Metody matematyczne fizyki/Wprowadzenie do wielomianów ortogonalnych

W tym rozdziale zapoznamy się z wielomianami, którego definicja jest przestawiana wzorem poniżej, jest ona kombinacją liniową funkcji potęgowych xSzablon:Sup ze współczynnikami aSzablon:Sub i bSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Będziemy się również zajmować wielomianami Legendre'a PSzablon:Sub, Hermite'a HSzablon:Sub i Laguerre'a LSzablon:Sub i na samym końcu Czebyszewa TSzablon:Sub. Każdy z tych wielomianów ma swoją dziedzinę zapisanych w przedziałach dla każdego wielomianu z osobna, podamy też dla tych wielomianów funkcje czemu są równe: Szablon:Formuła, Szablon:Formuła, Szablon:Formuła.

• Szablon:Formuła

Definicje ortogonalności wielomianów QSzablon:Sub

Zdefiniujmy iloczyn skalarny dwóch funcji jednej zmiennej f(x) i g(x), w przedziale (α,β). Szablon:CentrujWzór Funkcje f(x) i g(x) są ortogonalne, jeśli zachodzi warunek (f,g)=0. Wprowadzając do wzoru Szablon:LinkWzór wagę ρ(x), możemy zdefiniować iloczyn skalarny dwóch wielomianów jako: Szablon:CentrujWzór. Wielomiany (9.1) są z definicji ortogonalne, tzn. zachodzi związek (QSzablon:Sub,QSzablon:Sub)=δSzablon:Sub

Wstęp do własności wielomianów ortogonalnych

Każdą potęgę xSzablon:Sup możemy przestawić jako kombinację liniową wielomianów ortogonalnych QSzablon:Sub, QSzablon:Sub,QSzablon:Sub,QSzablon:Sub,...,QSzablon:Sub, wtedy na podstawie tej własności funkcja potęgowa dla k<n jest ortogonalna z wielomianem QSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Funkcja ortogonalna QSzablon:Sub ma n pierwiastków, bo to wynika z tego, że ona jest iloczynem n czynników (x-xSzablon:Sub), zatem nasz wspomniany wielomian piszemy wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Aby przeprowadzić dowód przedstawienia funkcji QSzablon:Sub w postaci iloczynów pewnych czynników Szablon:LinkWzór musimy przeprowadzić dowód nie wprost, zatem załóżmy, że nasz wielomian ma m<n pierwiastków, wtedy wielomian QSzablon:Sub zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Iloczyn skalarny wielomianu ortogonalnego QSzablon:Sub(x) Szablon:LinkWzór i wielomianu zdefiniowane w punkcie Szablon:LinkWzór na mocy twierdzenia Szablon:LinkWzór jest równy zero, na podstawie definicji iloczynu skalarnego Szablon:LinkWzór, zatem iloczyn skalarny napisany tuż niżej dla m<n jest po prostu równy zero: Szablon:CentrujWzór Ale z drugiej jednak strony ten sam wielomian Szablon:LinkWzór możemy przepisać w postaci wielomianów o ustalonych znakach, zatem iloczyn skalarny Szablon:LinkWzór, dla obranej odpowiedniej funkcji QSzablon:Sub wyżej zdefiniowaną, piszemy: Szablon:CentrujWzór Przeprowadźmy dowód nie wprost i załóżmy, że wielomian ma mniej pierwiastów niż n, tzn. ma ich m, a WSzablon:Sub nie ma pierwiastków rzeczywistych. Na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór całka jest równa zero, bo zachodzi m<n, a całka Szablon:LinkWzór, w której występują czynniki podniesione do kwadratu, które są ustalonego znaku, ale 0<n-m<n, jest nie równa zero, bo wielomian WSzablon:Sub jest ustalonego znaku, zatem ten sam wynik Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór przyjmuje raz wynik równy zero, a za drugim razem jest nierówny zero, wtedy mamy sprzeczność, ale gdy m=n bo (m<n), to wtedy też jest sprzeczność, stąd wielomian QSzablon:Sub ma n pierwiastków. A więc dostajemy, że wielomian ortogonalny QSzablon:Sub ma n pierwiastków i da się przedstawić wzorem Szablon:LinkWzór.

