Metody matematyczne fizyki/Wstęp do transformacji Fouriera

Transformaty Fouriera są to transformaty pozwalające na rozkład pewnej funkcji na funkcje harmoniczne. W praktyce bardzo często jest potrzebne określenie transformaty z funkcji, lub z funkcji do transformaty, w takim razie rozważane transformaty są bardzo potrzebne w fizyce i matematyce.

Definicja prostej i odwrotnej transformaty Fouriera dla dowolnej funkcji

Transformatę funkcji Szablon:Formuła będziemy oznaczać symbolem Szablon:Formuła, tzn. wzoru na transformatę prostą, a także określmy drugi wzór na transformatę, tzn. na transformatę odwrotną: Szablon:ElastycznyWiersz W celu przeprowadzenia dowodu, że transformacja Szablon:LinkWzór jest transformatą odwrotną do transformaty prostej Szablon:LinkWzór, napiszmy co się stanie, gdy dokonamy podwójnej transformaty funkcji φ(x), w takim przypadku: Szablon:CentrujWzór Aby umożliwić zamianę kolejności całkowania wprowadźmy funkcję wykładniczą Szablon:Formuła, która jest funkcją wolnozmienną i przy granicy ε dążącej do zera dąży do jedynki, czyli powinno być: Szablon:CentrujWzór Wtedy na podstawie granicy Szablon:LinkWzór tożsamość Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Funkcję wykładniczą występującą w całce w równości Szablon:LinkWzór możemy przestawić wedle tożsamości napisanej poniżej, którą to udowodnimy, jak się przekonamy, to są rachunki elementarne przy dowodzie poniższego lematu: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest udowodnienie tożsamości zapisanej w punkcie Szablon:LinkWzór i jej rozpisanie: Szablon:CentrujWzór Zatem tożsamość Szablon:LinkWzór została udowodniona przy pomocy obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór. Następnym krokiem jest obliczenie całki oznaczonej podanej poniżej, dzięki której przeprowadzimy dalszy krok obliczeń Szablon:LinkWzór wykorzystując fakt Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Dzięki tej całce możemy przejść do dalszego kroku obliczeń wyrażenia Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Mamy tutaj funkcję deltopodobną, która spełnia wszystkie warunki ciągu deltopodobnego, którą określamy wedle wzoru poniżej zależnej od zmiennej y i k: Szablon:CentrujWzór Funkcja Szablon:LinkWzór która jest funkcją deltopodobną spełnia całkę Szablon:LinkWzór i dla ε dążącego do zera funkcja dla y nierównego -k, przyjmuje wartość zero, tylko dla y=-k wykładnik potęgi jest równy zero, dla której ta funkcja jest równa nieskończoność dla ε dążącego do zera, zatem ta nasza funkcja deltopodobna spełnia wszystkie warunki do pretendowania bycia deltopodobną wielkością. Ponieważ funkcja Szablon:LinkWzór jest funkcją deltopodobną, to funkcję zapisaną w punkcie Szablon:LinkWzór możemy przestawić wedle schematu poniżej: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest bardzo ważnym wynikiem mówiącym, że dwukrotna transformacja Fouriera tej samej funkcji przechodzi w funkcję wyjściową, ale argumentem jest argument przeciwny do k, czyli -k. Ponadto cały wynik jest podzielony przez liczbę 2π. Stąd wniosek, że transformatę odwrotną zapisujemy wedle wzoru Szablon:LinkWzór.

n-te pochodne transformaty Fouriera

Mając wzór Szablon:LinkWzór możemy napisać n-tą pochodną transformacji Fouriera, którą piszemy według: Szablon:CentrujWzór Aby udowodnić wzór Szablon:LinkWzór należy skorzystać, z twierdzenia o indukcji zupełnej. Zatem twierdzenie Szablon:LinkWzór jest spełniona dla n=1, na mocy Szablon:LinkWzór, zatem jeśli twierdzenie Szablon:LinkWzór jest spełnione dla przypadku n, to powinno być spełnione dla przypadku n+1, co można udowodnić różniczkując stronami obie strony równana Szablon:LinkWzór, co otrzymamy twierdzenie, ale dla przypadku n+1. Co kończy dowód naszego twierdzenia.

