Ogólna teoria względności/Słabe pola grawitacyjne

Słabe pole grawitacyjne jest opisane przez teorię grawitacji Newtona. Metryka w słabych polach grawitacyjnych jest opisywana prawie przez metrykę Minkowskiego z małą poprawką.

Tensor metryczny w ogólnej teorii względności dla słabych pól grawitacyjnych zapisujemy w postaci: Szablon:CentrujWzór

• gdzie ηSzablon:Sub jest to tensor metryczny w przestrzeni Minkowskiego, która określa metrykę o formie kwadratowej, która jest nieujemna.

A także zachodzi dla słabego pola grawitacyjnego, której moduł poprawki do tensora metrycznego Minkowskiego jest o wiele mniejsza niż jeden, co zapisujemy: Szablon:CentrujWzór

Lorentzowskie przekształcenia tła

Mamy sobie szczególną teorię względności, w którym jest napisany pewny tensor przekształcenia Szablon:Formuła przechodząc ze starego do nowego układu współrzędnych, to pisząc pewny tensor metryczny obowiązującego w nowym układzie współrzędnym względem tensora metrycznego obowiązującego w starym układzie współrzędnym, dochodzimy do wniosku korzystając przy tym z Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Ponieważ również zachodzi dla tensora gSzablon:SupSzablon:Sub przybliżenie Szablon:LinkWzór przy warunku Szablon:LinkWzór, zatem możemy powiedzieć na podstawie Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Napiszmy sobie przekształcenie Lorentza: Szablon:Formuła, który w szczególnej teorii względności jest: Szablon:CentrujWzór Wtedy na podstawie tensora przekształcenia Szablon:LinkWzór napiszmy, czy wedle Szablon:LinkWzór tensor Minkowskiego przechodzi sam w siebie: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór przekształcenie Szablon:LinkWzór przekształca tensor metryczny Minkowskiego w sam siebie, a poprawka do tensora metrycznego, która występuje w punkcie Szablon:LinkWzór przekształca się z jednego układu współrzędnej do drugiego wedle transformacji Szablon:LinkWzór. Ta właściwość tensora metrycznego przy tensorze przekształcenia pozwala mówić o wygodnej fikcji, możemy mówić o słabo zakrzywionych czasoprzestrzeniach jako czasoprzestrzeni płaskiej ze zdefiniowanej nad nim tensorem Szablon:Formuła, co pozwala policzyć czterowskaźnikowy tensor krzywizny znając tylko poprawki do tensorów metrycznych Szablon:LinkWzór spełniających warunek słabo zakrzywionej czasoprzestrzeni wedle Szablon:LinkWzór. Należy pamiętać, że mimo przekształcenia Szablon:LinkWzór przy tensorze przekształcenia Szablon:LinkWzór przestrzeń jest w istocie słabo zakrzywiona.

Przekształcenia cechowania

Obierzmy sobie przekształcenie wiążące pierwszy układ współrzędnych, które jest rozwiązaniem równań grawitacji ogólnej teorii względności, z innym układem współrzędnych, która jest zapisana w postaci równania: Szablon:CentrujWzór Dowolność współrzędnych równania Einsteina pozwala obrać możliwie mały wektor Szablon:Formuła, by przejść do innego układu współrzędnych, którego oba współrzędne, tzn. Szablon:Formuła i Szablon:Formuła są rozwiązaniami równań Einsteina. Możemy napisać sobie przekształcenie wiążące nowy tensor metryczny z jego starym odpowiednikiem: Szablon:CentrujWzór Wypiszmy teraz przekształcenia Szablon:Formuła, że: Szablon:CentrujWzór Podstawmy elementy tensora transformacji ΛSzablon:SupSzablon:Sub jako tensora kowariantnego względem jego jakiegoś wskaźnika kowariantnego, zatem wtedy mając wzór Szablon:LinkWzór przy przekształceniach tensorów metrycznych ze starego układu współrzędnych do nowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Weźmy sobie takie przekształcenie ze starego układu współrzędnych do nowego Szablon:LinkWzór, by zachodziło Szablon:Formuła oraz Szablon:LinkWzór przy warunku Szablon:LinkWzór, czyli warunku słabego pola grawitacyjnego, zatem przekształcenia tensora metrycznego ze starego układu współrzędnych do nowego względem przekształcenia opisywanych względem współrzędnych Szablon:LinkWzór, wyrażenie Szablon:LinkWzór możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Zatem poprawka do tensora metrycznego Minkowskiego wedle równania Szablon:LinkWzór transformuje się wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Przekształcenie tensorów metrycznych lub jego poprawki, czyli tensora metrycznego Minkowskiego z układu o współrzędnych kontrawariantnej bezpromowania do układu ze współrzędnymi primowanymi tego samego typu tensora, jest napisane wedle równania Szablon:LinkWzór lub Szablon:LinkWzór dla metryki prawie płaskiej.

