy dokonamy rozwinięcia funkcji f(x)=(1-x)^-1 w szereg Taylora i do tego operatora wstawiamy operator Szablon:Formuła, zatem na podstawie tychże rozważań możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór A eksponens pewnego operatora liczymy podobnie jak w przykładzie Szablon:LinkWzór, ale tym razem mamy do czynienia z funkcją, której jest eksonens, której to naszą funkcję e^ax rozkładamy w szereg Tayllora, a później do niego podstawiamy operator Szablon:Formuła, co możemy pisać: Szablon:CentrujWzór

Wprowadzenie do teorii komutacji i antykomutacji dwóch operatorów

Ogólnie dwa operatory nie są przemiennymi operatorami, tzn. nie zachodzi w ogólności działanie Szablon:Formuła, zatem wprowadźmy definicję komutatora, w których dla dwóch operatorów nazywamy definicję: Szablon:CentrujWzór Dla przykładu policzmy komutator określony dla dwóch operatorów, tzn. operatora mnożenia przez liczbę i operatora różniczkowania, którego obliczenia przeprowadzimy poniżej: Szablon:CentrujWzór Naszym następnym krokiem jest udowodnienie twierdzenia, której przestawienie jest wedle poniższego wzoru: Szablon:CentrujWzór Dowód tożsamości Szablon:LinkWzór przestawimy wedle toku obliczeń poniżej, z którego to udowodnimy, że wychodząc z prawej strony obliczeń wspomnianego wzoru przechodzimy do jego lewej strony: Szablon:CentrujWzór

Definicja operatora sprzężonego

Operatorem sprzężonym Szablon:Formuła do operatora Szablon:Formuła nazywamy taki operator, którego definicja jest przestawiana przy pomocy pewnych wektorów u i v, w takim razie: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem bardzo znanym fizyce, gdy operator Szablon:Formuła jest pewną macierzą, a u i v są pewnego rodzaju wektorami pionowymi, jest: Szablon:CentrujWzór Z obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy napisać wniosek: Szablon:CentrujWzór

Iloczyn operatora i pewnego parametru, a tego sprzężenie

Wykorzystując definicję operatora sprzężonego Szablon:LinkWzór możemy obliczyć wyrażenie Szablon:Formuła dwoma różnymi sposobami, by potem można by je przyrównać łatwo: Szablon:ElastycznyWiersz Możemy przyrównać oba powyższe wzory do siebie, bo one oznaczają to samo, stąd wniosek: Szablon:CentrujWzór

Definicja operatora hermitowskiego, czyli operatora samo-sprzężonego

Operatorem samosprzężonym do operatora Szablon:Formuła nazywamy taki operator, który jest równy samemu opisywanemu operatorowi: Szablon:CentrujWzór Gdy dany operatorem jest zwykłą macierzą, to warunek Szablon:LinkWzór piszemy: Szablon:CentrujWzór

Definicja operatora odwrotnego

Definicją operatora odwrotnego Szablon:Formuła do operatora Szablon:Formuła nazywamy taki operator spełniający warunek: Szablon:CentrujWzór Jeśli operator Szablon:Formuła jest zwykłą macierzą, to operator odwrotny tegoż operatora (tutaj macierzy) nazywamy macierzą odwrotną znaną z klasycznego kursu algebry.

Definicja operatora unitarnego

Operatorem unitarnym Szablon:Formuła nazywamy takim operatorem, który po prowadzeniu do iloczynu skalarnego nie zmienia długości norm, wtedy jego definicja jest: Szablon:CentrujWzór Jeśli wykorzystamy definicję operatora sprzężonego unitarnego określona wedle wzoru Szablon:LinkWzór, wtedy wzór Szablon:LinkWzór możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Ze wzoru Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wynika, że operator sprzężony od Szablon:Formuła jest równy operatorowi odwrotnemu, co przestawiamy: Szablon:CentrujWzór

Elementy macierzowe operatora

Załóżmy, że mamy bazę ortogonalną zdefiniowanej wedle określenia e_i, w takim przypadku elementami macierzowymi operatora w naszej bazie nazywamy elementy: Szablon:CentrujWzór Transformacją wektorów bazy z jednego układu współrzędnych do drugiego przy określeniu, przy definicji operatora Szablon:Formuła, określamy jako: Szablon:CentrujWzór A dowód unitarności operatora Szablon:Formuła przeprowadzamy w sposób : Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy napisać, że operator sprzężony, który mówi coś o przejściu z jednego układu do drugiego jest równy operatorowi odwrotnemu do Szablon:Formuła, co zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Określmy elementy macierzowe operatora Szablon:Formuła w nowej bazie względem elementów tego samego operatora w starej bazie: Szablon:CentrujWzór Na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć, że transformacja operatora z jednego układu współrzędnych do drugiego i po jego odwróceniu, określamy: Szablon:ElastycznyWiersz

Definicja śladu operatora

Śladem operatora Szablon:Formuła nazywamy taką liczbą, która jest sumą jego elementów diagonalnych elementów macierzowych operatora: Szablon:CentrujWzór Wykażemy, że ślad operatora Szablon:Formuła jest niezmienny od wyboru bazy, w której liczymy elementy macierzowe naszego operatora, możemy to stwierdzenie udowodnić: Szablon:CentrujWzór

Równanie własne, wektory i wartości własne operatora

Równaniem własnym operatora Szablon:Formuła przy oznaczeniach dla wartości własnych λ i wektorów własnych u nazywamy obiekt: Szablon:CentrujWzór

Operatory hermitowskie w zagadnieniu własnym

• Wartości własne operatora hermitowskiego mając wartości własne rzeczywiste, co możemy udowodnić pisząc dowód tej własności wedle sposobu:

Szablon:CentrujWzór Wedle dowodu przeprowadzone w punkcie Szablon:LinkWzór udowodniliśmy tezę naszego twierdzenia.

• Wektory własne są do siebie ortogonalne równania własnego Szablon:LinkWzór dla operatora Szablon:Formuła, wtedy napiszmy dwa równania własne dla różnych wartości własnych naszego tutaj rozważanego operatora.

Szablon:ElastycznyWiersz Równanie Szablon:LinkWzór mnożymy przez Szablon:Formuła lewostronnie, a zaś równanie Szablon:LinkWzór mnożymy przez Szablon:Formuła prawostronnie, w takim razie te operacje zapisujemy: Szablon:ElastycznyWiersz Ponieważ operator Szablon:Formuła jest operatorem hermitowskim, i korzystając własności Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć, że lewe strony równań Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są sobie równe, wtedy możemy odejmując oba te równania od siebie: Szablon:CentrujWzór Dla różnych wartości własnych równania własnego Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór

Warunek Szablon:LinkWzór wskazuje, że wektory własne równania Szablon:LinkWzór są do siebie ortogonalne.