Ogólna teoria względności/Statyczne rozwiązanie Schwarzschilda w kulistosymetrycznym polu grawitacyjnym

Tutaj będziemy się zajmować statystyczno-sferycznymi aspektami dla gwiazd. Właściwościami takich układów, że metryka ich nie zmienia się po zastąpieniu t przez -t, a reszta współrzędnych jest taka sama po przejściu z układu, tzn. K=(t,r,θ,φ) do KSzablon:Sup=(-t,r,θ,φ).

Metryka w statystycznych czasoprzestrzeniach sferycznie symetrycznych

Układem statycznym nazywamy układem, gdy po zamianie z t na -t, układ nie zmienia się, nazwijmy układem przed transformacją K(t,r,θ,φ), a układem po transformacji KSzablon:Sup(-t,r,θ,φ). Transformacja wiążąca układy od K do K' jest przedstawiona wzorem: Szablon:CentrujWzór

• gdzie qSzablon:Sub=(-t,r,φ,θ) jest to zestaw współrzędnych w nowym układzie współrzędnych
• qSzablon:Sub=(t,r,φ,θ) jest to zestaw współrzędnych w starym układzie współrzędnych.

Z własności układów K i KSzablon:Sup mamy: Szablon:ElastycznyWiersz

Następnym krokiem jest wyznaczenie elementów tensora metrycznego, wiedząc że po transformacji z K na KSzablon:Sup elementy tensora metrycznego nie zmieniają się i na podstawie powyższych elementów tensora (macierzy) transformacji ΛSzablon:SupSzablon:Sub, dostajemy transformacje na nasz rozważany tensor: Szablon:CentrujWzór Dochodzimy do wniosku, że nasza metryka dla naszego badanego układu i wedle obliczeń Szablon:LinkWzór metryka (kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego) przedstawia się według: Szablon:CentrujWzór Ale w powyższym wzorze wyrażenie stojące się przy kwadracie promienia nazwijmy jako kwadrat różniczki pewnej funkcji: Szablon:CentrujWzór

A zatem naszą metrykę Szablon:LinkWzór wedle przedstawienia kwadratu różniczki pewnej funkcji Szablon:LinkWzór i wiedząc jeszcze, że naszej metryce występują funkcje Φ(r) i Λ(r), które są zależne od promienia r, zatem ostateczna forma naszej metryki, która ma kształt metryki Schwarzschilda z niewyznaczonymi jeszcze z naszymi funkcjami: Szablon:CentrujWzór Naszym celem jest wyznaczenie funkcji Φ(r) i Λ(r) jako funkcje zależne tylko od promienia w układzie kulistym.

Macierz tensora metrycznego układu krzywoliniowego statyczno-sferycznej

Macierz prosta i odwrotna tensora metrycznego w metryce statyczno-symetrycznej gwiazdy przedstawia się: Szablon:ElastycznyWiersz Ogólnie elementy 0,1,2,3 będziemy oznaczać przez nazwy odpowiednich zmiennych układu sferycznego i czasu, tzn. przez t,r,θ,φ.

Odległość radialna, czas, zmierzona energia cząstki

Odległość radialną wedle Szablon:LinkWzór możemy policzyć z definicji interwału czasoprzestrzennego, gdzie za infinitezymalny czas i różniczek współrzędnych kątowych podstawiamy wartość zero, czyli Szablon:Formuła, dostając wzór na odległość radialną: Szablon:CentrujWzór

Upływ czasu własnego wedle wzoru Szablon:LinkWzór w polu grawitacyjnym wyraża się w zależności od czasu współrzędnościowego wzorem: Szablon:CentrujWzór Związek między czterowektorami pędu, a masą spoczynkową wyraża się wzorem Szablon:LinkWzór, a dla cząstki ogólnie masowej, a w szczególności dla fotonu, oznaczając że jego energia wedle szczególnej teorii względności jest równa E=pSzablon:Subc, a energia zaobserwowana w układzie lokalnie płaskim jest wyrażona: Szablon:CentrujWzór

• gdzie:Szablon:Formuła jest to kwadrat długości pędu cząstki według jej długości przestrzennej (nie czasowej dla odróżnienia).