Tensor krzywizny dla słabego pola grawitacyjnego

Aby mieć pełny tensor Einsteina, trzeba znać tensor krzywizny dwuwskaźnikowy, i skalar krzywizny Ricciego, które można wyznaczyć z czterowskaźnikowego tensora krzywizny.

Należy zauważyć, że tutaj w wykładzie pochodna zachowuje się jak tensor, bo ηSzablon:Sub jest stałą macierzą, i tylko z tego względu, bo w ogólności nie jest spełnione dla dowolnych tensorów metrycznych, tzn. czy pochodna cząstkowa jest tensorem. Tensor krzywizny w czterowymiarowej czasoprzestrzeni jest opisany wzorem w zależności od tensorów metrycznych obowiązującej w naszej czasoprzestrzeni (czterowymiarowej przestrzeni absolutnej): Szablon:CentrujWzór Można Szablon:Formuła zastąpić przez Szablon:Formuła w tensorze Einsteina, ponieważ poprawka do tensora metrycznego jest taka, że Szablon:Formuła, czyli praktycznie tensor absolutnej przestrzeni czterowymiarowej jest to samo zdefiniowany w przybliżeniu co tensor przestrzeni Minkowskiego. Ale za to w tensorze krzywizny należy zastąpić Szablon:Formuła tensorem Szablon:Formuła przy pochodnych, ponieważ dowolna pochodna tensora Minkowskiego jest równa zero, zatem tutaj odgrywa dużą rolę pochodna poprawki do tensora krzywizny, to tensor krzywizny jest: Szablon:CentrujWzór Ponieważ jak powiedzieliśmy wcześniej tensor przestrzeni absolutnej jest równy tensorowi przestrzeni Minkowskiego, zatem powinno zachodzić po takim zastąpieniu: Szablon:CentrujWzór Biorąc te same uwagi, co do tensora dwuwskaźnikowego tensora krzywizny Szablon:LinkWzór, skalar Ricciego zapisujemy wedle: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz tensor krzywizny Ricciego mając już napisany czterowskaźnikowy tensor krzywizny Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór A przybliżony skalar Ricciego liczymy według Szablon:LinkWzór, tutaj korzystamy z definicji tensora Ricciego zdefiniowanego w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Mając już wszystkie policzone tensory krzywizny (czterowskaźnikowy i dwuwskaźnikowy skalar krzywizny), a także skalar Ricciego, to możemy przejść do dalszych etapów liczenia innych tensorów występujących w ogólnej teorii Einsteina.