Wielomiany ortogonalne jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych

Tutaj będziemy rozpatrywać wielomiany ortogonalne spełniających warunki ortogonalności. Aby przeprowadzić dalsze obliczenia napiszmy wielomian wymierny napisaną wedle schematu poniżej, który to jest ilorazem pochodnej zmiennej ρ, która jest wagą przy całkowaniu przy iloczynie skalarnym Szablon:LinkWzór, przez tą samą wagę, które to wyrażenie jest ilorazem wielomianu A przez B, zatem w takim przypadku ten iloraz spełnia tożsamość (pierwszy wzór), a także napiszmy warunek na równość w punktach brzegowych x=α,β, który to jest iloczynem wagi ρ(x) i wielomianu B(x), który jest równy zero w tymże punktach: Szablon:ElastycznyWiersz Wyznaczmy funkcję V, która będzie nam bardzo potrzebna w toku dalszych obliczeń przy wyznaczeniu odpowiedniego typu równań różniczkowych, w tym celu należy skorzystać z równości Szablon:LinkWzór, zatem: Szablon:CentrujWzór Zbadajmy ortogonalność wielomianów V z funkcją potęgową xSzablon:Sup dla k<n, wtedy obliczmy najpierw iloczyn skalarny funkcji V z funkcją potęgową, i sprawdzimy później czy te tutaj wspomniane wielomiany są do siebie ortogonalne, ale najpierw całkując w tak otrzymanym iloczynie skalarnym przez części, dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór Zakładamy, że iloczyn ρ(x)B(x) w punktach α i β jest równy zero, czyli zachodzi wzór Szablon:LinkWzór, zatem pierwszy składnik we wzorze Szablon:LinkWzór znika, zatem pozostaje nam tylko drugi składnik, którego całkujemy przez części. Szablon:CentrujWzór Ponieważ wyrażenia xSzablon:Sup i xSzablon:Sup są wielomianami, dla których zachodzi k<n, zatem wielomian Q_n jest prostopadły do funkcji potęgowej, stąd wynika, że wyrażenie Szablon:LinkWzór jest równe zero, zatem wielomian V zdefiniowany w punkcie Szablon:LinkWzór jest wielomianem prostopadłym do funkcji potęgowej xSzablon:Sup, zatem w takim przypadku możemy napisać, że wielomian V jest wyrażamy wzorem V=γ QSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Współczynnik γ wyznaczamy w równaniu różniczkowym Szablon:LinkWzór w taki sposób by porównać w nim wyrazy stojące przy xSzablon:Sup, to w takim razie dostajemy: Szablon:CentrujWzór Mając równanie różniczkowe Szablon:LinkWzór na wielomian ortogonalny QSzablon:Sub zdefiniowanej w punkcie Szablon:LinkWzór, zatem możemy napisać wzory różniczkowe na wielomiany Legendre'a PSzablon:Sub, Hermite'a HSzablon:Sub,Laguerre'a LSzablon:Sub i Czybyszewa TSzablon:Sub podstawiając za A i B pewne ściśle określone wielomiany: Szablon:Tabelka