Na podstawie definicji Szablon:LinkWzór i definicji całkowitej energii cząstki poprzez kowariantny pęd cząstki pomnożonej przez prędkość światła, która jest wielkością stałą ze względu, że elementy tensora metrycznego Szablon:LinkWzór nie zależą od czasu, a więc energia cząstki jest zachowana na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Bardzo daleko od źródła energia zaobserwowanego przez obserwatora jest napisana wedle wzoru Szablon:LinkWzór, tzn. gdy założymy, gdy Szablon:Formuła w układzie lokalnie inercjalnym zmierzymy energię: Szablon:Formuła, czyli energia zarejestrowana przez układ lokalnie płaski jest równa prawdziwej energii posiadanej przez ciało dla r bardzo dużego praktycznie niekończonego.

Gdy rozważać będziemy fotony, czyli posiadających masę spoczynkowej równą zero, to energia fotonów wyemitowanych w miejscu określonym promieniem r jest napisana: Szablon:Formuła, a jego energia określona w układzie lokalnie inercjalnym (układ lokalnie płaski) przedstawia się według wzoru Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Jeśli przedstawimy zamiast częstotliwości ν długość fali wedle wzoru Szablon:Formuła, wtedy zależność między długościami fali fotonów wyemitowanych a zarejestrowanych przedstawia się: Szablon:CentrujWzór

Przesunięcie ku czerwieni między promieniowaniem wyemitowanym przez gwiazdę, a zarejestrowanym przez obserwatora lub przez detektor wyraża się: Szablon:CentrujWzór

Elementy tensora Christoffela

Wyznaczmy wszystkie elementy tensora Christofela: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór

• gdzie powyżej znak prim('), oznacza pochodną po r.

Pozostałe tensory Christoffela są równe zero.

Elementy tensora krzywizny

Policzmy tylko potrzebne czterowskaźnikowe tensory krzywizny, przy czym elementy tensora krzywizny, które w sposób trywialny są równe zero pomijamy, bo są mało ciekawe, zatem: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór

Szablon:CentrujWzór Dalsze obliczenia tensorów krzywizny wynikającego z wcześniejszych obliczeń: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest policzenie tensorów Ricciego: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Następnie policzymy skalar Ricciego: Szablon:CentrujWzór

Elementy tensora Einsteina

Wyznaczmy tylko diagonalne elementy tensora Einsteina, ponieważ wszystkie pozadiagonalne jego elementy znikają, że względu na to, że elementy tensora Ricciego i elementy tensora metrycznego mają diagonalne wyrazy, tzn.: niediagonalne wyrazy znikają. Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór

Statyczne równanie Einsteina z płynem doskonałym

Wyznaczmy elementy czterowektorów prędkości dla statycznego sferycznego doskonałego płynu, przy czym pamiętając że elementy przestrzenne tego tensora są zawsze równe zero, a element czasowy jest natomiast różny od zera: Szablon:ElastycznyWiersz Wyznaczmy wszystkie diagonalne elementy tensora gęstości energii w płynie doskonałym wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Elementy niediagonalne podwójnie kowariantnego tensora gęstości energii jak można udowodnić są równe zero ze względu na to, że metryka posiada tylko diagonalne elementy tensora metrycznego i elementy czterowektora prędkości przestrzenne są zawsze równe zero.

