Elektrodynamika klasyczna/Opis fal prowadzonych

Zajmować się będziemy falami prowadzonymi w falowodach i liniach transmisyjnych i wykażemy, że te fale nie są w ogólności falami poprzecznymi tak ja w zwykłych falach elektromagnetycznych, które rozchodzą się w nieskończonych rozmiarach w przeciwieństwie do fal w falowodach lub liniach transmisyjnych, które ograniczone są do wnętrza rury.

Opis ogólny fal prowadzonych w falowodach

Falowód jest to pewna rura, w których we wnętrzu rozchodzą się fale prowadzone. Zakładamy, że brzeg rury jest doskonałym przewodnikiem, tzn. jego przewodność elektryczna jest nieskończenie wielka. Na brzegach tej rury natężenie pola elektrycznego i magnetycznego jest równa zero, tzn. zachodzą warunki: Szablon:ElastycznyWiersz We wnętrzu rury nie ma prądów swobodnych , a także nie ma ładunków i dlatego gęstość ładunku i prądu objętościowych jest równa zero. Równania Maxwella dla falowodów na podstawie równań Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór oraz Szablon:LinkWzór wyglądają: Szablon:Tabelka

Rozwiązania pół elektrycznych i magnetycznych fali prowadzonej

Jeśli wybierzemy sobie taki układ współrzędnych, w których zachodzi, że oś zetowa przechodzi przez oś symetrii tej rury, wtedy rozwiązania równań Maxwella dla fal prowadzonych we wnętrzu rury są dla pola elektrycznego i magnetycznego: Szablon:ElastycznyWiersz Amplitudy dla pola elektrycznego i magnetycznego fali prowadzonej występujące we wzorach Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy napisać: Szablon:ElastycznyWiersz Poszczególne składowe amplitudy fali prowadzonej zależą od współrzędnej iskowej i igrekowej, i nie zależą od współrzędnej zetowej.

Każda ze składowych Szablon:Formuła i Szablon:Formuła jest funkcją współrzędnych x i y, co wynika z symetrii rury dla fal prowadzonych.

Równania różniczkowe rządzące falami prowadzonymi w falowodzie

Wykorzystując trzecie równanie elektrodynamiki Maxwella Szablon:LinkWzór, to policzmy jego lewą stronę, korzystając przy tym z formalnego oznaczenia iloczynu wektorowego w postaci ściśle określonego wyznacznika: Szablon:CentrujWzór A z prawej strony tego samego prawa elektrodynamiki Maxwella, korzystając z przedstawienia fali prowadzonej dla pola magnetycznego wedle równania Szablon:LinkWzór, znając również przedstawienie tejże fali amplitudy pola magnetycznego we współrzędnych kartezjańskich zdefiniowanych wedle sposobu Szablon:LinkWzór, można wyznaczyć: Szablon:CentrujWzór Porównując prawą i lewą stronę równań, tzn. dla lewej strony trzeciego prawa elektrodynamiki Szablon:LinkWzór z jej prawą jego stroną wedle Szablon:LinkWzór, otrzymujemy układ równań: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując trzecie równanie elektrodynamiki Maxwella Szablon:LinkWzór, to policzmy jego lewą stronę, korzystając przy tym z formalnego oznaczenia iloczynu wektorowego w postaci ściśle określonego wyznacznika, w celu wyznaczeniu tej strony naszego równania, zatem do dzieła, policzmy ten wyznacznik: Szablon:CentrujWzór A prawa strona tego samego prawa elektrodynamiki Maxwella można wyznaczyć, korzystając z przedstawienia fali prowadzonej dla pola elektrycznego wedle równania Szablon:LinkWzór, znając również przedstawienie tejże fali amplitudy pola elektrycznego we współrzędnych kartezjańskich zdefiniowanych wedle sposobu Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest przyrównanie obu stron w czwartym równaniu Maxwella, tzn. Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wtedy to przyrównanie prowadzi do równania wektorowego, które jest równoważne trzem równaniom skalarnym, które zapisujemy wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór

Współrzędne iksowe i igrekowe pola elekrycznego fali prowadzonej w falowodzie

Z korzystajmy z równania drugiego układu równań Szablon:LinkWzór i z równania pierwszego układu równań Szablon:LinkWzór, które te równania równań z oczywistych powodów powinny zachodzić jednocześnie. Z tak otrzymanego układu równań, w pierwszym z nich pomnóżmy przez k a drugie z nich przez Szablon:Formuła, wtedy dostajemy następny równoważny układ równań: Szablon:CentrujWzór Tak otrzymany końcowy układ równań Szablon:LinkWzór, co w nim dodajemy do siebie równania, w ten sposób dostajemy równanie wynikowe, z którego będziemy chcieli wyznaczyć współrzędną iksową amplitudy pola elektrycznego fali prowadzonej, zatem dodanie tych wspomnianych równań prowadzi: Szablon:CentrujWzór Z końcowego równania Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć współrzędną iksową amplitudy pola elektrycznego: Szablon:CentrujWzór Z drugiej jednak strony weźmy pierwsze równanie układu równań Szablon:LinkWzór i drugie równanie układu równań Szablon:LinkWzór. Pierwsze równanie tego układu równań mnożymy przez liczbę falową k, a drugie przez częstotliwość kołową ω, w ten sposób dostajemy następny układ równań. Szablon:CentrujWzór Dodajmy dwa równania końcowego układu równań Szablon:LinkWzór do siebie, by potem w przyszłości wyznaczyć współrzędną igrekową amplitudy pola magnetycznego, która panuje w falowodzie, w ten sposób otrzymujemy równanie wynikowe, które dalej będziemy przekształcać: Szablon:CentrujWzór Z końcowego równania Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć współrzędną iksową amplitudy pola elektrycznego w zalezności od współrzędnej zetowej natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego: Szablon:CentrujWzór

Współrzędne iksowe i igrekowe pola magnetycznego fali prowadzonej w falowodzie

Mamy sobie te sam układ początkowy, co w punkcie Szablon:LinkWzór, tylko będziemy wyznaczać z niego współrzędną iksową amplitudy pola magnetycznego. W tym celu pierwsze z tych równań pomnóżmy obustronnie przez Szablon:Formuła, a drugie przez liczbę falową k, zatem w ten sposób dostajemy następny układ równań, co te czynności możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Tak otrzymany końcowy układ równań Szablon:LinkWzór odejmujemy do siebie, tzn. drugie od pierwszego, w ten sposób dostajemy równanie wynikowe z którego będziemy chcieli w przyszłości wyznaczyć współrzędną iksową amplitudy pola magnetycznego fali prowadzonej, zatem odejmowanie tych wspomnianych równań prowadzi do: Szablon:CentrujWzór Z końcowego równania Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć współrzędną iksową amplitudy indukcji pola magnetycznego w zalezności od współrzędnych zetowych natęzenia pola magnetycznego i indukcji pola magnetycznego: Szablon:CentrujWzór Posłużmy się znów układem równań Szablon:LinkWzór i pierwsze z nich pomnóżmy przez odwrotność kwadratu wartości światła c, czyli cSzablon:Sup, a drugie z nich przez liczbę falową k, w ten sposób dostajemy następny równoważny do poprzedniego układ równań: Szablon:CentrujWzór Odejmijmy od siebie dwa równania końcowego układu równań Szablon:LinkWzór, tzn. pierwsze od drugiego, by potem w przyszłości wyznaczyć współrzędną igrekową amplitudy pola magnetycznego, która panuje w falowodzie, w ten sposób otrzymujemy równanie wynikowe, które dalej będziemy przekształcać: Szablon:CentrujWzór Z końcowego równania Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć współrzędną igrekową amplitudy pola elektrycznego występująca w rozwiązaniu jako fale prowadzone układu równań Szablon:LinkWzór, zatem tą współrzędną można napisać: Szablon:CentrujWzór Znając współrzędne Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, które z kolei zależą od współrzędej kartezjańskiej x i y, wtedy możemy wyznaczyć pozostałe współrzędne pola elektrycznego i magnetycznego fali prowadzonej.

Współrzędne zetowe pola elektrycznego i magnetycznego fali prowadzonej w falowodzie