Równania Einsteina dla słabego pola grawitacyjnego

Mamy już wyznaczony tensor krzywizny oraz skalar krzywizny Ricciego, to policzmy teraz tensor Einsteina zdefiniowanej w module Szablon:LinkWzór, zastępując w tym tensorze ogólny tensor metryczny tensorem metrycznym przestrzeni Minkowskiego, bo tutaj zachodzi warunek Szablon:LinkWzór, a ponadto mając warunek na przybliżenie dla poprawki tensora metrycznego dla przestrzeni, w której obowiązuje słabe pola grawitacyjne: Szablon:CentrujWzór Zdefiniujmy inny nowy tensor w oparciu o poprawkę do tensora metrycznego Minkowskiego hSzablon:Sub, który jest częścią ogólnego tensora metrycznego obowiązującej w przestrzeni w ogólnej teorii względności, ale dla słabego pola grawitacyjnego: Szablon:CentrujWzór Końcowe obliczenia dla tensora Einsteina w słabym polu grawitacyjnym Szablon:LinkWzór, korzystając z zależności tensora poprawki do tensora Minkowskiego poprzez nowe tensory, zatem korzystając z Szablon:LinkWzór, wtedy nasz tensor Einsteina można zapisać w takim razie w postaci: Szablon:CentrujWzór Wzór na tensor metryczny Einsteina Szablon:LinkWzór dla słabego pola grawitacyjnego jest tensorem bardzo skomplikowanym, więc wprowadźmy pewne cechowanie, które wprowadzimy później w tym module.

Klasa funkcji cechowań Lorentza dla słabego pola grawitacyjnego

Wzór na tensor Einsteina jest wzorem bardzo skomplikowanym, więc przydało by się go uprościć do najprostszej postaci, w tym celu wprowadzimy pewną klasę cechowań, w którym ten tensor spełnia owe warunki i udowodnimy, że jeśli takie cechowanie istnieje to istnieje układ współrzędnych spełniających to cechowanie.

Weźmy sobie równanie Szablon:LinkWzór i podstawmy do niego tożsamość Szablon:LinkWzór, ale najpierw przekształcając go do postaci podwójnie kowariantnej: Szablon:CentrujWzór Z własności Szablon:LinkWzór wyznaczmy ślad poprawki hSzablon:Sub do tensora metrycznego Minkowskiego. Zatem na podstawie poniższych obliczeń jest on równy skalarowi Szablon:Formuła z minusem. Szablon:CentrujWzór Wtedy równość Szablon:LinkWzór (ostatni wyraz), na podstawie końcowego wyniku wynikowego Szablon:LinkWzór przy wykorzystaniu własności Szablon:LinkWzór, zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Stosować będziemy definicję operatora d'Alemberta, zapisanej za pomocą drugich zupełnych pochodnych względem czasu i względem współrzędnych położenia: Szablon:CentrujWzór Napiszmy pewną tożsamość, korzystając z definicji tensora metrycznego Minkowskiego i operatora d'Alemberta Szablon:LinkWzór, która będzie nam później potrzebna: Szablon:CentrujWzór Wtedy równanie Szablon:LinkWzór działamy pochodną cząstkową względem zmiennej o wskaźniku Szablon:Formuła obustronnie, korzystając z tożsamości Szablon:LinkWzór, możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Obierzmy sobie nowy układ współrzędnych, w których zawsze zachodzi wyrażenia poniżej przy naszym cechowaniu, którego to wyrażenie tożsamościowo jest równe zero: Szablon:CentrujWzór Jeśli powyższe cechowanie zawsze zachodzi, to ono jest prawdziwe bez względu na punkt, w którym spełnione jest to cechowanie, czyli każda następna pochodna cząstkowa lewej strony Szablon:LinkWzór daje nam zawsze wartość zerową. Równanie Szablon:LinkWzór na podstawie cechowania Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Końcowe równanie Szablon:LinkWzór jest rozwiązaniem w postaci Szablon:Formuła, którego dla określonego g istnieje zawsze rozwiązanie f, ale f nie jest jedynym rozwiązaniem, które to równanie spełnia. W rzeczywistości możemy obrać taką tensorową funkcję Szablon:Formuła, by ono spełniało równanie jednorodne: Szablon:CentrujWzór wtedy rozwiązanie końcowe Szablon:LinkWzór na podstawie równania jednorodnego Szablon:LinkWzór można napisać: Szablon:CentrujWzór Wedle Szablon:LinkWzór, cechowanie prowadzi do klasy funkcji cechowań, które spełniają w ogólności wspomniane równanie, i to tej klasy nie należy tylko jedna funkcja, ale tych funkcji jest nieskończenie wiele. Zatem, jeśli mamy pewien układ współrzędnych, w którym istnieje słabe pole grawitacyjne, to można zawsze wybrać układ współrzędnych, w którym spełnione jest cechowanie Szablon:LinkWzór, ponieważ zawsze można znaleźć taki tensor Szablon:Formuła, których jest nieskończenie wiele spełniających równanie tensorowe różniczkowe napisane ostatnio.

