Ogólna teoria względności/Fizyka w słabozakrzywionych czasoprzestrzeniach

Tutaj będziemy rozpatrywać czy równania grawitacji Einsteina (Ogólnej teorii względności) przechodzą w równania Newtona. Jaki jest warunek zachowawczy dla pól grawitacyjnych, oraz czy wzór na energię całkowitą w przybliżeniu małych pól i małych pędów, czy przechodzi na energię cząstki w polu grawitacyjnym znanego z mechaniki klasycznej.

Fizyka w słabych stacjonarnych polach grawitacyjnych

Teraz będziemy rozpatrywać metrykę w słabo zakrzywionych czasoprzestrzeniach, które wcześniej wyznaczyliśmy dla słabych pól grawitacyjnych Newtonowskich, którego interwał czasoprzestrzenny dla słabego pola grawitacyjnego jest już wyznaczony i jest w postaci Szablon:LinkWzór, nasz rozważany interwał jest zależny o potencjału skalarnego pola Newtowskiego. Stosując definicję czterowektora prędkości, którą w ogólnej teorii względności tak samo zapisujemy jak szczególnej teorii względności, tylko że w tym pierwszym przypadku interwał czasoprzestrzenny jest ściśle określany, i zapisujemy go wedle sposobu Szablon:LinkWzór. Różniczka interwału czasoprzestrzennego występującego w pochodnej przy definicji czterowektora prędkości jest zdefiniowany tak by kwadrat był zdefiniowany wedle sposobu Szablon:LinkWzór, wtedy możemy napisać część przestrzenna czteroprędkości przy pomocy pochodnej względem czasu: Szablon:CentrujWzór Naszą metrykę Szablon:LinkWzór przedstawiamy wyłączając przed pierwiastek wyrażenie cdt w naszej różniczce interwału czasoprzestrzennego, którego czas t jest liczony w sekundach: Szablon:CentrujWzór Pochodna czterowektora położenia dla współrzędnych przestrzennych w naszej rozważanej metryce jest: Szablon:CentrujWzór

Części przestrzenna czterowektora prędkości są równa zero, bo zachodzi v<<c dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła, wtedy wyrażenie w nawiasie w Szablon:LinkWzór dla słabych pól grawitacyjnych jest równe zero. Cześć czasowa czterowektora prędkości przybliżeniu jest równa jeden: Szablon:CentrujWzór co to wynika z wyrażenia na uSzablon:Sup opisanej powyżej dla słabych pól grawitacyjnych, ale też musi być spełnione: Szablon:Formuła, aby prędkość zerowa czerowektora prędkości była równa w przybliżeniu jeden. Z własności prędkości w czterowektorze, można udowodnić, że można pominąć prędkości dla μ≠ 0, rozważyć tylko będziemy przypadek μ=0, dla którego uSzablon:Sup≈1, stąd drugi wyraz w równaniu na linie geodezyjne na ruch po stycznej można przedstawić: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór równanie ruchu cząstki po stycznej wedle równania na linie geodezyjne Szablon:LinkWzór jest wyrażone: Szablon:CentrujWzór To co nam pozostało do policzenia w równaniu Szablon:LinkWzór jest policzenie elementów tensora Christoffela, tzn. elementów ΓSzablon:SupSzablon:Sub. Tutaj policzymy najpierw ΓSzablon:SupSzablon:Sub, i dalej elementy tensora ΓSzablon:SupSzablon:Sub. Policzmy tensor Christoffela dla μ=0, a więc: Szablon:CentrujWzór Według naszej metryki Szablon:LinkWzór, mamy składowe tylko diagonalne tensora metrycznego dla omawianego słabego pola grawitacyjnego Newtonowskiego, dzięki którego elementy tensora metrycznego tworzą interwał czasoprzestrzenny opisującego słabe pole Newtonowskie Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Ogólnie mówiąc pochodna tensora metrycznego względem xSzablon:Sup dla metryki newtonowskiej obowiązującego w ogólnej teorii względności dla słabych pól grawitacyjnych, dla wszystkich jego składowych, piszemy: Szablon:CentrujWzór