Z korzystajmy z pierwszego prawa Szablon:LinkWzór, oraz z drugiego prawa Maxwella Szablon:LinkWzór, które są słuszne dla fali prowadzonej, wtedy amplitudy tych fal z definiowanych w punkcie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór podstawiamy do tych równań, wtedy dostając końcowe równania różniczkowe, których postać podamy poniżej: Szablon:CentrujWzór Równania Szablon:LinkWzór możemy zapisać po podzieleniu ich przez eksponens z liczby i(kz-ω t), wtedy dostajemy układ równań w postaci: Szablon:CentrujWzór Do układu równań Szablon:LinkWzór podstawiamy już obliczone wartości na Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, na Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór oraz na Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór i ostatecznie na Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, wtedy dostaniemy układ równań, z których będziemy mogli wyznaczyć współrzędne zetowe amplitud fali prowadzonej pola elektrycznego i magnetycznego, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Bezpośrednio z układzie dwóch równań Szablon:LinkWzór dokonujemy redukcji pewnych wyrazów związanych z pochodnymi mieszanymi, i współrzędne zetowe amplitud pola elektrycznego i magnetycznego włączamy za nawias, w ten sposób dostajemy do poprzedniego przekształcony, ale równoważny układ równań: Szablon:CentrujWzór Z powyższego układu równań Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć Szablon:Formuła i Szablon:Formuła jako funkcje x,y, już mając te funkcje, to można wyznaczyć pozostałe współrzędne pola elektrycznego i magnetycznego fali prowadzonej.

Jeśli współrzędna zetowa amplitudy pola elektrycznego jest równa zero, czyli Szablon:Formuła, to mamy do czynienia z poprzecznymi falami elektrycznymi (TE), a jeśli amplituda pola magnetycznego jest równa zero, czyli Szablon:Formuła, to mamy do czynienia z poprzecznymi falami magnetycznymi (TM), a jeśli zarówno oba te współrzędne zetowe pól elektrycznych i magnetycznych są równe zero, czyli Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, to mówimy o falach poprzecznych elektromagnetycznych (TEM), to w takim przypadku mamy na pewno: Szablon:CentrujWzór

Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w falowodzie

Fale elektromagnetyczne nie mogą rozchodzić się w pustej falowodzie, udowodnijmy to. Wiadomo jednak, że fale elektromagnetyczne są falami poprzecznymi, więc ich składowa zetowa obu pól są rówe zero. Z pierwszego i trzeciego prawa Maxwella mamy wtedy równania w takim przypadku: Szablon:ElastycznyWiersz Dla pola elektromagnetycznego mamy zerową dywergencję i rotację, zatem pole elektromagnetyczne pola elektrycznego można przedstawić jako gradient pewnej funkcji zwanej potencjałem, która zależy od współrzędnej x i y. Co mamy podobnie w elektrostatyce. Potencjał na powierzchni rury (falowodu) musi mięć różnice potencjałów, ale z drugiej strony pole na powierzchni rury jest zerowe, zatem potencjał nie zmienia się z punku do punktu na naszej rurze. Dochodzimy więc do wniosku, że pole elektryczne we wnętrzu rury jest zerowe. Podobnie dowodzimy dla pola magnetycznego.

Propagacja fal prowadzonych w falowodzie prostokątnym

Falowodem prostokątnym nazywamy falowód o wysokości a i szerokości b.

Wyznaczmy współrzędną zetową pola magnetycznego fali prowadzonej pole według równania, które wyprowadziliśmy w punkcie Szablon:LinkWzór jako drugie końcowe równanie, i w nim dokonajmy za tą współrzędną amplitudy odpowiednie podstawienia: Szablon:CentrujWzór Zatem otrzymujemy rówanie różniczkowe, które jest zależne od funkcji f(x) i g(y) względem współrzędnych iksowych i igrekowych. Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór możemy podzielić obustronnie przez funkcję, która jest iloczynem funkcji zależnej od współrzędnej iksowej f(x) i fukcji zależnej od współrzędnej igrekowej g(y), zatem dostajemy równanie wynikowe: Szablon:CentrujWzór Z wiadomości o równaniach różniczkowych z pełną premedytacją możemy zapisać, tożsamość zależną od kSzablon:Sub, kSzablon:Sub, wedle wyglądu: Szablon:CentrujWzór Patrząc na równanie różniczkowe Szablon:LinkWzór i równanie do niego odpowiednie Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy układ dwóch równań różniczkowych, z których każda zależy od innej współrzędnej przestrzennej. Szablon:ElastycznyWiersz Stąd z równań Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć ich rozwiązania w postaci funkcji f(x) i g(x): Szablon:ElastycznyWiersz Gdy mamy rozwiązanie Szablon:LinkWzór, to dla x=0, to wtedy mamy f(0)=A kSzablon:Subcos(kSzablon:Sub 0)=A k_x=0, zatem otrzymujemy, że A=0, wtedy ta nasza wspomniana funkcja przechodzi w równanie: Szablon:CentrujWzór Ale już dla x=a powinno być f(a)=0, a więc wtedy funkcja Szablon:LinkWzór przy tym warunku brzegowym jest spełniona, gdy stała kSzablon:Sub jest zależna od liczby falowej n wedle: Szablon:CentrujWzór Ostatecznie funkcja f(x) zdefiniowana wzorem Szablon:LinkWzór przy definicji stałej kSzablon:Sub można napisać wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór Podobnie otrzymujemy dla fukcji g(x) Szablon:LinkWzór, w której parametr D jest równy zero i jeszcze raz w której parametr kSzablon:Sub jest zależny od dyskretnej zmiennej m, to go zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Zatem nasza funkcja Szablon:LinkWzór, przy znajomości funkcji f(x) i g(y) i stałej kSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, a także stałej kSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, piszemy wedle: Szablon:CentrujWzór