Metryka na zewnątrz kulistej masy

Na zewnątrz kulistej masy mamy TSzablon:Sub=0, gęstość masy i ciśnienie w rozważanych punktach jest zaniedbywalnie małe, a zatem rozpatrzmy dwa równania wynikającego z równania tensorowego grawitacji Einsteina o dwóch takich samych wskaźnikach dolnych czasowych (tensor Einsteina jest zdefiniowany wedle Szablon:LinkWzór i radialnych (tensor Einsteina jest to wzór Szablon:LinkWzór), zatem nasze równania są w postaci: Szablon:CentrujWzór W powyższym równaniu, w którym występują funkcję zależne od r, czyli Λ(r) i Φ(r), która tam występują pochodne pierwszego rzędu i na podstawie tego suma tych funkcji jest wielkością stałą niezależną od jakikolwiek parametru, zatem zachodzi: Szablon:CentrujWzór Ponieważ rozpatrujemy początek układu współrzędnych w którym znajduje się nasza gwiazda, zatem ta nasza rozważana stała jest równa zero, zatem powinno mieć miejsce równość: Szablon:CentrujWzór Obierzmy nową funkcję zależną od zmiennej r i zapisanej za pomocą parametru Λ i która ta funkcja jest zapisana wedle wzoru poniżej, i która jest zależna od promienia r od środka rozważanej gwiazdy: Szablon:CentrujWzór Wyprowadźmy z równania Szablon:LinkWzór parametr Λ i wyznaczmy jego pochodną względem parametru współrzędnej radialnej r: Szablon:CentrujWzór Z obliczeń Szablon:LinkWzór otrzymujemy pochodną parametru Λ względem jej argumentu czyli promienia sferycznego r, tzn. ona jest zależna od funkcji γ(r) i pochodnej funkcji γ(r) względem zmiennej r, a te funkcje natomiast zależą od promienia radialnego r, zatem ta nasza pochodna funkcji Λ(r) jest zapisana: Szablon:CentrujWzór Rozpatrzmy równanie Einsteina Szablon:LinkWzór, w której parametr κ jest zdefiniowany wedle sposobu Szablon:LinkWzór, zatem równanie wspomniane w tym zdaniu jako pierwsze jest równaniem zapisywanej w postaci wzoru dla wskaźników dolnych czasowych naszego równania: Szablon:CentrujWzór Po podstawieniu za GSzablon:Sub wedle Szablon:LinkWzór i za TSzablon:Sub wedle Szablon:LinkWzór w równaniu grawitacyjnym Einsteina dla wskaźników dolnych czasowych do Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymujemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Ostatnie wyjściowe równanie pomnóżmy obustronnie przez wyrażenie rSzablon:Sup, wtedy dostajemy równość z którego wyznaczymy wyrażenie związane z różniczkę funkcji γ(r) w zależności od różniczki promienia sferycznego r i gęstości gwiazdy panujące w odległości od środka masy przy tym samym promieniu co wcześniej: Szablon:CentrujWzór Przecałkujmy obie strony ostatniego równania wynikowego względem promienia sferycznego r dla r>R i wiedząc, że zachodzi dla tego r (poza gwiazdą), tzn. ρ=0, zatem powinno dla jego całki zachodzić: Szablon:Formuła, zatem funkcja γ(r), dla naszego rozważanego r>R jest funkcją stałą. Szablon:CentrujWzór Korzystając z wyrażenia Szablon:LinkWzór, wtedy do wyrażenia na Λ podstawiamy za funkcję γ(r), który jest wyrażeniem Szablon:LinkWzór, wtedy funkcję eSzablon:Sup na podstawie już obliczonego wyrażenia na Λ przyjmuje bardzo prostą postać: Szablon:CentrujWzór Wiedząc że zachodzi Szablon:LinkWzór (zależność na parametr Φ(r) w zależności od Λ(r)), a także ze wzoru na eksponens Szablon:LinkWzór, którego wykładnikiem jest funkcja Λ(r), zatem w takim przypadku nasza metryka Schwarzschilda Szablon:LinkWzór przyjmuje bardzo prostą postać: Szablon:CentrujWzór

• gdzie:Szablon:Formuła i jest to promień Schwarzschilda, przy której prawa ogólnej teorii względności załamują się i taki obiekt staje się czarną dziurą, którego fotony lecące się z prędkością c, nie mogą pokonać grawitacji takiego obiektu, zatem nasza metryka Schwarzschilda jest zapisana:

Szablon:CentrujWzór Dla bardzo dużych odległości, tzn. r>>R, metryka powyższa przechodzi w coś podobnego do metryki słabego pola grawitacyjnego, wiedząc że: Szablon:Formuła oraz z podstaw o teorii grawitacji Newtona, wiemy że Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór co jest bardzo podobne do metryki słabego pola grawitacyjnego dla teorii grawitacji dla dużych odległości od źródła pola grawitacyjnego. Tylko jest mała różnica w trzecim składniku sumy w metryce Szablon:LinkWzór. A wiec metryka Schwarzschilda dla dużych odległości od źródła pola grawitacyjnego zachowuje się prawie (z drobną różnicą powiedzianą wcześniej) jak metryka słabego pola grawitacyjnego pola Newtonowskiego.