Transformaty pochodnej i jego wykorzystanie w równaniach różniczkowych

Weźmy sobie n-tą pochodną transformacji funkcji φ, która jest określona względem zmiennej k, jest ona napisana podobnym wzorem do Szablon:LinkWzór, której to całkę całkujemy przez części n-razy pamiętając, że za każdym razem powstające niecałkowe wyrazy w granicy w nieskończoności są równe zero ze względu na znikanie funkcji próbnych Szablon:Formuła w nieskończonościach: Szablon:CentrujWzór Aby zapoznać się z transformatami pochodnej, należy rozwiązać pewien przykład obrazujący prawo Szablon:LinkWzór, zatem napiszmy równanie, od którego będziemy wyznaczać funkcję f poniżej, z której policzymy transformatę Fouriera obu jego stron, w takim razie weźmy przykład: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest wykorzystanie wzoru Szablon:LinkWzór na n-tą pochodną transformaty funkcji f, z którego wyprowadzimy wzór na transformatę funkcji f, czyli Szablon:Formuła, w takim razie: Szablon:CentrujWzór Jeśli skorzystamy ze wzoru Szablon:LinkWzór i znając transformatę funkcji g, zatem otrzymujemy wzór na funkcję f, którego zamiar mieliśmy wyznaczyć z pierwszego równania Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Transformata Fouriera iloczynu dwóch funkcji

Przy liczeniu transformaty iloczynu dwóch funkcji skorzystamy tutaj z podobnego triku podobnego do Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Do wzoru Szablon:LinkWzór wstawiamy wzory na transformatę odwrotną przez wzór Szablon:LinkWzór, otrzymując poniższy wzór. W tych obliczeniach zastosujemy również wzór Szablon:LinkWzór, tylko tutaj zamiast k+y występuje -k+kSzablon:Sub+kSzablon:Sub. Szablon:CentrujWzór W obliczeniach Szablon:LinkWzór występuje funkcja deltopodobna o postaci: Szablon:CentrujWzór Funkcja Szablon:LinkWzór spełnia całkę Szablon:LinkWzór i dla ε dążącego do zera funkcja dla k nierównego kSzablon:Sub+kSzablon:Sub, rozważana funkcja jest równa zero, tylko dla k=kSzablon:Sub+kSzablon:Sub wykładnik potęgi jest równy zero. Należy jeszcze uwzględnić ε stojący w czynniku przed eksponensem w mianowniku, zatem przy ε dążącym do zera, opisywana funkcja dąży do nieskończoności, a więc spełnia wszystkie warunki do pretendowania do bycia funkcją deltopodobną. W takim razie możemy napisać Szablon:LinkWzór, korzystając przy tym z Szablon:LinkWzór na splot funkcji uogólnionych: Szablon:CentrujWzór Na podstawie tychże przeprowadzonych obliczeń transformata iloczynu dwóch funkcji jest równa splotowi transformaty tychże funkcji.

Transformacja Fouriera dla splotu dwóch funkcji

Splot dwóch funkcji napisanej wedle jego definicji Szablon:LinkWzór piszemy wedle schematu poniżej i jak się przekonamy jest ona równa z dokładnością do stałego czynnika iloczynowi transformat funkcji φSzablon:Sub(k) i φSzablon:Sub(k): Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór udowodniliśmy, że transformata splotu funkcji φSzablon:Sub i funkcji φSzablon:Sub jest równa iloczynowi transformat z każdej funkcji z osobna omawianych pomnożonej przez liczbę 2π.

