Metody matematyczne fizyki/Całki i funkcje Eulera

Poznamy tutaj całki, które są nam w fizyce bardzo potrzebne do przeprowadzania różnych obliczeń.

Całka Eulera pierwszego rodzaju

Całką Eulera pierwszego rodzaju nazywamy całkę mówiąc za Legendre całkę zapisaną za pomocą schematu poniżej, który jest funkcją argumentów a i b, które są liczbami rzeczywistymi. Ta nasza funkcja Eulera jest całką całkowalną przy granicach od zera do jedynki z pewnego wyrażenia ściśle określonego: Szablon:CentrujWzór Można udowodnić, że ze względu na przestawianie argumentów w całce Szablon:LinkWzór jest działaniem przemiennym ze względu na kolejność parametrów a i b, co można udowodnić zmieniając zmienną x na x=1-t: Szablon:CentrujWzór Można również udowodnić tożsamość rekurencyjną, która jest zależna od argumentów a i b oraz która jest zależnością rekurencyjną po argumencie b, przedstawiamy tą rekurencję: Szablon:CentrujWzór Tożsamość Szablon:LinkWzór udowodniamy przez całkowanie przez części dla b>1, korzystając z definicji całki Eulera Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Korzystając z końcowego wniosku w przeprowadzonych obliczeniach w punkcie Szablon:LinkWzór dochodzimy do wniosku, że B(a,b) można zapisać w zależności od B(a,b-1), co dowód tej zależności przeprowadzimy poniżej w taki sposób, że pierwszy wyraz po prawej stronie w wspomnianym wyprowadzeniu przenosimy na jej lewą stronę: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór przestawia zależność rekurencyjną jaką oczekiwaliśmy otrzymać z obliczeń. Niech mamy już obliczone całki Eulera B(a,1), w ten sposób na podstawie zależności rekurencyjnej końcowego wywodu Szablon:LinkWzór piszemy wedle schematu wzór na wielkość B(a,n), którego pierwszym argumentem jest dowolna liczba rzeczywista, a drugim argumentem jest liczba naturalna znana z analizy matematycznej ze szkoły średniej: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest wyznaczenie całki Eulera Szablon:LinkWzór dla argumentu b=1, czyli całkę Eulera pierwszego rodzaju B(a,1), gdy drugim jego argumentem jest liczba całkowita równa jeden, zatem w takim przypadku mamy wzór: Szablon:CentrujWzór Zatem wyrażenie Szablon:LinkWzór przy obliczonej całce Eulera B(a,1) Szablon:LinkWzór, czyli w tym ostatnim w drugim argumentem w całce Eulera pierwszego rodzaju jest liczba jeden, zatem możemy wyznaczyć ogólny wzór na opisywaną tutaj całkę. Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór jest słuszny, gdy a jest rzeczywiste, określmy teraz przypadek, gdy a jest liczbą naturalną oznaczonej przez m, wtedy ze wspomnianego wzoru dostajemy wzór zapisujemy za pomocą silni: Szablon:CentrujWzór

Inne przestawienie analityczne całki Eulera B(a,b)

W całce Eulera Szablon:LinkWzór dokonajmy podstawienia określonego wzorem Szablon:Formuła, gdzie argument x jest ilorazem liczby y przez y+1, wtedy: Szablon:CentrujWzór W całce Eulera Szablon:LinkWzór określoną wzorem Szablon:LinkWzór po dokonaniu w nim podstawienia za b=1-a, 0<a<1 , dostajemy wniosek na całkę Eulera B(1-a,a): Szablon:CentrujWzór Całka Eulera Szablon:LinkWzór można przepisać bez dowodu, którego to dowód można znaleźć w analizie matematycznej, a my tutaj napiszemy gotowe jego rozwiązanie: Szablon:CentrujWzór

Całka Eulera drugiego rodzaju

Całką Eulera drugiego rodzaju nazywamy całkę zapisaną wedle schematu poniżej, która jest funkcją jednego argumentu a, całkowana w granicach od zera do nieskończoności. Szablon:CentrujWzór Dokonajmy podstawienia określonego wzorem Szablon:Formuła, którego jest logarytmem z odwrotności liczby z i którą tą całkę Szablon:LinkWzór zapisujemy po dokonaniu tego podstawienia do ostatnio wspomnianej całki: Szablon:CentrujWzór Bardzo ważną tożsamością jest tożsamość, z której wyjdziemy jest tożsamość Szablon:Formuła, w tej tożsamości należy dokonać podstawienia rozpatrzonego według schematu Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Całkę Szablon:LinkWzór możemy zapisać przy pomocy udowodnionej tożsamości Szablon:LinkWzór w tym tekście, którą zapisujemy przy pomocy granicy n dążącą do nieskończoności: Szablon:CentrujWzór Do tożsamości Szablon:LinkWzór podstawimy podstawienie wedle schematu z=yⁿ, zatem ten nasz wspomniany wzór przyjmuje postać bardzo podobną do całki Eulera pierwszego rodzaju: Szablon:CentrujWzór Całka występująca we wzorze Szablon:LinkWzór jest całką Eulera pierwszego rodzaju, zatem możemy napisać ostatnio wspomniany wzór wedle: Szablon:CentrujWzór Jeśli skorzystamy z tożsamości Szablon:LinkWzór, to można napisać całkę Eulera drugiego rodzaju Szablon:LinkWzór zapisaną przy pomocy granicy z liczby całkowitej n dążącej do nieskończoności: Szablon:CentrujWzór