Elementy odwrotne tensora metrycznego liczymy podobnie jak w punkcie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, które potrzebne będą nam do policzenia elementów tensora Christoffela wraz z elementami tensora prostego metrycznego: Szablon:ElastycznyWiersz Tensor Christoffela dla wszystkich wskaźników zerowych w tym tensorze Szablon:LinkWzór po wykorzystaniu policzonego elementu tensora metrycznego odwrotnego też o zerowych wskaźnikach Szablon:LinkWzór, a także na podstawie policzonego elementu tensora prostego metrycznego zapisane w punkcie Szablon:LinkWzór, możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Dla małych prędkości względem prędkości światła, wykorzystując wzór Szablon:LinkWzór w czasoprzestrzeni prawie płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego dla wskaźnika μ zerowego, można napisać tożsamość na linie geodezyjne: Szablon:CentrujWzór Mnożymy równanie Szablon:LinkWzór obustronnie przez mSzablon:Subc i wykorzystując definicję czterowektora pędu Szablon:LinkWzór poprzez czterowektor prędkości, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Następnie wyrażamy czteropęd cząstki, o zerowej współrzędnej kontrawariantnej względem jej energii, i korzystając że tensor kowariantny jest równy tensorowi kontrwariantnemu, bo zachodzi dla słabych pól grawitacyjnych (pól Newtonowskich): Szablon:CentrujWzór Mając definicję tensora pędu o zerowej współrzędnej kontrawariantnej czterowektora pędu poprzez energii cząstki Szablon:LinkWzór, która ta tożsamość zachodzi w przybliżeniu, podstawiamy go do równania Szablon:LinkWzór i mnożąc jednocześnie go przez prędkość światła "c", otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Dla płaskiej przestrzeni dla prędkości nierelatywistycznych, zachodzi ds=cdt w przybliżeniu na podstawie definicji różniczki interwału czasoprzestrzennego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Podstawiając w równaniu Szablon:LinkWzór za element tensora Christoffela Szablon:LinkWzór i w rezultacie otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Dokonując pewnych przekształceń w równaniu Szablon:LinkWzór uniezależniamy się od prędkości światła w prawej stronie wspomnianego wcześniej równania, czyli po pewnych skróceniach dostajemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Powyższe równanie mówi, o ile pole grawitacyjne (wielkość skalarnego potencjału słabego pola grawitacyjnego) nie zależy od czasu, to energia całkowita (mechaniczna) cząstki jest zachowana.

