Analiza matematyczna/Równania różniczkowe

Równania o zmiennych rozdzielonych

Przykład

Rozwiąż równanie różniczkowe $y^{\prime }=e^{x+y}$ przy warunku początkowym $y(0)=0$.

$\frac{dy}{dx}=e^x\cdot e^y$

$e^{-y}dy=e^{x}dx$

$\int e^{-y}dy=\int e^{x}dx$

$-e^{-y}=e^x+C$

Otrzymaliśmy zatem rodzinę rozwiązań danego równania różniczkowego (tzw. całkę ogólną). Znając warunek początkowy, wyznaczamy całkę szczególną tego równania, podstawiając do powyższego wyniku $y(x=0)=0$. Otrzymujemy wówczas równanie:

$-e^0=e^0+C$

$-1=1+C$

$C=-2$

Po podstawieniu otrzymanej wartości do całki ogólnej równania otrzymujemy:

$-e^{-y}=e^x-2$

$e^{-y}=2-e^x$

$\frac{1}{e^y}=2-e^x$

$e^y=\frac{1}{2-e^x}$

Ostatecznie szczególnym rozwiązaniem danego równania jest funkcja:

$y=\ln \frac{1}{2-e^x}$

Równania jednorodne

Równaniem jednorodnym nazywamy równanie postaci:

$y^{\prime }=f\left(\frac{y}{x}\right)$

Po zastosowaniu podstawienia $u=\frac{y}{x}$ daje się ono sprowadzić do postaci równania o zmiennych rozdzielonych $x$ oraz $u$. Wówczas:

$y=u(x)\cdot x$

Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji, otrzymujemy:

$y^{\prime }=u^{\prime }x+u$

Równania liniowe

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$ (*)

$Q(x)=0$ r. jednorodne

$Q(x)\ne 0$ r. niejednorodne

$y^{\prime }+P(x)y=0y\ne 0$

$y^{\prime }=dy$ zamiana

$dy=-P(x)ydx/:y$

$dy/y=-P(x)dx$

$\ln |y|=-\int P(x)+C1$

$\ln |y|=-\int P(x)+\ln |C2|C2=C$

$\ln |y|=\ln |C2/\int P(x)|$

$y=C(x)/-\int P(x)$ wstawiamy do (*) to są (**)
$y^{\prime }=$ wstawiamy do(*)
$C^{\prime }(x)=$
$C(x)=\int C^{\prime }(x)$ wstawiamy do (**)
$Y=C(x)/-\int P(x)$

Równanie Bernoullego

Ogólna postać równania Bernoullego to:

$y^{\prime }+p(x)\cdot y=q(x)\cdot y^r$

gdzie $r\in ℝ$, natomiast $p(x)$ oraz $q(x)$ – to dowolne funkcje rzeczywiste.

Po obustronnym podzieleniu równania przez $y^r$ otrzymujemy równanie postaci:

$\frac{y^{\prime }}{y^r}+p(x)\cdot y^{1-r}=q(x)$

Po zastosowaniu podstawienia $z=y^{1-r}$ otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne.

przykład

$y^{\prime }+xy=x{y}^3$

Równanie dzielimy obustronnie przez $y^3$

$\frac{y^{\prime }}{y^3}+x{y}^{-2}=x$, gdzie $y\ne 0$

oraz wykonujemy podstawienie dla równania Bernoullego, w wyniku czego otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne o zmiennej niezależnej x oraz szukanej niewiadomej $z(y(x))$:

$-\frac{1}{2}{z}^{\prime }+xz=x$

$z^{\prime }-2xz=-2x$

Skojarzone równanie jednorodne ma postać:

$z^{\prime }-2xz=0$

Jego rozwiązaniem ogólnym jest funkcja:

$z_{oj}=C{e}^{x^2}$

Szukamy następnie rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:

$z_{sn}=C(x)e^{x^2}$, gdzie ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji oraz pochodną funkcji złożonej otrzymujemy także:

$z{\text{'}}_{sn}=C^{\prime }(x)e^{x^2}+C(x)e^{x^2}2x$

Wyprowadzone powyżej zależności podstawiam do równania niejednorodnego:

$C^{\prime }(x)e^{x^2}+C(x)e^{x^2}2x-2xC(x)e^{x^2}=-2x$

W wyniku tej operacji $C(x)$ powinno się zredukować. Jeżeli tak się nie stało, to oznacza, że gdzieś mógł się pojawić błąd obliczeniowy. Jeżeli wszytko obliczone jest poprawnie, powinniśmy otrzymać równanie:

$C^{\prime }(x)e^{x^2}=-2x$

$C(x)=e^{-x^2}$

Zatem

$z_{sn}=e^{-x^2}\cdot e^{x^2}=1$

$z_{on}=z_{oj}+z_{sn}$

$z_{on}=C{e}^{x^2}+1$

Wracając do postaci sprzed podstawienia Bernoullego, otrzymujemy:

$\frac{1}{y^2}=C{e}^{x^2}+1$

Funkcja tożsamościowa $y\equiv 0$ nieobejmowana przez powyższe rozwiązanie także spełnia wyjściowe równanie.