Wzór Rodrigues'a

Można wykazać, że wielomiany ortogonalne można zapisać nade wszystko w prostej postaci. Wielomiany Szablon:Formuła i Szablon:Formuła są to wielomiany różniące się tylko stałym czynnikiem, wtedy wzór Rodrigues'a wyrażamy: Szablon:CentrujWzór Znając wzór Szablon:LinkWzór nie jesteśmy pewni, czy wielomian Szablon:Formuła jest w ogóle wielomianem, zatem zapiszmy wielomian poniżej i sprawdźmy czemu jest równy wielomian określony: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy wyrażenie Szablon:LinkWzór dla k=0, czyli dla pochodnej zerowego rzędu, zatem dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór Teraz wyznaczmy wyrażenie Szablon:LinkWzór dla k=1, czyli dla pochodnej pierwszego rzędu, wtedy będziemy musieli wykorzystać wzór Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Patrząc na dwa wnioski, czyli Szablon:LinkWzór (przypadek zerowej pochodnej) i Szablon:LinkWzór (przypadek pierwszej pochodnej), możemy dojść do wniosku, że końcowy wynik Szablon:LinkWzór jest iloczynem wielomianu BSzablon:Sup i wielomianu WSzablon:Sub, zatem w takim przypadku dochodzimy do wniosku, że spełniona jest prawdopodobnie tożsamość: Szablon:CentrujWzór Aby udowodnić tożsamość Szablon:LinkWzór należy skorzystać z metody indukcji zupełnej. Przypadek k=0,1, czyli przypadki Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór zostały już udowodnione, zatem w takim przypadku wykażmy, czy z zdania n wynika zdanie n+1, zatem przejdźmy do głównego nurtu dowodu: Szablon:CentrujWzór Jeśli porównamy wynik końcowy wynikowy Szablon:LinkWzór i wzór Szablon:LinkWzór, wtedy mamy tożsamość iteracyjną: Szablon:CentrujWzór Jest to równanie różniczkowo-róznicowe na wielkość WSzablon:Sub, któremu odpowiada wartość początkowa iteracji: Szablon:CentrujWzór Gdy mamy n=k, przypadek wielomianu WSzablon:Sub zgodnie ze wzorem Szablon:LinkWzór pokrywa się z wielomianem Szablon:Formuła, zatem problem znalezienia wielomianów ortogonalnych sprowadza się do problemu znalezienia wielomianu WSzablon:Sub. Ten wielomian będziemy zapisywali go podobnie jak we wzorze Szablon:LinkWzór dla wielomianu QSzablon:Sub, czyli określmy nasz wielomian W_n jako: Szablon:CentrujWzór

Wielomiany Legendre'a

Wielomiany Legendre'a są opisywane przez równanie różniczkowe opisane przez wzór Szablon:LinkWzór, gdzie B=1-x^2 i A=0, wtedy równanie iteracyjne Szablon:LinkWzór przyjmuje postać iteracyjną: Szablon:CentrujWzór Porównując współczynniki stojące przy potędze xSzablon:Sup w Szablon:LinkWzór, zatem możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika w_k: Szablon:CentrujWzór Napiszmy w sposób zwarty współczynniki wSzablon:Sub dla wielomianu WSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Jeśli będziemy porównywać współczynnikami stojące przy potędze xSzablon:Sup w Szablon:LinkWzór dostajemy tożsamość iteracyjną: Szablon:CentrujWzór Gdy zadamy warunek brzegowy vSzablon:Sub=0, wtedy na podstawie warunku Szablon:LinkWzór dostajemy wniosek, że vSzablon:Sub=0.

Wielomiany Legrendre'a jako rozwiązanie równania różniczkowego Szablon:LinkWzór piszemy: Szablon:CentrujWzór Czynniki stojące przy dwóch ostatnich wyrazach dla wielomianów Legendre'a Szablon:LinkWzór są równe: Szablon:ElastycznyWiersz

Wielomiany Hermite'a

Rozpatrzmy równanie iteracyjne dla wielomianów iteracyjnych WSzablon:Sub, który jest odpowiednikiem równania różniczkowego Hermite'a Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Porównując współczynniki stojące przy potędze xSzablon:Sup i xSzablon:Sup, i przyjmując odpowiednie warunki brzegowe, tzn. wSzablon:Sub=1 i vSzablon:Sub=0, wtedy dostajemy wnioski iteracyjne dla tych dwóch najwyższych współczynników. Jak się przekonamy współczynnik vSzablon:Sub jest równy zawsze zero, bo współczynnik v₀ jest równy zero. Współczynniki wSzablon:Sub i vSzablon:Sub na współczynników Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, z których otrzymamy ich wersje, ale z Szablon:Formuła, z postaci iteracyjnej na postać zwartą, są przedstawione wzorami w sposób: Szablon:ElastycznyWiersz Wielomiany Hermite'a nazywamy wielomianami napisane jako: Szablon:CentrujWzór Czynniki stojący w ostatnich wyrazach we wzorze na wielomiany Legendre'a H_n Szablon:LinkWzór są równe: Szablon:ElastycznyWiersz