Tensor Einsteina dla słabego pola grawitacyjnego przy wybranym cechowaniu

Prowadźmy cechowanie dla słabego pola grawitacyjnego w tensorze Einsteina w końcowej równości Szablon:LinkWzór, bo jak powiedzieliśmy na podstawie poprzedniego podrozdziału zawsze istnieje układ współrzędnych, w których jest spełnione cechowanie: Szablon:CentrujWzór Ponieważ w stacjonarnym polu Szablon:Formuła powinno zależeć tylko od położeń i nie powinno dla nieskończoności przyjmować stałej różnej od zera, stąd Szablon:Formuła, ale Szablon:Formuła, stąd Szablon:Formuła, a więc jedynymi elementem niezerowym jest Szablon:Formuła. który jest równoważny cechowaniu Szablon:LinkWzór z własności przestrzeni Minkowskiego. Tensor Einsteina Szablon:LinkWzór w oparciu o przyjęciu cechowania wedle Szablon:LinkWzór, i biorąc poczynione uwagi dla cechowania w nowym układzie współrzędnych, którego istnieje Szablon:LinkWzór, upraszcza się on do postaci: Szablon:CentrujWzór Dla sygnatury tensora metrycznego obowiązującej w szczególnej teorii względności jednej z dwóch, ale w tej książce uwzględniamy dwie sygnatury, wtedy wyrażenie Szablon:LinkWzór możemy przedstawić wedle sposobu Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Jest to ogólny tensor Einsteina dla słabego pola grawitacyjnego, które stosujemy, gdy zaburzenie tensora metrycznego do tensora Minkowskiego jest nad wyraz małe.

Wyznaczanie stałej κ w równaniach grawitacji Einsteina

Wiedząc, że zachodzi co wynika z cechowania Szablon:LinkWzór, że Szablon:Formuła, co wtedy możemy napisać wyrażenie na Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Jeśli mamy definicję tensora hSzablon:Sub poprzez tensor Szablon:Formuła w definicji Szablon:LinkWzór, to wtedy podwojony element podwójnie kowariantny wspomnianego tensora, czyli hSzablon:Sub jest równy tensorowi Szablon:Formuła Szablon:CentrujWzór Stosując powyższą definicję Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, to nasz tensor Einsteina Szablon:LinkWzór dla wskaźników podwójnie kowariantnych zerowych jest w postaci: Szablon:CentrujWzór Zastosujmy przybliżenia, że cSzablon:Sup<<1, mamy wtedy że Szablon:Formuła, zatem tensor Einsteina Szablon:LinkWzór zapisujemy wedle sposobu poniżej, który nie zależy od pochodnych względem czasu: Szablon:CentrujWzór Ale z drugiej jednak strony wedle obliczeń dla Szablon:LinkWzór (znaki u góry to sygnatura dodatnia,a u dołu sygnatura ujemna) oraz wedle Szablon:LinkWzór dla Szablon:LinkWzór, wtedy poprawka hSzablon:Sub do tensora metrycznego Minkowskiego jest zapisywana wedle schematu (sygnatura dodatnia znak u góry, a ujemna u dołu): Szablon:CentrujWzór Tensor Einsteina ostatecznie dla dolnych zerowych wskaźników stosując Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór, to wtedy jego przedstawienie można zapisać: Szablon:CentrujWzór Sygnaturę tensora metrycznego ηSzablon:Sub, jeśli mamy Szablon:Formuła, to również otrzymamy taką samą postać jak powyżej równania na tensor Einsteina GSzablon:Sub, czyli dla obu sygnatur równanie Szablon:LinkWzór jst prawdziwe, a on zależy od potencjału skalarnego grawitacji dla słabych pól grawitacyjnych.