Z równania Szablon:LinkWzór, znając stałe kSzablon:Sub Szablon:LinkWzóri kSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, możemy wyznaczyć k, możemy podstawić do nich za te stałe, wtedy otrzymujemy kwadrat stałej k, z którego wyznaczymy samo k, zatem do dzieła: Szablon:CentrujWzór Oznaczmy wielkość występująca w końcowym wzorze Szablon:LinkWzór wedle schematu: Szablon:CentrujWzór i nazywamy go częstością kołową obcięcia. Zgodnie umową przyjmujemy, że a≥ b, to najniższą częstość obcięcia zatem jest równa wzorowi: Szablon:CentrujWzór Częstości mniejsze od ωSzablon:Sub w falowodzie prostokątnym nie mogą się rozchodzić.

Liczba falowa fali prowadzonej jest równa na podstawie jej definicji Szablon:LinkWzór, wtedy wzór Szablon:LinkWzór możemy zapisać wedle: Szablon:CentrujWzór

Jeśli mamy ω≥ωSzablon:Sub, to mamy do czynienia z zwykłą falą nietłumioną, a jeśli ω<ωSzablon:Sub, to wtedy z falą prowadzoną tłumioną. Gdy jest spełniony ten pierwszy warunek, to wtedy prędkość fazowa fali prowadzonej jest wyrażona wzorem: Szablon:CentrujWzór I zawsze jest ona większa od prędkości światła c.

Prawdziwą prędkością rozchodzenia się energii fali elektromagnetycznej jest to jej prędkość grupowa liczoną jak poniżej: Szablon:CentrujWzór Gdy spełniona jest zależność ωSzablon:Sub<ω wtedy prędkość grupowa jest rzeczywista mniejsza niż prędkość światła, co jest zgodnie ze szczególną teorią względności.