Wielomiany Laguerre'a

Równaniem iteracyjnym równania różniczkowego Hermitte'a nazywamy wielomian, który jest odpowiednikiem równania różniczkowego Szablon:LinkWzór, który wyrażamy wzorem iteracyjnym: Szablon:CentrujWzór Porównując współczynniki stojące przy potędze xSzablon:Sup w Szablon:LinkWzór możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika wSzablon:Sub, stąd z warunkiem brzegowym w₀=1 otrzymujemy wSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Porównując współczynniki stojące przy potędze xSzablon:Sup w Szablon:LinkWzór możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika vSzablon:Sub, stąd z warunkiem brzegowym vSzablon:Sub=0 otrzymujemy vSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Wielomianem Laguerre'a nazywamy wielomianem ortogonalnym, który piszemy: Szablon:CentrujWzór Najwyższe dwa współczynniki stojące przy wielomianie Laguerre'a LSzablon:Sub są to współczynniki opisujące wielomian: Szablon:ElastycznyWiersz

Wielomian Czebyszewa

Równaniem iteracyjnym równania różniczkowego Hermitte'a nazywamy wielomian, który jest odpowiednikiem Szablon:LinkWzór, który wyrażamy wzorem iteracyjnym: Szablon:CentrujWzór Porównując współczynniki stojące przy potędze xSzablon:Sup w Szablon:LinkWzór możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika w_k, stąd z warunkiem brzegowym wSzablon:Sub=1 otrzymujemy wSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Porównując współczynniki stojące przy potędze xSzablon:Sup w Szablon:LinkWzór możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika vSzablon:Sub, stąd z warunkiem brzegowym vSzablon:Sub=0 otrzymujemy vSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Szablon:Rysunek Wielomianem Czebyszewa nazywamy wielomianem, która jest rozwiązaniem równania różniczkowego Czebyszewa Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Przy wielomianach Czebyszewa T_n współczynniki stojące przy dwóch najwyższych jego potęgach są to współczynniki wyrażone wzorami: Szablon:ElastycznyWiersz

Definicja normy wielomianów ortogonalnych

Wielomiany ortogonalne nie stanowią zwykle bazy ortogonalnej, ponieważ ich normy są nierówne jeden, zatem normą wielomianu ortonormalnego nazywamy normą zapisywanej wzorem przy korzystaniu z definicji iloczynu skalarnego dla dwóch wielomianów ortonormalnych Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wiadomo, że wielomian xSzablon:Sup jest ortonormalny do wielomianu QSzablon:Sub dla k<n, wtedy norma wielomianu ortogonalnego dla ściśle określonego n w Szablon:LinkWzór sprowadza się do postaci poniżej, wprowadzając jeszcze współczynnik fSzablon:Sub, który jest wprost proporcjonalności pomiędzy Szablon:Formuła a Szablon:Formuła, i całkując tak otrzymaną całkę n razy przez części, dostajemy stąd wniosek: Szablon:CentrujWzór Napiszmy teraz normy dla poszczególnych rozważanych tutaj wielomianów ortonormalnych w tymże module.

