Mechanika kwantowa/Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a

W rozdziale tym będziemy zajmować się podaniem w postaci jawnej gęstości Lagrangianu i na jej podstawie będziemy wyznaczać równanie Klieina-Gordona i Diraca, czyli równania kwantów fizyki relatywistycznej, korzystając przy tym ze sygnatury (1,-1,-1,-1) znanej z szczególnej teorii względności jako jedna z dwóch sygnatur (obie sygnatury różnią się w tensorze metrycznym znakami).

Przejście między równaniem Eulera-Lagrange'a a równaniem Newtona

Szablon:Rysunek Rozważmy ruch N cząstek, którymi rządzą równania Newtona. Dla każdej cząstki możemy napisać 3 równania, dla każdej współrzędnej z osobna. Razem tych równań jest 3N; równania te numeruje indeks i=1,2,3,...,3N, każdemu "i" odpowiada jedno równanie skalarne. Szablon:CentrujWzór

• gdzie: qSzablon:Sub oznaczają współrzędne kartezjańskie x,y,z wektorów położeń poszczególnych cząstek w przestrzeni, przy czym dla pierwszej cząstki współrzędne te mają odpowiednio indeksy i=1,2,3, dla drugiej i=4,5,6, itd.

Rozważmy pole potencjalne, czyli pole, dla którego praca sił pola zleży jedynie od punktu początkowego i końcowego, a nie zależy od drogi łączącej te punkty. Siła potencjalna, która występuje w równania Szablon:LinkWzór, jest wyrażona: Szablon:CentrujWzór Aby otrzymać równania Newtona, tzn. Szablon:LinkWzór (drugie prawo Newtona) z Szablon:LinkWzór (wzór na siłę pola potencjalnego), podejdźmy do tych równań ze strony Lagrangianu, z której według zasady wariacyjnej możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Określmy funkcjonał, który zależy od współrzędnych uogólnionych oraz od ich pochodnych względem czasu, które opisują cząstkę, który ten Lagrangian otrzymujemy po scałkowaniu jej względem czasów, po których odbywa się ruch, zatem ten funkcjonał ma się: Szablon:CentrujWzór Równanie różniczkowe dla lagrangianu występujący pod całką w funkcjonale Szablon:LinkWzór piszemy: Szablon:CentrujWzór Jeśli oznaczymy Lagrangian jako różnica energii kinetycznej i potencjalnej cząstki, to według mechaniki klasycznej mamy: Szablon:CentrujWzór To z równania różniczkowego Eulera-Lagrange'a Szablon:LinkWzór po podstawieniu do niego Lagrangianu określonego według wzoru Szablon:LinkWzór można przejść do równań Newtona Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór. Zatem równania Newtona Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór są równoważne z równaniem Eulera-Lagrange'a.