Z prawa Gausa dla grawitacji, co można udowodnić dla przyciągania grawitacyjnego (znak u góry), a analogicznie piszemy dla odpychania grawitacyjnego (znak u dołu), ale my to zapiszemy bez dowodu: Szablon:CentrujWzór W przyrodzie niestwierdzono odpychania grawitacyjnego, ale my tak piszemy równanie Szablon:LinkWzór, by to uwzględniało, ono jest słuszne również dla obu sygnatur, nie tylko jednej sygnatury. Wyrażenie Szablon:LinkWzór możemy podstawić do wzoru na tensor Einsteina o zerowych wskaźnikach Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Tensor gęstości napięć-energii Szablon:LinkWzór będziemy obliczać dla wskaźników zerowych dla prędkości dążących do zera, a więc dla prędkości, które są o wiele mniejsze od prędkości światła i dla zaniedbywalnego ciśnienia (p=0), ale ponieważ zachodzi ds=cdt, dla interwału czasoprzestrzennego i Szablon:Formuła, co jest słuszne dla słabego pola grawitacyjnego: Szablon:CentrujWzór Mając równania Einsteina Szablon:LinkWzór, ale stosując go dla dolnych wskaźników zerowych, czyli łącząc Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór i zaniedbując stałą kosmologiczną, wedle naszego równania grawitacji Einsteina dostajemy wzór: Szablon:CentrujWzór Ponieważ mamy do czynienia z gęstościami materii o niezerowej wartości, zatem stała κ po podzieleniu równania Szablon:LinkWzór przez ρ jest równa dla obu sygnatur: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że stała proporcjonalności κ Szablon:LinkWzór w prawie grawitacji Einsteina zależy tylko od stałych fizycznych, tzn. prędkości światła "c" i stałej grawitacyjnej "G" występującej w prawie grawitacji Newtona.

Ogólne równania pola wedle równań Einsteina ze stałą kosmologiczną

Otrzymaliśmy zatem, że równania Einsteina wedle Szablon:LinkWzór z dodatkiem o stałą kosmologiczną przyjmują postać dla przyciągania i odpychania grawitacyjnego kolejno w postaci: Szablon:ElastycznyWiersz Co w postaci bezwskaźnikowej powyższe równania Szablon:LinkWzór (przyciąganie grawitacyjne) i Szablon:LinkWzór (odpychanie grawitacyjne) oraz ze względu, że one są to równania tensorowe można je zapisać dla obu sygnatur: Szablon:ElastycznyWiersz Powyższe równania tensorowe nazywamy równaniami grawitacji Einsteina, jak widzieliśmy stałą κ, która jest również słuszna dla słabego pola grawitacyjnego wyprowadziliśmy właśnie mając na myśli słabe pola grawitacyjne i w przybliżeniu dla prędkości o wiele mniejsze od prędkości światła, i w ten sposób wyprowadziliśmy równania Einsteina dla wszystkich pół grawitacyjnych, tzn. dla słabych i silnych pól grawitacyjnych.

Metryka dla słabego pola grawitacyjnego

Naszym celem jest wyznaczenie interwału czasoprzestrzennego, dla słabych pól grawitacyjnych. Otrzymaliśmy, że równania dla słabego pola grawitacyjnego na podstawie zależności między poprawką do tensora metrycznego Minkowskiego dla pól słabych grawitacyjnych przy definicji tensora Einsteina dla tych pól Szablon:LinkWzór, to równania dla tych pól Szablon:LinkWzór zapisujemy jako: Szablon:CentrujWzór

Stacjonarne słabe pole grawitacyjne a poprawka do tensora metrycznego Minkowskiego