Transformata Fouriera iloczynu skalarnego

Z definicji iloczynu skalarnego dwóch transformat i z definicji transformaty funkcji φ zapisanej wedle Szablon:LinkWzór piszemy: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest wykorzystanie granicy, którego schemat jest tutaj Szablon:Formuła, wtedy wzór Szablon:LinkWzór możemy przekształcić do postaci: Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór wykorzystujemy tożsamość całkową Szablon:LinkWzór, wtedy nasz wspomniany wzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Funkcją deltopodobną występującą w obliczeniach Szablon:LinkWzór jest to funkcja zapisana wzorem: Szablon:CentrujWzór Funkcja Szablon:LinkWzór spełnia całkę Szablon:LinkWzór i dla ε dążącego do zera funkcja dla t nierównego 0, ta nasza rozważana funkcja jest równa zero, tylko dla t=0 wykładnik potęgi jest równy zero, zatem należy wliczyć ε stojący w czynniku w jego mianowniku przed eksponensem, zatem przy naszym ε dążącej do zera, opisywana funkcja dąży do nieskończoności, zatem ta nasza funkcja delto-podobna spełnia wszystkie warunki do pretendowania bycia delto-podobną wielkością. Wtedy obliczenia Szablon:LinkWzór można dokończyć w sposób: Szablon:CentrujWzór Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór i powyżej w tym rozdziale stwierdzamy, że iloczyn skalarny transformaty funkcji φSzablon:Sub i funkcji φSzablon:Sub jest równy iloczynowi skalarnemu samych dwóch funkcji tutaj omawianych podzielonej przez liczbę 2π.

Transformacja Fouriera funkcji przesuniętej

Napiszmy czemu jest równa transformata funkcji przesuniętej φSzablon:Sub=φ(x-a), w takim przypadku z definicji transformaty mamy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć, że transformata funkcji przesuniętej o odcinek „a” wzdłuż osi iksowej jest równa transformacie samej nieprzesuniętej funkcji pomnożonej przez czynnik eSzablon:Sup.

Transformata Fouriera funkcji parzystej i nieparzystej

Ogólnie funkcję parzystą i nieparzystą oznaczamy, gdy ona spełnia własność ogólnie (wybieramy plus gdy mamy do czynienia z funkcją parzystą, a znak minus, gdy mamy do czynienia z funkcją nieparzystą): Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy jakie własności spełnia transformata funkcji parzystej i nieparzystej, czyli wykorzystując własności dla tych funkcji Szablon:LinkWzór, w takim wypadku: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór transformata funkcji parzystej (nieparzystej) jest transformatą parzystą (nieparzystą).

Transformata Fouriera dla dystrybucji

Transformatą Fouriera dystrybucji T nazywamy dystrybucję opisywaną przez własność Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Jeśli dystrybucja T jest funkcją, to możemy napisać Szablon:CentrujWzór

Transformata Fouriera delty Diraca

Dowód naszej własności przeprowadzamy na podstawie definicji Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie Szablon:LinkWzór przedstawiamy transformatę Fouriera delty Diraca jako: Szablon:CentrujWzór Wynik Szablon:LinkWzór możemy udowodnić przeprowadzając obliczenia tradycyjną metodą przeprowadzoną wedle wzoru Szablon:LinkWzór, w takim przypadku możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Transformatę delty Diraca przesuniętej o odcinek „a” wzdłuż osi x przestawiamy na podstawie twierdzenia Szablon:LinkWzór. Wyniku obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór

Transformata Fouriera funkcji stałej

Korzystając z twierdzenia Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć, że podwójna transformata delty Diraca jest równa tej samej delcie, ale podzielonej przez 2π, w takim razie, ze względu na parzystość delty Diraca: Szablon:CentrujWzór Z drugiej strony ten sam dowód możemy przeprowadzić jeszcze raz licząc transformatę obu jego stron według wzoru Szablon:LinkWzór, wtedy na podstawie tego dostajemy własność: Szablon:CentrujWzór Możemy porównać wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór dostając bardzo ważną właściwość, że transformata jedynki jest równa: Szablon:CentrujWzór Na podstawie własności Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć, że transformata Fouriera stałej jest równa delcie Diraca. W fizyce często stosuje się umowną wersję definicji delty Diraca, którą zapisujemy wedle sposobów, które są ze sobą równoważne: Szablon:ElastycznyWiersz Należy pamiętać, że funkcje podcałkowe we wzorach Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór nie są zbieżne wedle definicji całki Riemanna.