Ciągłość funkcji Γ'(a) jako pochodnej całki Eulera drugiego rodzaju

Całkę Eulera Szablon:LinkWzór zróżniczkujmy względem argumentu "a", a potem jeszcze raz względem argumentu a, i w ten sposób otrzymamy pierwszą i drugą pochodną funkcji Γ(a), to dochodzimy do postaci tych dwóch pochodnych: Szablon:ElastycznyWiersz n-ta pochodna funkcji Γ(x) Szablon:LinkWzór zapisujemy analogicznie do wzorów Szablon:LinkWzór (Pierwsza pochodna funkcji Γ(a) Szablon:LinkWzór) i Szablon:LinkWzór (Druga pochodna funkcji Γ(a) Szablon:LinkWzór), zatem ogólna forma tej n-tej pochodnej jest: Szablon:CentrujWzór

Postać rekurencyjna funkcji Γ(x)

Przecałkujmy przez części funkcję napisaną poniżej wedle praw analizy matematycznej, z której wykorzystamy definicję funkcji Γ(a) zapisaną wzorem w punkcie Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Jeśli skorzystamy z definicji całki Eulera Szablon:LinkWzór, to tożsamość Szablon:LinkWzór, którą zapiszemy przy pomocy definicji całki Eulera Γ(a) jako: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy całkę Eulera Γ(1), wtedy funkcja potęgowa występująca we wspomnianej funkcji Szablon:LinkWzór (pierwszy czynnik) jest równa jeden dla a=1, ze względu na zerowanie się wykładnika potęgi (bo a-1=0) dla pierwszego czynnika w całce, wtedy: Szablon:CentrujWzór Postać rekurencyjna Szablon:LinkWzór dla a naturalnego, którą oznaczymy przez "n" i z własności Szablon:LinkWzór możemy napisać, że: Szablon:CentrujWzór

Granica górna funkcji Γ(a) dla a nieskończonego

Obierzmy takie n by było liczbą naturalną nie większą niż a, by było a>n+1, zatem mamy Γ(a)>n!, jeśli dodatkowo zauważymy, że Szablon:Formuła, wtedy: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że granicą dla "a" nieskończonego jest Γ(a) nieskończone, zatem największą wartością Γ(a) jakie może przyjmować jest wartość nieskończona.

Związek pomiędzy funkcjami B(a,b) i Γ(a)

Do całki Szablon:LinkWzór dokonujemy podstawienia opisane przez schemat x=ty, które to x jest iloczynem liczby t i liczby y, zatem przy założeniu t>0, nasza wspomniana całka jest pisana: Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór piszemy zamiast a wyrażenie a+b (będące sumą liczb a i b) oraz 1+t (będące sumą jedynki i liczby b) zamiast t, zatem w ten sposób dostajemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Tożsamość Szablon:LinkWzór mnożymy przez funkcję potęgową t^a-1 czyli funkcję z liczby t o wykładniku a-1 i obie strony tak otrzymanego równania całkujemy względem zmiennej t: Szablon:CentrujWzór Całka występująca po lewej stronie jest funkcją B(a,b), czyli ona jest taka sama, jak całka zapisana w punkcie Szablon:LinkWzór. Zatem całkę występująca po prawej stronie równości Szablon:LinkWzór, przy wykorzystaniu z definicji drugiej całki Eulera (pierwszego rodzaju) Szablon:LinkWzór, możemy napisać jako: Szablon:CentrujWzór Tożsamość wynikająca z obliczeń przedstawionych w punkcie Szablon:LinkWzór jest napisana poniżej (pierwszy wzór wynikowy), stąd możemy wyznaczyć B(a,b), która jest całką Eulera pierwszego rodzaju: Szablon:CentrujWzór

Wzór na dopełnienie w tożsamości pomiędzy Γ(a) i Γ(1-a), a B(a,1-a)

We wzorze Szablon:LinkWzór dokonajmy podstawienia b=1-a (którego to b jest różnicą liczby 1 i liczby b), w którym wiadomo, że "a" należy do do przedziału 0<a<1, ale też później korzystając z tożsamości na funkcję B(a,1-a) napisaną w punkcie Szablon:LinkWzór, możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Korzystając z tożsamości Szablon:LinkWzór, to tożsamość Szablon:Formuła jest napisana wzorem wynikowym wynikających z powyższych obliczeń: Szablon:CentrujWzór

Wzór Stirlinga

Napiszmy funkcję Γ(x+1), która jest całką Eulera pierwszego rodzaju z argumentu x powiększonej o jeden, w którym dokonamy od razu podstawienia w postaci wzoru zależnej od liczby x i od parametru u, czyli podstawienia Szablon:Formuła, wiedząc, że dla t równego zero (t=0) według wspomnianego podstawienia mamy Szablon:Formuła, co wykorzystamy w całce poniżej: Szablon:CentrujWzór Ponieważ posługujemy wartościami x, które są liczbami bardzo dużymi, zatem możemy powiedzieć, że posługujemy się wartościami nieskończenie dużymi, to logarytm naturalny z liczby n! możemy przybliżyć wyrażeniem Szablon:Formuła dla a bardzo małego bliskiego zeru, wtedy końcową całkę Szablon:LinkWzór można przestawić: Szablon:CentrujWzór Jeśli skorzystamy z udowodnionej tożsamości Szablon:LinkWzór i za miejsce x wstawimy wartość n, to przybliżona tożsamość Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Po zlogarytmowaniu wyrażenia Szablon:LinkWzór logarytmem naturalnym ze względu na n bardzo duże w końcowych obliczeniach pomijamy składnik z liczby Szablon:Formuła, bo jest mały z porównaniu z innymi składnikami sumy: Szablon:CentrujWzór