Biorąc, że nasze pole jest stacjonarne nie zależy od czasu czyli pochodne czasowe w Szablon:LinkWzór, są równe zero, zatem owe równanie dla miejsc w których nie ma masy, a ciśnienie jest zaniedbywalne, przejawia się w postaci: Szablon:CentrujWzór Można udowodnić, że powyższe równanie ma rozwiązanie w zależności od stałego tensora ASzablon:Sup: Szablon:CentrujWzór Stosując warunek cechowania Szablon:LinkWzór względem równania (rozwiązania) tensorowego, czyli biorąc pochodną poprawki do tensora Minkowskiego względem współrzędnych przestrzennych, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Stała tensorowa ASzablon:Sup jest z oczywistych powodów niezależna od czasu w powyższym równaniu, co zostało zastosowane, ponieważ rozpatrujemy rozwiązania stacjonarne Szablon:Formuła równania grawitacji Einsteina dla słabego pola grawitacyjnego. Aby równanie tensorowe Szablon:LinkWzór było tożsamościowo równe zero, to musi być spełniony warunek: Szablon:CentrujWzór Ale ponieważ stała ASzablon:Sup nie zależy od czasu jak zakładaliśmy, tzn. zachodzi warunek 0=ASzablon:SupSzablon:Sub, dochodzimy więc do wniosku, że ASzablon:Sup≠0. Ponieważ zachodzi symetryczność między tensorami ASzablon:Sup, tzn.: ASzablon:Sup=ASzablon:Sup, to jedynym tensorem, który jest nie równy zero dla ASzablon:Sup, bo xSzablon:Sub jest dowolne i z własności przestrzeni Minkowskiego dla tensora podwójnie kowariantnego jedynym tensorem, który jest nie równy zero, to ASzablon:Sub. Zatem udowodniliśmy, że jedynym niezerowym tensorem dla Szablon:LinkWzór wedle Szablon:LinkWzór jest element tensora: Szablon:CentrujWzór Gdy mamy ciało jako źródło grawitacji, które jest prawie punktowe i nieporuszające się (zerowy element czterowektora prędkości jest równy zero) i w tym punkcie, w którym znajduje się ciało o masie M panuje zaniedbywalnie ciśnienie, to jego tensor gęstości energii spełnia warunek: Szablon:CentrujWzór Wykorzystajmy wzór na grawitację Einsteina Szablon:LinkWzór przy stałej κ równej Szablon:LinkWzór, i niech całkowanie objętościowe będzie po kuli, a całkowanie powierzchniowe po sferze należącym do tej kuli, zatem dla współczynników zerowych podwójnie dolnych tensora Einsteina mamy: Szablon:CentrujWzór To możemy napisać na podstawie prawa grawitacji Szablon:LinkWzór i definicji tensora Einsteina dla słabych pól grawitacyjnych, a właściwie dla jej dolnych wskaźników zerowych Szablon:LinkWzór, dla obu sygnatur (znak u góry sygnatura dodatnia, a u dołu ujemna) dla obu rodzajów oddziaływania grawitacyjnego, to: Szablon:CentrujWzór Równościach końcowych w Szablon:LinkWzór pierwszy wzór na Szablon:Formuła jest słuszny dla przyciągania grawitacyjnego, a drugi dla odpychania, znak u góry jest dla sygnatury dodatniej, u dołu ujemnej. Na podstawie obliczeń dochodzimy do wniosku, że zachodzi dla Szablon:LinkWzór przy niezerowej stałej tensorowej ASzablon:Sup, korzystając z definicji potencjału grawitacyjnego dla pola grawitacyjnego klasycznego, mamy: Szablon:CentrujWzór

• W równaniu Szablon:LinkWzór znak u góry przyciąganie grawitacyjne, a u dołu odpychanie grawitacyjne.

Zatem Szablon:LinkWzór przy definicji ASzablon:Sub Szablon:LinkWzór, wykorzystując definicję potencjału skalarnego grawitacyjnego Szablon:LinkWzór, i podstawiając do wzoru na Szablon:Formuła, dostajemy dla przyciągania grawitacyjnego: Szablon:CentrujWzór We wzorze przedkońcowym na Szablon:Formuła wzór na górze jest dla przyciagania grawitacyjnego, a u dołu dla odpychania, znak u góry jest dla sygnatury dodatniej, a u dołu ujemnej, a dla obu sygnatur, co do znaków, i sygnatur podobnie jest w końcowym wyniku tam. Widzimy, że w powyższym wzorze jedynym niezerowym elementem tensora Szablon:Formuła jest element zależny od potencjału skalarnego grawitacyjnego, który jest opisany w grawitacji wedle jej przestawienia klasycznego (dla słabego pola grawitacyjnego) w sposób Szablon:LinkWzór.