Przejście od układu sprężynek o długości a do układu ciągłego i jego Lagrangian

Zauważmy, że mamy układ sprężyn rozłożonych w sposób liniowy, w których występuje n kulek, które są połączone n+1 sprężynkami: Szablon:Rysunek Całkowita długość wszystkich sprężyn występująca w układzie, przy czym zakładając, że długość początkowa każdej sprężyny z osobna jest równa długości "a", jest równa: Szablon:CentrujWzór Energia kinetyczna wszystkich kulek razem umieszczonym między sprężynami jest równa sumie energii kinetycznej każdej kulek z osobna: Szablon:CentrujWzór Energia potencjalna każdej z sprężynek osobna możemy przedstawić jako sumą energii potencjalnych sprężynek każdej z osobna: Szablon:CentrujWzór A siła działająca na kulkę o numerze "i" jest wyrażona jako pochodna energii potencjalnej układu sprężynek względem położenia jaki dana kulka o numerze "i" może posiadać: Szablon:CentrujWzór Wyprowadźmy wzór Szablon:LinkWzór ze wzoru na energię potencjalną układu Szablon:LinkWzór, oraz pamiętając, że kulki są połączone ze sobą siłami sprężystości, z definicji siły potencjalnej poprzez energię potencjalną sprężynek, korzystając przy tym z pochodnej cząstkowej tej energii względem położenia danej kulki i to wyrażenie wzięte z minusem, otrzymujemy wzór na siłę potencjalną działająca na daną kulkę w zależności od położeń danych kulek towarzyszących tej kulce jako najbliżsi przyjaciele: Szablon:CentrujWzór Co kończy powyższy dowód Szablon:LinkWzór. Łącząc niezrównoważoną siły działającą na daną kulkę według Szablon:LinkWzór z drugą zasadą dynamiki Newtona opisującą ten obiekt, zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Obierzmy stałe: Szablon:Formuła oraz Y=ka, wtedy równanie ruchu Szablon:LinkWzór ma się: Szablon:CentrujWzór A nasz Lagrangian, który jest różnicą sumy energii kinetycznej kulek i sumy energii potencjalnej sprężynek, przy powyższych oznaczeniach μ i Y, jest pisany: Szablon:CentrujWzór Jeśli dodatkowo oznaczymy przechodząc do granicy dla parametru a→0, oznaczając ten parametr przez różniczkę odległości pomiędzy kulkami a=dx, który dla nasz ten parametr w tym przypadku jest wielkością infinitezymalną, wtedy wyrażenie na Lagrangian Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Gęstość Lagrangianu, według wzoru Szablon:LinkWzór wyrażamy wzorem poniżej, jest funkcją pochodnej względem czasu danej kulki i pochodnej cząstkowej względem wielkości x: Szablon:CentrujWzór Działanie Lagrangianu określmy poprzez gęstość Lagrangianu, która jest wyrażona wzorem Szablon:LinkWzór względem współrzędnej liniowej x: Szablon:CentrujWzór A zatem nasze równanie różniczkowe opisujące ruch wszystkich kulek używająca gęstości Lagrangianu napisaną wzorem Szablon:LinkWzór jest napisana przez wyrażenie: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że powyższe równanie Eulera-Lagrange'a zależy od pochodnych cząstkowych wielkości położenia danej kulki względem czasu i pochodnych cząstkowych położenia x, a także zależy od wielkości położenia danej kulki.

Sprzężenie hermitowskie pochodnej tensorowej

Prowadźmy oznaczenia jako konwencja Eulera-Lagrange dla operatorów różniczkowania w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni) kowariantnych i kontrkowariantnych przedstawiając ich pełne znaczenie rozpisując je w sposób pełny, co oznaczając przy czym je literami greckimi numerowanych od zero do trzech, a numerowanie literami łacińskimi jest to numerowanie od jeden do trzech, czyli bez współrzędnej czasowej (zerowej), w postaci: Szablon:ElastycznyWiersz Udowodnijmy, że na podstawie definicji operatora sprzężonego po hermitowsku, dla operatorów zdefiniowanych według Szablon:LinkWzór lub Szablon:LinkWzór, tylko że kierunek różniczkowania określa strzałka u góry tychże operatorów, zachodzi tożsamość: Szablon:CentrujWzór Zatem przejdźmy do dowodu tożsamości Szablon:LinkWzór dla operatorów różniczkowania kowariantnych. Dla operatorów różniczkowania kontrawariantnych dowód przebiega identycznie tylko ze wskaźnikami u góry zamiast u dołu. Szablon:CentrujWzór Zakładamy w Szablon:LinkWzór, że funkcje ψ i φ zerują się w punktach "a" i "b".

Z definicji sprzężenia hermitowskiego i dowodu Szablon:LinkWzór wynika własność Szablon:LinkWzór, a zwrot strzałki nad Szablon:Formuła, wynika, czy ten operator pochodnej działa na prawą czy lewą stronę względem pozycji jaki on się znajduje, czyli względem której strony różniczkowanie jest napisane.

