Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań i nierówności potęgowych

Rozwiązywanie równań potęgowych

Przykładami równań potęgowych może być:

$x^{\frac{2}{3}}=9$,

$7x^4=2\sqrt{7}$,

$x+x^{\frac{1}{2}}=12$.

W celu rozwiązania danego równania oczywiście najpierw należy wyznaczyć dziedzinę. Następnie rozwiązujemy je i sprawdzamy, które rozwiązania należą do dziedziny równania. Załóżmy, że mamy równanie $x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{3}$ i chcemy je rozwiązać. Możemy to zrobić w ten sposób:

1. Ustalamy dziedzinę:

   $x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{3},D={ℝ}_{+}\cup \{0\}$

2. Przekształcamy pierwiastek na potęgę:

   $x^{\frac{3}{2}}=3^{\frac{1}{2}}$

3. Ponieważ obydwie strony równania są dodatnie, możemy je podnieść do potęgi $\frac{2}{3}$:

   ${\left(x^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{2}{3}}={\left(3^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{2}{3}}$

4. Czyli:

   $x=3^{\frac{1}{3}}$

Niektóre równania możemy sprowadzić do postaci równania kwadratowego, na przykład równanie $x^{\frac{2}{5}}+3x^{\frac{1}{5}}=28$:

1. Ustalamy dziedzinę:

   $x^{\frac{2}{5}}+3x^{\frac{1}{5}}=28,D={ℝ}_{+}\cup \{0\}$

2. Podstawmy: $x^{\frac{1}{5}}=t,t\ge 0$ i otrzymujemy równanie kwadratowe:

   $t^2+3t-28=0$

3. Czyli:

   $t_1=-7,\notin D$

   $t_2=4,\in D$

4. Otrzymujemy:

   $x^{\frac{1}{5}}=t_2=4$

   $x=4^5=1024$

Spójrzmy na jeszcze inny przykład: $\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-6}=3$.

1. Ustalamy dziedzinę:

   $4x+5\ge 0\wedge 2x-6\ge 0⟺x\ge -\frac{5}{4}\wedge x\ge \frac{6}{2}⟺x\ge 3$

   Czyli: $D=[3;+\mathrm{\infty })$

2. Wyrażenie to możemy podnieść do kwadratu, ponieważ lewa i prawa strona jest dodatnia:

   $\begin{array}{cc}(\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-6}{)}^2& =9\\ 4x+5-2\sqrt{(4x+5)(2x-6)}+2x-6& =9\\ -2\sqrt{8x^2-14x-30}& =-6x+10/:(-2)\\ \sqrt{8x^2-14x-30}& =3x-5\end{array}$

3. Żeby równanie to miało sens muszą zachodzić warunki:

   $x\in [3;+\mathrm{\infty })\wedge 8x^2-14x-30\ge 0\wedge 3x-5\ge 0$

   $⟺x\in [3;+\mathrm{\infty })\wedge x\in (-\mathrm{\infty };-\frac{4}{5}]\cup [\frac{1}{3};+\mathrm{\infty };)\wedge x\ge \frac{5}{3}$

   $⟺x\in [3;+\mathrm{\infty })$

4. I możemy ponownie podnieść to wyrażenie do kwadratu:

   $8x^2-14x-30=(3x-5{)}^2$

   $8x^2-14x-30=9x^2-30x+25$

   $-x^2+16x-55=0$

5. Czyli:

   $x_1=5,\in [3;+\mathrm{\infty })$

   $x_1=11,\in [3;+\mathrm{\infty })$

6. Zatem rozwiązaniami tego równania jest 5 i 11.

Rozwiązywanie nierówności potęgowych

Przykładem nierówności potęgowej może być:

$x^2>x^{-3}$

$x^{\frac{1}{2}}-3x^{\frac{1}{4}}+1>0$

$3x^{\frac{1}{6}}>x^{\frac{1}{4}}$

Aby rozwiązać nierówność potęgową możemy wykonać poniższe czynności:

1. Ustalamy dziedzinę.
2. Przenosimy wszystkie składniki nierówności na lewą stronę.
3. Rozwiązujemy nierówność, pamiętając o dziedzinie. Często okazuje się przydatne wykorzystanie własności:
   1. $\frac{a}{b}>0⟺ab>0$
   2. $\frac{a}{b}<0⟺ab<0$
4. Udzielamy odpowiedzi.