Odległość radialna i czas własny w metryce Schwarzschilda

Czas własny w polu grawitacyjnym wedle wzoru Szablon:LinkWzór na podstawie już obliczonych tensorów metrycznych, którego parametry gSzablon:Sub=-eSzablon:Sup i gSzablon:Sub=eSzablon:Sup zawarte w macierzy tensora metrycznego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Z powyższego rozważania, gdy rSzablon:Sub=r wynika, że czas w polu grawitacyjnym w horyzoncie zdarzeń płynie nieskończenie powoli dla Δt skończonego. Odległość radialna w polu grawitacyjnym wedle wzoru Szablon:LinkWzór wedle już obliczonego parametru Szablon:LinkWzór wyraża się: Szablon:CentrujWzór Z powyższego wzoru wynika, że dla r→ rSzablon:Sub, ale r>rSzablon:Sub, odległość radialna w polu grawitacyjnym jest nieskończenie duża względem układu lokalnie inercjalnego, którego odległość radialna współrzędnościowo jest skończona i wynosi Δ r. Widzimy, że czas Szablon:LinkWzór i odległość radialna Szablon:LinkWzór, która jest mierzona przez obserwatora są równe czasowi i odległości współrzędnościowej dla bardzo dużego promienia współrzędnościowego.

Równania ruchu z płynem doskonałym

Zachowawczość tensora gęstości energii jest spełniona, gdy Szablon:LinkWzór rozpiszemy go z definicji pochodnej kowariantnej tensora energii-napięć: Szablon:CentrujWzór Z diagonalizacji tensora gęstości energii, a także dla α≠ r, wynika, że powyższe prawo jest spełnione tożsamościowo, bo dla tych przypadków elementy tensora, który opisuje prawą stronę równania tensorowego Szablon:LinkWzór tożsamościowo są równe zero, ale dla przypadku α=r już tak nie jest, zatem zachodzi na podstawie takiego samego wspomnianego równania dla tego α: Szablon:CentrujWzór Po przekształceniach równości Szablon:LinkWzór, wtedy dochodzimy do wniosku, że funkcja w nawiasie we wspomnianej równości jest zawsze równa zero, zatem w tak otrzymanym wyrażeniu przenosimy w nim składniki w tym równaniu na przeciwne strony: Szablon:CentrujWzór Powyższe równanie opisuje, że jeśli mamy zmianę ciśnienia w zależności od promienia r, to możemy obliczyć funkcję Φ, zakładając jej ciągłość dla granicy r=R, bo rozwiązanie dla r>R dla funkcji Φ jest już znane.

Wnioski wynikające z równania Einsteina

Z równań tensorowych grawitacji Einsteina możemy napisać tylko dla wskaźników dolnych erowych i otrzymać następne inne równanie różniczkowe niż Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Podstawiamy za GSzablon:Sub Szablon:LinkWzór i za TSzablon:Sub Szablon:LinkWzór do naszego równania grawitacji Szablon:LinkWzór dla obu wskaźników radialnych dolnych, które po tej operacji otrzymujemy tożsamość zapisaną: Szablon:CentrujWzór Wedle końcowego równania Szablon:LinkWzór możemy przestawić funkcję γ(r), którego jest zależna od promienia gwiazdy R, którą to funkcję γ(r) przestawimy w zależności od masy gwiazdy zawarta w promieniu mniejszym niż r: Szablon:CentrujWzór Mając równanie Szablon:LinkWzór na funkcja eksponesu funkcji Λ i podstawiając do niego wzór Szablon:LinkWzór, wtedy nas wspomniany eksponens funkcji Λ(r) wygląda wedle: Szablon:CentrujWzór Przekształcamy nasze równanie Einsteina Szablon:LinkWzór, tak by mieć w jednym miejscu funkcję Λ, by potem łatwo można by było podstawić eksponens funkcji Λ: Szablon:CentrujWzór Podstawmy do równania Szablon:LinkWzór wyrażenie na eSzablon:Sup napisane w punkcie Szablon:LinkWzór, którą jest funkcją tylko promienia od środka gwiazdy, które pod to podstawienie przygotowaliśmy nasze wspomniane równanie: Szablon:CentrujWzór Z końcowych równanań Szablon:LinkWzór i z Szablon:LinkWzór i mając jakieś prawa równowagi danej gwiazdy statycznej możemy wyznaczyć Φ(r), p(r) i m(r), a na samym koniec obliczyć gęstość gwiazdy w zależności od jej promienia.