Relatywistyczne równanie Kliena-Gordona, pole, jego Lagrangian

Stosując konwencję Eulera-Lagrange, a także dodatkowo konwencję Einsteina, to równanie Szablon:LinkWzór zapiszmy dla przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni), zamiast przestrzeni dwuwymiarowej (czasoprzestrzeni), w postaci: Szablon:CentrujWzór W prowadźmy Lagrangian, z którego wyprowadzimy równanie mechaniki kwantowej Kliena-Gordona, które jest zależne od pochodnych cząstkowych drugiego rzędu, jest też zależna od kwadratu funkcji falowej, która jest rozwiązaniem równania Klieina-Gordona: Szablon:CentrujWzór Pierwszy człon jest związany z energią kinetyczną kwantowej cząstki, a drugi masowy człon jest związany z energią potencjalną.

Na podstawie definicji tensorowych pochodnych napiszmy wyrażenie, które można rozpisać względem współrzędnych czasowych i przestrzennych: Szablon:CentrujWzór

• gdzie: Szablon:Formuła.

Można udowodnić na podstawie definicji Lagrangianu Szablon:LinkWzór, że zachodzi dla pierwszego wyrazu we wzorze Eulera-Lagrange'a Szablon:LinkWzór, pisząc pochodną gęstości lagrangianu względem czasu, a później względem współrzędnych przestrzennych: Szablon:ElastycznyWiersz Obliczamy ostatni wyraz występujący w równaniu Eulera-Lagrange'a Szablon:LinkWzór, który jest pochodną gęstości Lagrangianu względem funkcji falowej. Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór, który jest zapisany przy pomocy pochodnej czasowej i przestrzennej, wyznaczamy biorąc pochodną czasową wyrażenia Szablon:LinkWzór i pochodną przestrzenną wyrażenia Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór W sposób ostateczny podstawiając Szablon:LinkWzór (pochodna względem funkcji falowej gęstości Lagrangianu) i Szablon:LinkWzór (drugich pochodnych względem współrzędnej czasowej i współrzędnych przestrzennych) do wzoru wariacyjnego Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór lub łatwiej korzystając z definicji operatora d'Alemberta Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest to równaniem mechaniki Klieina-Gordona teorii kwantów nieuwzględniający spinów cząstek.

Relatywistyczne równanie Diraca, pole i jego Lagrangian

Wiemy, że Hamiltonian równania Diraca przyjmuje postać zlinearyzowaną określoną według wzoru Szablon:LinkWzór, a jego równanie zależne od czasu jest w postaci Szablon:LinkWzór. Podstawiając Hamiltonian Diraca do równania Diraca równania zależnego od czasu, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Podstawiamy definicję operator pędu Szablon:LinkWzór do równania Diraca Szablon:LinkWzór, dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór Dokonując prostych przenosin wyrazów z związanych z pochodną czasową z prawej strony wzoru na jej lewą, dalej włączając je pod nawias przed czynnikiem, który jest iloczynem jednostki urojonej i stałej kreślonej Plancka: Szablon:CentrujWzór Mnożymy obustronnie równość Szablon:LinkWzór przez operator Szablon:Formuła, oraz wykorzystujemy, że zachodzi tożsamość operatorowa Szablon:LinkWzór, wiemy: Szablon:CentrujWzór W prowadźmy zdefiniowany tensor poniżej, który nazwiemy kontrkowariantnym tensorem γSzablon:Sup: Szablon:CentrujWzór Przy pomocy Szablon:LinkWzór i definicji czterooperatora kowariantnego różniczkowania Szablon:LinkWzór wyrażenie Szablon:LinkWzór przyjmuje bardziej zwartą tensorową postać: Szablon:CentrujWzór W kwantowej mechanice relatywistycznej Diraca przyjmujemy definicje oparte na tensorach czterowektorów pochodnych kowariantnych Szablon:LinkWzór i kontrkowariantnych Szablon:LinkWzór oraz zdefiniujemy nową funkcję Szablon:Formuła, których definicję poznamy poniżej: Szablon:ElastycznyWiersz Równanie Szablon:LinkWzór dzielimy obustronnie przez wyrażenie urojone Szablon:Formuła, dostajemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Jest to równanie ruchu Diraca dla cząstki kwantowej. Z skonstruujemy gęstość lagrangianu dla pola opisujących kwantowe cząstki o spinie równym Szablon:Formuła w równaniu Diraca , co prowadzi do definicji tejże wielkości: Szablon:CentrujWzór