Transformata Fouriera dystrybucji przesuniętej

Dystrybucją przesunięcia o wartość o „a” nazywamy taka dystrybucją, którą wynikiem działania na funkcję φ(x), ale też przesuniętą o „a”, daje nam działanie samej dystrybucji na tą samą funkcji φ(x), co zapisujemy wzorem: Szablon:CentrujWzór Transformatę dystrybucji możemy policzyć wedle: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest napisać transformatę funkcji φ przesuniętej o wartość „a”, co w tym przypadku napiszmy transformatę funkcji przesuniętej wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Jeśli wykorzystamy obliczenia przeprowadzone w punkcie Szablon:LinkWzór, wtedy możemy przeprowadzić do końca nasze obliczenia: Szablon:CentrujWzór Porównując prawą i lewą stronę obliczeń Szablon:LinkWzór dostajemy stąd bardzo ważny wniosek co do przesunięcia transformaty dystrybuanty T(x), czyli w takim przypadku możemy napisać końcowy wzór: Szablon:CentrujWzór Porównując wzór Szablon:LinkWzór ze wzorem Szablon:LinkWzór dochodzimy do wniosku, że transformata przesunięcia zwykłej funkcji i przesunięcia transformaty dystrybuanty są to definicje formalnie identyczne.

Transformata Fouriera dla potęgi

Określmy transformatę funkcji potęgowej określonej przez wzór T=xSzablon:Sup, wykorzystując przy tym definicję transformaty dystrybuanty Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest wykorzystanie twierdzenia o transformacie n-tej pochodnej, przy tym wykorzystując wzór Szablon:LinkWzór, wtedy możemy otrzymać tożsamość biorąc za k=x: Szablon:CentrujWzór Na podstawie przestawionych obliczeń Szablon:LinkWzór możemy dokończyć obliczenia, które przerwaliśmy w punkcie Szablon:LinkWzór, zatem biorąc tożsamość Szablon:LinkWzór i w wyniku końcowych obliczeń dostajemy wniosek: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć zdanie: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór otrzymujemy również poprzez n-krotnie różniczkowanie obustronne wzoru Szablon:LinkWzór.

Transformata Fouriera funkcji sinus

Przed dalszym krokiem wyznaczenia transformaty funkcji sinus należy przeprowadzić nasz ciąg obliczeń przy okazji korzystając ze wzoru Szablon:LinkWzór i rozkładając wzór na sinus poprzez funkcje eksponencjalne, w takim razie: Szablon:CentrujWzór Następnie określmy przesunięcie transformaty funkcji φ, wtedy możemy powiedzieć że zachodzą dwa poniższe wzory w zależności od znaku wykładniku potęgi stojącej przy funkcji Szablon:Formuła: Szablon:ElastycznyWiersz Zatem na podstawie przeprowadzonych obliczeń Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór i korzystając z własności Szablon:LinkWzór możemy dokończyć obliczenia przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć, że porównując skrajne równości we wspomnianych obliczeniach, zatem na podstawie tego dostajemy, że transformata funkcji sin x wygląda: Szablon:CentrujWzór

Transformata Fouriera funkcji schodkowej

Funkcję schodkową Heaviside'a θ(x) można wyrazić poprzez funkcję znakową wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Na podstawie przestawienia funkcji schodkowej poprzez funkcję znakową transformata funkcji schodkowej sprowadza się do obliczenia transformaty funkcji znakowej. Wyznaczmy transformatę funkcji znakowej, którą możemy wyznaczyć przy pomocy przy poniższych obliczeń: Szablon:CentrujWzór W całce występującej w punkcie Szablon:LinkWzór jest dozwolona zmiana kolejności całkowania, zatem na podstawie tych wspomnień możemy napisać tożsamość: Szablon:CentrujWzór Dalszym naszym krokiem jest obliczenie całki poniżej, którą jak wykażemy jest równa zero, w takim razie możemy powiemy: Szablon:CentrujWzór Ostatnia całka w obliczeniach Szablon:LinkWzór jest równa zero, dlatego, że funkcja podcałkowa jest funkcją nieparzystą. Na podstawie wspomnianych obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór, to obliczenia Szablon:LinkWzór możemy dokończyć do: Szablon:CentrujWzór Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć, że zachodzi transformata funkcji znakowej: Szablon:CentrujWzór Wedle przestawienia funkcji schodkowej Heaviside'a Szablon:LinkWzór i transformaty funkcji znakowej Szablon:LinkWzór i przestawienia, że transformata jedynki jest zapisana według Szablon:LinkWzór, wtedy powiemy: Szablon:CentrujWzór