Interwał czasoprzestrzenny słabego pola grawitacyjnego Newtona dla obu sygnatur tensora Minkowskiego i rodzajów oddziaływania grawitacyjnego

Z tożsamości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, której poprawka do tensora metrycznego Minkowskiego, a właściwie względem jej podwójnie dolnych elementów zerowych hSzablon:Sub jest wyrażona przy pomocy potencjału grawitacyjnego wedle: Szablon:CentrujWzór Korzystając z powyższych wniosków, a także z tego, że Szablon:Formuła jest równe zero, co uzyskaliśmy w poprzednim rozdziale na podstawie cechowania Szablon:LinkWzór, zatem można powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Składniki tensora metrycznego mają się jak dla pozostałych wskaźników tensora metrycznego dla słabego pola grawitacyjnego: Szablon:CentrujWzór Możemy wykorzystać definicję tensora dla wskaźników dolnych zerowych wedle Szablon:LinkWzór oraz to, że elementy tensora metrycznego dla współrzędnych przestrzennych są Szablon:LinkWzór, wtedy interwał czasoprzestrzenny dla słabego pola grawitacyjnego zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Po krótkich przekształceniach w Szablon:LinkWzór możemy napisać wzór jako równoważny do poprzedniego: Szablon:CentrujWzór Dla słabego pola grawitacyjnego, wiedząc że potencjał skalarny zapisujemy wedle Szablon:LinkWzór, wobec tego interwał czasoprzestrzenny Szablon:LinkWzór wedle definicji potencjału skalarnego pola grawitacyjnego wspomnianego wcześniej wygląda: Szablon:ElastycznyWiersz Równanie Szablon:LinkWzór jest dla przyciągania grawitacyjnego, a Szablon:LinkWzór dla odpychania, gdzie: Szablon:Formuła. Z powyższego równania interwał czasoprzestrzenny jest prawie taki sam jak interwał czasoprzestrzenny Minkowskiego, tzn. gdy φ<<cSzablon:Sup, czyli wtedy można stosować szczególną teorię względności.

Pola grawitacyjne stacjonarne od odległych źródeł relatywistycznych dla obu sygnatur tensora Minkowskiego i rodzajów oddziaływania grawitacyjnego

Tensor Einsteina Szablon:LinkWzór dla pól grawitacyjnego, korzystając ze wzoru Szablon:LinkWzór, wygląda: Szablon:CentrujWzór Powyżej skorzystaliśmy, że ηSzablon:Sub, to tensor przestrzeni metrycznej Minkowskiego, a hSzablon:Sub, to poprawka do tensora przestrzeni Minkowskiego, tak by nasza przestrzeń, była lekko zakrzywiona, podobna do przestrzeni płaskiej Minkowskiego z poprawką O(rSzablon:Sup) przedstawiona dla elementu tensora metrycznego o wskaźnikach zerowych: Szablon:CentrujWzór dla elementów tensora metrycznego dla macierzy diagonalnej o podwójnie i-tych (przestrzennych) wskaźnikach: Szablon:CentrujWzór

Kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego dla dużej odległości od źródła relatywistycznego, znając już elementy tensora metrycznego, tzn. Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, dla której kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego przedstawiamy wedle sposobu Szablon:LinkWzór, przedstawia się dla przyciągania grawitacyjnego metryką: Szablon:CentrujWzór I dla odpychania metryką: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest dla przyciągania grawitacyjnego, a Szablon:LinkWzór dla odpychania, gdzie: Szablon:Formuła. Widzimy, że dla dużych odległości od źródła relatywistycznego interwał czasoprzestrzenny jest prawie taki sam jak dla zwykłych źródeł Szablon:LinkWzór, czyli dla słabych pól grawitacyjnych.