Czasami może okazać się pomocne obustronne pomnożenie nierówności przez $x^k$, gdzie k jest liczbą parzystą. Nie spowoduje to problemów, ponieważ $x^k$ zawsze będzie nieujemne, a w związku z tym znak wyrażeń po obu stronach nierówności nie może ulec zmianie.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność $x^{-4}>x^{-3}$.

Możemy to zrobić w standardowy sposób:

1. Ustalamy dziedzinę, wykonując pewne przekształcenia, które nam to ułatwią:

   $x^{-4}>x^{-3},D=ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}$

   $\frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3}$

2. Przenosimy wszystko na lewą stronę:

   $\frac{1}{x^4}-\frac{1}{x^3}>0$

3. Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

   $\frac{1}{x^4}-\frac{x}{x^4}>0$

   $\frac{1-x}{x^4}>0⟺x^4(1-x)>0$

   $-x^4(x-1)>0$

4. Otrzymujemy dwa miejsca zerowe:

   $x_1=0$ o krotności 4

   $x_2=1$ o krotności 1

   Plik:Matematyka dla liceum-nierpot-wykr1.png

5. Rozwiązaniem nierówności jest $x\in (-\mathrm{\infty };0)\cup (0;1)$

Nierówność $x^{-4}>x^{-3}$ możemy także rozwiązać (po uprzednim ustaleniu dziedziny $D=ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}$) wymnażając obie strony przez $x^4$, ponieważ $x^4>0$ dla każdego x różnego od 0. Otrzymalibyśmy wtedy:

$\frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3}$ $/\cdot x^4$

$1>x$

Uwzględniając dziedzinę $D=ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}$ otrzymujemy, że $x\in (-\mathrm{\infty };0)\cup (0;1)$. Jak widać w tym przypadku drugi sposób okazał się o wiele łatwiejszy.

Trzeba dodać, że nie moglibyśmy wymnożyć przez np. $x^5$ (wykładnik nieparzysty), ponieważ $x^5$ może przyjąć wartość ujemną. A pamiętamy, że jeśli nierówność wymnażamy przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny. Wymnażając przez $x^5$ nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy liczba ta jest ujemna, dodatnia, czy może jest zerem, zatem nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy musimy zmienić znak na przeciwny bez tworzenia dodatkowych założeń.

Dodajmy także, że jeśli wymnażamy obustronnie nierówność (czy nawet równanie) przez $x^4$ (czy inne potęgi) musimy sprawdzić jeden przypadek zdegenerowany -- co będzie gdy $x^4=0$, czyli gdy $x=0$. Musimy to zrobić, ponieważ jeśli dowolną nierówność wymnożymy obustronnie przez 0 obie strony nierówności się zerują np. $x+5\ge 10$ przechodzi na $0\ge 0$ (zawsze prawdziwe). Zatem musimy sprawdzić dwa przypadki -- czy liczba x = 0 spełnia niewymnożoną nierówność (w ten sposób pomijamy sytuację, gdy $x^4=0$), a także która z liczb $x\ne 0$ spełnia wymnożoną nierówność (wtedy $x^4\ne 0$). Następnie sumujemy oba zbiory rozwiązań.

Na szczęście w powyższym przykładzie $D=ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}$, czyli x nigdy nie będzie równy 0 i ten zdegenerowany przypadek nas nie dotyczy.

Szablon:Nawigacja