• gdzie zachodzi tożsamość:

Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór możemy zapisać w postaci rozwiniętej, jeśli przy czym skorzystamy z definicji operatora zdefiniowanego w punkcie Szablon:LinkWzór, ten nasz wspomniany Lagrangian Diraca możemy rozpisać wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór Można policzyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem współrzędnych czasoprzestrzeni czterowymiarowej dla gęstości Lagrangianu napisanego wedle Szablon:LinkWzór, zatem mamy: Szablon:ElastycznyWiersz Co ostatecznie z równania Szablon:LinkWzór (równanie Eulera-Lagrange) przy pomocy obliczonych już wyrażeń Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, oraz łącząc te dwie pochodne w wspomniane powyżej równania wariacyjnego, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Z wyrażeniu Szablon:LinkWzór redukujemy wyrazy podobne, mamy: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór dzielimy obustronnie przez stałą urojoną Szablon:Formuła, dochodzimy do wniosku, że: Szablon:CentrujWzór Otrzymaliśmy równanie Szablon:LinkWzór, które jest takie same jak w punkcie Szablon:LinkWzór, które jest równaniem mechaniki kwantowej Diraca.

Jeśli będziemy różniczkować po ψ, a nie po Szablon:Formuła, to otrzymamy inne równanie: Szablon:CentrujWzór Udowodnimy, że równanie Szablon:LinkWzór jest równoważne równaniu Szablon:LinkWzór. Wykorzystując definicję funkcji Szablon:Formuła zapisaną w schemacie Szablon:LinkWzór w równaniu Szablon:LinkWzór dostajemy: Szablon:CentrujWzór Mnożymy prawostronnie równanie Szablon:LinkWzór przez operator Szablon:Formuła, to wiemy wtedy na pewno: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy sprzężenie hermitowskie operatora występującego w równaniu Szablon:LinkWzór - po tej operacji dostaniemy operator Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Jeśli przedtem wykorzystamy wzór operatorowy Szablon:LinkWzór, a potem będziemy sprzęgać po hermitowsku wyrażenie różniczkowe Szablon:LinkWzór, korzystając przy tym z tożsamości operatorowej Szablon:LinkWzór, to otrzymamy równanie Szablon:LinkWzór, które jest równoważne równaniu Szablon:LinkWzór.

Równanie Kleina-Gordona, a równania Diraca w teorii kwantów

Podziałajmy prawostronnie na równanie Diraca mechaniki relatywistycznej opisujących cząstki spinie połówkowym Szablon:LinkWzór operatorem: Szablon:Formuła, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Podczas działania operatorem w tym przypadku różniczkowania cząstkowego na prawą i lewą stronę równań Diraca, to ono prawostronnie jest równe zero. Sprawdźmy, czy dostaniemy równanie Klieina-Gordona. Jeśli otrzymamy to równanie, to zbiór rozwiązań równania Diraca jest podzbiorem zbioru rozwiązań równania Kliena-Gordona dla ruchu swobodnego. Dokonując wymnożeń w Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Ale jeśli na równość różniczkową Szablon:LinkWzór podziałamy operatorem odwrotnym do Szablon:Formuła to otrzymamy równanie Diraca Szablon:LinkWzór, wtedy równania Diraca zawierają sobie zbiór rozwiązań równania Klieina-Gordona. Zatem na podstawie poprzednich rozważań dostajemy, że rozwiązania w obu teoriach są takie same. Wyznaczmy kwadrat operatora Szablon:LinkWzór występujących w równaniu Szablon:LinkWzór, korzystając przy tym z definicji operatora Szablon:LinkWzór poprzez Szablon:LinkWzór, zatem: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór, na podstawie Szablon:LinkWzór otrzymanej tożsamości na operatorach różniczkowania według konwencji Eulera-Lagrange, przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Ostatnie równanie jest zgodne z równaniem Szablon:LinkWzór, a więc z równaniem Kliena-Gordona, czyli nasze rozważania co do mechaniki Klieina-Gordona opisujących cząstki o spinie zerowym i co do mechaniki Diraca są poprawne.