Następnym naszym krokiem jest policzenie następnych elementów o wskaźniku dolnych niezerowych, która jest jednym ze składowych tensora Chrostoffela, tzn. dla 0≠μ=i, przy czym należy pamiętać, że metryka dla słabego pola grawitacyjnego jest taka, w której występują tylko diagonalne elementy tensora metrycznego, a więc: Szablon:CentrujWzór Poniżej mamy równanie na linie geodezyjne po którym poruszało się ciało, czyli korzystając z równania tensorowego Szablon:LinkWzór dla wskaźników dolnych przestrzennych tensora Christoffela: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór, z definicji czterowektora pędu dla współrzędnych przestrzennych Szablon:LinkWzór zdefiniowanych poprzez czterowektor prędkości, zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Dla prędkości nierelatywistycznych oczywiste jest, że w przybliżeniu mamy dla słabego pola grawitacyjnego, że ds≈c dt, jednocześnie możemy pomnożyć obustronnie równanie Szablon:LinkWzór przez prędkość światła w próżni "c": Szablon:CentrujWzór Podstawiając do Szablon:LinkWzór policzony tensor ΓSzablon:SupSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymujemy równanie ruchu w zależne od rozkładu potencjału skalarnego pola grawitacyjnego w przestrzeni. Szablon:CentrujWzór Po pewnych skróceniach w równaniu Szablon:LinkWzór likwiduje się zależność od prędkości światła z prawej stronie wspomnianego równanie, wtedy to nasze równanie ruchu cząstki przyjmuje kształt: Szablon:CentrujWzór Jeśli oznaczymy jako energię potencjalną cząstki przez oznaczenie zależne od jej potencjału grawitacyjnego i jej masy spoczynkowej, czyli od energii potencjalnej ciała o masie mSzablon:Sub, czyli: ESzablon:Sub=φ mSzablon:Sub, to z własności pochodnej cząstkowej, można zapisać prawą stronę Szablon:LinkWzór bez minusa: Szablon:CentrujWzór To mamy równanie ruchu, które jest zależne od gradientu energii potencjalnej, które opisuje ruch naszego ciała w potencjalnym skalarnym polu grawitacyjnym, wtedy równanie Szablon:LinkWzór przy zachodzącej tożsamości Szablon:LinkWzór zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że jest to pewna forma równania ruchu cząstki w zależności współrzędnej pędu i rozkładu pola grawitacyjnego. Lewa strona jest równaniem Newtona, a prawa jest siłą pola grawitacyjnego w danym punkcie przestrzeni trójwymiarowej. Przy czym należy pamiętać że składowe kowariantne i kontrkowariantne w metryce euklidesowej są nierozróżnialne, bo gSzablon:Sub≈ 1δSzablon:Sub, dla słabych pól grawitacyjnych. Wstawiając za definicja gradientu, to powyższe równanie ruchu można przedstawić w postaci: Szablon:CentrujWzór Dla naszych rozważanych prędkości, pęd cząstki można opisać wzorem dla przypadku nierelatywistycznego pSzablon:Sup=mSzablon:Sub vSzablon:Sup, a także jego przyspieszenie Szablon:Formuła, ostatecznie otrzymujemy najprostszą postać równania ruchu cząstki w polu potencjalnym sił grawitacyjnych. Szablon:CentrujWzór Powyższe równanie można przedstawić jako dwa równania, pierwsze jako druga zasada dynamiki Newtona, a drugie opisujące siły grawitacyjne w polu skalarnym sił grawitacyjnych poprzez potencjał grawitacyjny φ: Szablon:ElastycznyWiersz Udowodniliśmy, że dla ogólnej teorii względności dla słabych pól grawitacyjnych, dla prędkości nierelatywistycznych ogólna teoria względności sprowadza się do drugiego prawa Newtona i teorii grawitacji Newtona.

Zachowawczy charakter wielkości fizycznych

Skorzystajmy z równania na linie geodezyjne w pewnej czasoprzestrzeni i równocześnie na równanie ruchu cząstki masowej Szablon:LinkWzór mnożąc to równanie przez wyrażenie (mSzablon:Subc)Szablon:Sup i po z korzystaniu z definicji czterowektora pędu Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy równość tensorową: Szablon:CentrujWzór Zajmijmy się odjemnikiem występującej w równaniu na linię geodezyjne zapisanej za pomocą czterowektora pędu w powstałym równaniu Szablon:LinkWzór przekształcając ten wyraz: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór dla drugiego wyrazu występującego w równaniu tensorowym Szablon:LinkWzór, wtedy równanie na linie geodezyjne zapisujemy przy pomocy czteropędu i pewnej pochodnej cząstkowej elementu tensora metrycznego: Szablon:CentrujWzór Stąd równanie Szablon:LinkWzór można zapisać w innej równoważnej postaci przenosząc drugi wyraz w rozważanym równaniu na jego prawą stronę: Szablon:CentrujWzór Można stąd wywnioskować wedle równania Szablon:LinkWzór, że jeśli jakieś elementy tensora metrycznego dla ciała poruszającego się wzdłuż jakieś ściśle określonej trajektorii nie zależą od jakieś współrzędnej xSzablon:Sup, wtedy wielkość pSzablon:Sub=mSzablon:SubcuSzablon:Sub pozostaje stały wzdłuż tej trajektorii cząstki dla współrzędnej α.