Norma dla wielomianu Legendre'a

Przy liczeniu normy wielomianu Legendre'a Szablon:LinkWzór, korzystamy z definicji normy wielomianu QSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, i z definicji wagi równą ρ=1 oraz ʙ=1-xSzablon:Sup i A=0: Szablon:CentrujWzór Obliczmy tę całkę dokonując podstawienia t=(x+1)/2, czyli x=2t-1, w ten sposób możemy piszemy Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Norma dla wielomianu Hermite'a

Przy liczeniu normy wielomianu Hermite'a Szablon:LinkWzór, korzystamy z definicji normy wielomianu QSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, zatem ta nasza rozważaną normę piszemy wedle schematu poniżej przy definicji ρ=eSzablon:Sup oraz B=1 i A=-2x, zatem: Szablon:CentrujWzór

Norma dla wielomianu Laguerre'a

Przy liczeniu normy wielomianu Hermite'a Szablon:LinkWzór, korzystamy z definicji normy wielomianu QSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, to ta nasza rozważaną normę piszemy wedle przepisu poniżej przy definicjach Szablon:Formuła oraz B=x i A=λ-x gdzie λ>-1, korzystając przy tym z definicji funkcji Γ Eulera drugiego rodzaju Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Norma dla wielomianu Czebyszewa

Przy liczeniu normy wielomianu Czebyszewa Szablon:LinkWzór, korzystamy z definicji normy wielomianu QSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, zatem ta nasza rozważaną normę piszemy wedle schematu poniżej przy definicji Szablon:Formuła oraz B=1-xSzablon:Sup i A=x korzystając przy tym z definicji funkcji Γ Eulera drugiego rodzaju Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest wyznaczenie normy wielomianu Czebyszewa TSzablon:Sub dla n=0, korzystając z definicji normy dowolnego wielomianu Szablon:LinkWzór dla tego n, zatem możemy policzyć tą wielkość wedle poniższego sposobu: Szablon:CentrujWzór

Związki rekurencyjne dla wielomianów ortogonalnych

Przestawmy wielomian xQSzablon:Sub w postaci rekurencyjnej, który jest jakoby wielomianem n+1 stopnia, który jest kombinacją wielomianów QSzablon:Sub, QSzablon:Sub, QSzablon:Sub,...,QSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Na wielomian xQSzablon:SubSzablon:LinkWzór podziałajmy iloczynem skalarnym zdefiniowany w punkcie Szablon:LinkWzór względem wielomianu QSzablon:Sub, zatem w takim przypadku możemy napisać, że współczynnik cSzablon:Sub jest iloczynem skalarnym członu xQSzablon:Sub przez człon QSzablon:Sub podzielonej przez kwadrat modułu wielomianu QSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Na podstawie definicji współczynnika cSzablon:Sub możemy powiedzieć, że wielomian xQSzablon:Sub jest kombinacją wielomianów QSzablon:Sub, QSzablon:Sub i QSzablon:Sub, czyli w ten w sposób określamy współczynniki cSzablon:Sub, cSzablon:Sub i cSzablon:Sub, a pozostałe współczynniki cSzablon:Sub na podstawie związku Szablon:LinkWzór są równe zero, zatem wielomian Szablon:LinkWzór jest równy wyrażeniu: Szablon:CentrujWzór W wielomianie Szablon:LinkWzór zapisaną w sposób rekurencyjny, w którym porównując współczynniki stojące przy potęgach xSzablon:Sup dostajemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest porównanie współczynników stojących przy xSzablon:Sup, w takim wypadku: Szablon:CentrujWzór Przy liczeniu współczynnika cSzablon:Sub, który wynika ze związku Szablon:LinkWzór wykorzystamy definicję współczynnika cSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, co wyniku czego otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Jeśli skorzystamy ze wzoru końcowego wynikowego Szablon:LinkWzór dochodzimy do związku na współczynnik c_n-1 rozpisując go korzystając z Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór

Wielomiany ortogonalne, a jego funkcje tworzące

Funkcjami tworzącymi nazywamy funkcje dwóch zmiennych, które po rozłożeniu w szereg potęgowy względem jednej zmiennej, przy którym w każdym składniku występuje pewien ściśle określony wielomian ortogonalny. Teraz napiszmy funkcję tworzącą Ψ dla wielomianów Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Jeśli skorzystamy ze wzoru całkowego Cauchy'ego Szablon:LinkWzór, wtedy wzór zapisany w punkcie Szablon:LinkWzór można zapisać w troszeczkę w innej postaci, ale równoważnej do poprzedniego: Szablon:CentrujWzór Jeśli wykorzystamy wzór całkowy Cachy'ego Szablon:LinkWzór, wtedy możemy napisać tożsamość całkową: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór na podstawie własności Szablon:LinkWzór, która jest całką Cachy'ego w pewnym sensie, przekształcamy do postaci: Szablon:CentrujWzór W wyrażeniu na Ψ(z,w) pod sumą mamy szereg geometryczny o ilorazie Szablon:Formuła, wtedy wyrażenie Szablon:LinkWzór piszemy: Szablon:CentrujWzór Funkcję Ψ(x,w) Szablon:LinkWzór z zasadami liczenia residuum wyznaczamy względem puntu osobliwego z₁ wynikający z tożsamości: Szablon:CentrujWzór Wokół punktu zSzablon:Sub w całce Szablon:LinkWzór mianownik dąży do zera, zatem możemy skorzystać z reguły de l'Hospitala, wtedy tą naszą całkę piszemy wedle schematu poniżej. Nasza całka przebiega po linii zamkniętej w przestrzeni zespolonej o promieniu dążącej do zera (można udowodnić, że ten sam wynik wyjdzie, gdy policzymy całkę Szablon:LinkWzór po dowolnej linii zamkniętej w płaszczyźnie zespolonej okalający ten właśnie punkt, punkt osobliwy), a także w tych samych przekształceniach wykorzystamy metodę liczenia residuum Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór

Funkcje tworzące dla wielomianów Legendre'a

Równanie Szablon:LinkWzór dla wielomianu Legendre'a Szablon:LinkWzór, dla którego zachodzi Szablon:Formuła i ρ=1, przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Rozwiązanie Szablon:LinkWzór z minusem odrzucamy, ponieważ zSzablon:Sub jest poza przedziałem zmienności wielomianu Legendre'a, natomiast rozwiązanie z plusem przyjmujemy, bo jest w granicach przedziału zmienności naszego wielomianu, zatem funkcję tworzącą Szablon:LinkWzór określamy: Szablon:CentrujWzór Jeśli dodatkowo we wniosku Szablon:LinkWzór napiszemy Szablon:Formuła, to dojdziemy do następującej tożsamości: Szablon:CentrujWzór

Funkcje tworzące dla wielomianów Hermite'a

Równanie Szablon:LinkWzór dla wielomianów Hermite'a Szablon:LinkWzór, dla którego mamy B(x)=1, Szablon:Formuła, jest napisane: Szablon:CentrujWzór Funkcja tworząca Szablon:LinkWzór dla wielomianów Hermite'a, po wykorzystaniu residuum policzonego w Szablon:LinkWzór, piszemy w postaci zwartej: Szablon:CentrujWzór Zatem możemy napisać Szablon:LinkWzór, korzystając przy tym z Szablon:LinkWzór, w postaci rozwinięcia: Szablon:CentrujWzór Jeśli przyjmować będziemy w=-v w tożsamości Szablon:LinkWzór, wtedy na podstawie definicji wielomianów Hermite'a H(x) przy pomocy Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór funkcję tworzącą wielomianu HSzablon:Sub możemy napisać w postaci rozwinięcia: Szablon:CentrujWzór

Funkcje tworzące dla wielomianu Laguerre'a

Równanie Szablon:LinkWzór dla wielomianu Laguerre'a Szablon:LinkWzór, dla którego zachodzi B(x)=x, Szablon:Formuła, przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Funkcja tworząca Szablon:LinkWzór dla wielomianów Laguerre'a, po wykorzystaniu residuum policzonego w Szablon:LinkWzór, piszemy w postaci rozwinięcia: Szablon:CentrujWzór