Fale prowadzone jako fala płaska rozchodząca się pod kątem

Tym razem nie będziemy rozpatrywali fali prowadzonej według równań Maxwella, ale załóżmy, że jednak mamy falę elektromagnetyczną płaską, która rozchodzi się pod pewnym kątem. Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w falowodzie można zapisać w postaci wzoru jako kombinacji funkcji sinus i kosinus według wzoru: Szablon:CentrujWzór Rozpatrzmy przypadek $𝐫=(x,0,0)$, to wtedy funkcję y Szablon:LinkWzór możemy zapisać wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór Dla funkcji Szablon:LinkWzór, gdy zachodzi x=0, to wtedy mamy y(0)=A, ale ponieważ ta funkcja w tymże punkcie jest równa zero, to musi być A=0, bo zakładamy, że na ściankach naczynia są węzły fali stojącej. Zatem otrzymujemy odpowiednik wzoru Szablon:LinkWzór w tym przypadku: Szablon:CentrujWzór A teraz sprawdźmy dla x=a, dla funkcji Szablon:LinkWzór, która w tym punkcie powinna przyjmować wartość zero, bo też mamy węzeł, zatem dostajemy definicję współrzędnej iksowej liczby falowej kSzablon:SupSzablon:Sub. Szablon:CentrujWzór Podobnie liczymy dla Szablon:Formuła. Współrzędna liczby falowej wzdłuż osi z jak przyjmować będziemy jest równa k. Zatem nasz wektor falowy fali płaskiej występujący w równaniu Szablon:LinkWzór jest wyrażony przez: Szablon:CentrujWzór Długość liczby falowej Szablon:Formuła zdefiniowanej w punkcie Szablon:LinkWzór jest zależna od liczby dyskretnych n i m, a także od wymiarów naszego falowodu a i b. Ponadto ona jest również zależna od współrzędnej zetowej fali elektromagnetycznej k w tym naszym falowodzie. Szablon:CentrujWzór Jej częstość kołowa, bo fala płaska porusza się z prędkością c jest wyrażona wzorem w zależności od długości liczby falowej napisanej w Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Wtedy w równaniu Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć parametr kSzablon:SupcSzablon:Sup, który ostatecznie przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór I jeśli dodatkowo oznaczymy w równaniu Szablon:LinkWzór wielkość ωSzablon:Sub, której definicja jest taka sama jak w punkcie Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymamy taki sam wzór na parametr k dla fali płaskiej jak w punkcie Szablon:LinkWzór dla fali prowadzonej. Kat między liczbą falową Szablon:Formuła a Szablon:Formuła jest wyrażony przez: Szablon:CentrujWzór Ponieważ fala płaska porusza się pod kątem w falowodzie z prędkością światła, zatem nasza prędkość wzdłuż falowodu vSzablon:Sub jest zależna od ω a także od częstotliwości kołowej obcięcia ωSzablon:Sub, zatem tą prędkość definiujemy: Szablon:CentrujWzór Co jest prędkością grupową fali prowadzonej Szablon:LinkWzór fali elektromagnetycznej w falowodzie . Prędkość fazowa jest równa prędkości czoła fali, a zatem: Szablon:CentrujWzór Te same wzory otrzymaliśmy rozważając fale prowadzone rozchodzące się w falowodzie, tak samo i zwykłe fale płaskie poruszające się po katem od osi falowodu polegające, że fale elektromagnetyczne odbijają się w sposób doskonały od przewodnika na powierzchni naszego falowodu, bo powierzchnia falowodu jest doskonałym przewodnikiem.

Rozchodzenie się fal prowadzonych w koncentrycznej linii transmisyjnej

W koncentryczna linia transmisyjna składa się z długiego prostego drutu, który ma promień "a", otoczonej powłoką walcowatą o promieniu "b".

W koncentrycznej linii transmisyjnej mogą rozchodzić się fale elektromagnetyczne, czyli dla których zachodzi ESzablon:Sub=0 i BSzablon:Sub=0, chociaż to nie jest falowód, bo we wnętrzu rury występuje długi prosty drut, i jest nadal spełnione twierdzenie, że w pustym falowodzie nie mogą rozchodzić się fale elektromagnetyczne.

Równanie fali w linii koncentrycznej jest takie same, tylko nie ma składowej zetowej pola elektrycznego i magnetycznego, zatem można przepisać równania falowe wynikające z praw elektrodynamiki Maxwella dla falowodów, z tym zaznaczeniem że nie ma fal podłużnych dla obu pól, po przepisaniu tych równań, otrzymujemy, że: Szablon:CentrujWzór

Widzimy, że pierwsze i czwarte oraz drugie i trzecie równanie są to równania ze sobą równoważne, pierwsze równanie przedstawia dywergencję amplitudy fali w linii koncentrycznej, a trzecie sanowi jakoby rotację wektora tej amplitudy. jeśli wektor amplitudy pola elektrycznego przedstawimy jako gradient pewnej wielkości skalarnej, to wtedy rotacja tego wektora jest automatycznie równa zero, to samo postępujemy z równaniem drugim i czwartym w układzie równań Szablon:LinkWzór.

Są to dokładnie prawa elektrostatyki i magnetostatyki dla dwóch wymiarów tylko z tym zaznaczeniem, że dla współrzędnych ich amplitud fali elektrycznej i magnetycznej. Dokładnie te równania można otrzymać dla nieskończonej linii naładowanej, w której płynie prąd. Które można zapisać w postaci całkowej znanych z elektrostatyki i magnetostatyki. Z równań dla elektrostatyki dla ich amplitud z jej całkowej postaci można otrzymać: Szablon:CentrujWzór Ponieważ nie ma współrzędnej zetowej dla tej fali, bo mamy w tym przypadku falę poprzeczną, czyli na pewno jest spełniony wzór Szablon:LinkWzór, zatem amplituda fali pola magnetycznego zapisujemy wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór

• Gdzie: Szablon:Formuła i Szablon:Formuła są to wersory układu biegunowego.

A zatem równania fali dla koncentrycznej linii transmisyjnej dla pola elektrycznego i magnetycznego są: Szablon:ElastycznyWiersz