Całkowita energia cząstki w polu grawitacyjnym

Z wykładu ogólnej teorii względności, w której występuje wzór Szablon:LinkWzór z definicji metryki dla słabego pola grawitacyjnego Szablon:LinkWzór wiedząc, że elementy tego tensora nie zależą od czasu, bo mamy doczynienia z polem stacjonarnym. Wedle równania Szablon:LinkWzór kowariantny pęd o współczynniku zerowym dla masowej cząstki jest stały względem zmiany interwału czasoprzestrzennego, a dla słabych pól grawitacyjnych jest stały względem czasu, co możemy napisać tą równość sposobem: Szablon:CentrujWzór Jeśli oznaczymy że kwadrat całkowitego pęd cząstki jest równy sumie kwadratów pędu cząstki jej współrzędnych przestrzennych: Szablon:CentrujWzór wtedy równanie Szablon:LinkWzór na podstawie zachodzącej tożsamości Szablon:LinkWzór wyznaczając stąd wyraz z kwadratem współrzędnej zerowej czterowektora pędu, wtedy to nasze wspomniane wcześniej równanie przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Dzielimy obie strony równości Szablon:LinkWzór przez zawsze niezerowe wyrażenie Szablon:Formuła, wtedy otrzymujemy równość, z którego możemy wyznaczyć kwadrat zerowej współrzędnej czterowektora pędu: Szablon:CentrujWzór Ponieważ mamy doczynienia z słabym polem grawitacyjnym, to powinno wtedy zachodzić Szablon:Formuła, to przyjmując na podstawie ostatniego przybliżenia równość Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Możemy dokonać odpowiednich wymnożeń w równaniu Szablon:LinkWzór po jego prawej stronie przy opuszczaniu nawiasu i biorąc w końcu wyrażenie mSzablon:SubSzablon:SupcSzablon:Sup przed nawias, wtedy dostajemy równość na kwadrat czasowego elementu czterowektora pędu: Szablon:CentrujWzór Dokonując przybliżeń w powyższym równaniu, czyli wybierając wyrazy rzędu cSzablon:Sup oraz rzędu cSzablon:Sup, a wyrazy o większym rzędzie pomijamy w prawej stronie równości Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór Policzmy samo Szablon:Formuła względem równości Szablon:LinkWzór zakładając, że pSzablon:Sub≥0, czyli przyjmuje on wartość nieujemną, który jest element zerowym czterowektora pędu, a więc do dzieła: Szablon:CentrujWzór Biorąc przybliżenie Szablon:Formuła w równaniu Szablon:LinkWzór, wtedy po rozpisaniu pierwiastka w równaniu Szablon:LinkWzór, wtedy ta nasza tożsamość przyjmuje wygląd: Szablon:CentrujWzór Po zastosowaniu twierdzenia rozdzielności mnożenia względem dodawania Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Obniżmy wskaźnik przy pSzablon:Sup w równaniu Szablon:LinkWzór, czyli będziemy mówić o kontrawariantności zerowej współrzędnej, przy której przejdźmy do kowariantności zerowej współrzędnej czterowektora pędu, oraz korzystając z tego, że macierz tensora metrycznego dla słabych pól grawitacyjnych jest diagonalna, a więc to przejście można dokonać w sposób bardzo łatwy, tzn. tylko wymnażając pSzablon:Sup przez element tensora metrycznego prostego gSzablon:Sub w metryce słabego pola grawitacyjnego. Szablon:CentrujWzór Dokonując odpowiednich przybliżeń, czyli wybierając wyrazy nie wyższe niż rzędu cSzablon:Sup w ostatnim równaniu wynikowym Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór wymnażamy przez prędkość światła c i zastosowaniu definicji energii cząstki poprzez iloczyn pęd kowariantnego wymnożonej przez prędkość światła Szablon:Formuła. Szablon:CentrujWzór

Widzimy, że wielkość podana z prawej strony składa się z energii spoczynkowej, energii potencjalnej w polu grawitacyjnym oraz energii kinetycznej znanej z mechaniki klasycznej.

Elementy czterowektora pędu w układach kulistym i walcowym układu współrzędnych

Zapoznamy się tutaj ze współrzędnymi kulistymi i walcowymi, w których napiszemy z definicji pędu kontrawariantnego Szablon:LinkWzór jako funkcję ich mas relatywistycznych i odpowiednich pochodnych czasowych.

Współrzędne kuliste

Możemy wykorzystać definicję momentów pędu Szablon:LinkWzór, ale weźmy go dla współrzędnych kontrawariantnych, dla współrzędnych kowariantnych pędu można je otrzymać ze współrzędnych kontrawariantnych przez proste własności tensora metrycznego przyjmując, że różniczka interwału czasoprzestrzennego wynikającego z metryki Minkowskiego Szablon:LinkWzór jest: Szablon:CentrujWzór Wtedy pęd kontrawariantny radialny możemy przedstawić poprzez pochodną radialną względem czasu i też jest zależna od masy relatywistycznej, co można udowodnić z definicji czterowektora pędu: Szablon:CentrujWzór Pęd kontrawariantny θ-owy jest równy funkcji zależnej od masy relatywistycznej i pochodnej zupełnej kąta θ-owego względem czasu, co można udowodnić z definicji czterowektora pędu: Szablon:CentrujWzór Pęd kontrkowariantny ψ-owy jest równy funkcji zależnej od masy relatywistycznej i pochodnej kąta φ-owego względem czasu, co można udowodnić z definicji czterowektora pędu: Szablon:CentrujWzór Końcowe wzory dla poszczególnych pędów kontrawariantnych Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są słuszne tylko dla szczególnej teorii względności, ale te końcowe wzory możemy uogólnić na przypadek innej dowolnej metryki i dla fotonów (cząstek o zerowej masie spoczynkowej), którą wyliczymy z ogólnej teorii względności.

Współrzędne walcowe i radialne

Podobnie jak poprzednio definicję kontrawariantnego pędu, ale tym razem dla współrzędnych walcowych, podobnie przyjmujemy: Szablon:ElastycznyWiersz Oczywiste jest ze wzory Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy uogólnić na przypadek dowolnej metryki wyliczonej z równania grawitacji Einsteina Szablon:LinkWzór lub Szablon:LinkWzór, a także dla fotonów, czyli cząstek o zerowej masie spoczynkowej. Wzory dla współrzędnych radialnych wyglądają tak samo jak dla współrzędnych walcowych, tylko nie ma tutaj współrzędnej zetowej kontrawariantnego czteropędu, bo ten układ współrzędnych jest przedstawieniem położeń za pomocą współrzędnych (r,θ) na płaszczyźnie.

Kowariantny pęd θ-owy i φ-owy a współrzędne klasycznego momentu pędu

Rozpatrzmy słabe pole grawitacyjne według metryki Newtona Szablon:LinkWzór, widzimy, że na podstawie definicji potencjału grawitacyjnego Szablon:LinkWzór znanego z teorii grawitacji Newtona, że jeśli tensory metryczne nie zależą od zmiennych kątowych, to pędy kowariantne względem tychże wielkości kątowych są wielkościami niezależnymi od kątów w metryce słabego pola grawitacyjnego, metrykę Szablon:LinkWzór w zmiennych kulistych możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Co po odpowiednich wymnożeniach w Szablon:LinkWzór, wydzielając odpowiednie elementy diagonalne tensora metrycznego, mamy: Szablon:CentrujWzór Pędy kowariantne wedle metryki słabego pola grawitacyjnego we współrzędnych kulistych Szablon:LinkWzór są zdefiniowane jako wielkości stałe, o ile tensor metryczny nie zależy od zmiennej xSzablon:Sup, wtedy ta wielkość bardzo przypomina θ-owy moment pędu znanej z mechaniki klasycznej Newtona: Szablon:CentrujWzór Kowariantny pęd jak udowodnimy jest wielkością stałą względem zmiennej o wskaźniku dolnym φ, bo tensor metryczny prosty nie zależy od zmiennej położeniu o tym wskaźniku, wtedy ta wielkość bardzo przypomina φ-owy moment pędu znanej z mechaniki klasycznej Newtona: Szablon:CentrujWzór Widzimy na podstawie Szablon:LinkWzór (pęd kowariantny θ-owy) i Szablon:LinkWzór (pęd kowariantny ψ-owy) są w przybliżeniu równe współrzędnym odpowiednio momentowi pędu θ-owego lub φ-owego dla metryki słabego pola grawitacyjnego, ale także również dla innych metryk, które w granicy słabego pola grawitacyjnego przechodzą w metrykę Minkowskiego.