Równanie zupełne

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

Czynnik całkujący

Równanie niebędące równaniem zupełnym być może po pomnożeniu przez czynnik zależny od jednej ze zmiennych niezależnych x lub y będzie równaniem zupełnym. Wówczas otrzymamy:

$P(x,y)\mu (x)dx+Q(x,y)\mu (x)dy=0$

Wyprowadźmy zatem wzór na czynnik całkujący zależny od x. Spełnione ma być równanie postaci:

$\frac{\partial P\mu (x)}{\partial y}=\frac{\partial Q\mu (x)}{\partial x}$

Po prawej stronie równania skorzystaliśmy z twierdzenia o pochodnej iloczynu funkcji. Po lewej stronie równania przed znak pochodnej cząstkowej wyłączono czynnik niezależny od zmiennej, po której liczymy pochodną:

$\mu (x)\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\mu (x)+Q{\mu }^{\prime }(x)$

$\mu (x)\frac{\partial P}{\partial y}-\mu (x)\frac{\partial Q}{\partial x}={\mu }^{\prime }(x)Q$

$\mu (x)(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})={\mu }^{\prime }(x)Q$

$\frac{{\mu }^{\prime }(x)}{\mu (x)}=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q}$

Ostatecznie po obustronnym całkowaniu powyższego równania po zmiennej x szukany czynnik całkujący otrzymamy ze wzoru:

$\ln |\mu (x)|=\int \frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q}dx$

Analogicznie znajdziemy wzór na czynnik całkujący zależny od zmiennej y.

$\ln |\mu (y)|=\int \frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}{P}dy$

Równania wyższych rzędów

Równania II rzędu sprowadzane do równania I rzędu

Równania postaci $y^{″}=f(x,y,y^{\prime })$ możemy podzielić na dwie grupy równań. W zależności od typu równania, z jakim mamy do czynienia, przyjmiemy odpowiedni sposób rozwiązania.

Jawnie nie występuje zmienna zależna y

$F(x,y^{\prime },y^{″})=0$

Szablon:RightBox Rozpatrzmy przykładowe równanie $y^{″}=x(y^{\prime }{)}^2$. Po zastosowaniu wskazanego podstawienia otrzymujemy równanie postaci $u^{\prime }=x{u}^2$ . Zmienna zależna $y(x)$ została zastąpiona zmienną zależną $u(x)$. Rola zmiennej niezależnej $x$ nie zmieniła się. Otrzymujemy zatem równanie, którego ogólną postać zapiszemy jako:

$\bar{F}(x,u,u^{\prime })=0$

Szukamy zatem rodziny funkcji $u(x)$ zależnej od jednej stałej całkowania $C$, a następnie – wracając do pierwszego podstawienia – wyznaczamy wartość rodziny funkcji $y(x)$ zależnej ostatecznie od dwóch stałych całkowania $C$ oraz $D$.

jawnie nie występuje zmienna niezależna x

$F(y,y^{\prime },y^{″})=0$

W opisywanym przypadku po zastosowaniu przytoczonego obok podstawienia zmieni się rola zmiennej zależnej y(x), która w otrzymanym równaniu będzie zmienną niezależną. Natomiast pojawi się zmienna zależna $u(y)$. Ostatecznie zatem otrzymamy równanie, którego ogólną postać możemy zapisać jako:

$\bar{F}(y,u,u^{\prime })=0$

Przykład

$y\cdot y^{″}=y^3+(y^{\prime }{)}^2$

Po podstawieniu otrzymujemy równanie postaci:

$yu\cdot u^{\prime }=y^3+u^2$

$u^{\prime }=y^2{u}^{-1}+\frac{1}{y}u$ Jest ono równaniem Bernouliego o niewiadomej funkcji $u(y)$. Zatem po zastosowaniu podstawienia Bernouliego otrzymamy równanie liniowe niejednorodne.

c.d.n.

Równanie n-tego rzędu o stałych współczynnikach

Metoda uzmienniania stałych na przykładzie

$y^{″}(x)-y(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$

Najpierw rozwiązujemy jednorodne:

$y^{″}(x)-y(x)=0$

Konstruujemy wielomian charakterystyczny

${\lambda }^2-1=0$

Stąd mamy rozwiązanie w postaci:

$y=c_1{e}^x+c_2{e}^{-x}$

Teraz uzmienniamy stałe

$y=c_1(x)e^x+c_2(x)e^{-x}$

Następnie tworzymy układ :

$\{\begin{array}{c}{c_1}^{\prime }(x)e^x+{c_2}^{\prime }(x)e^{-x}=0\\ {c_1}^{\prime }(x)e^x-{c_2}^{\prime }(x)e^{-x}=\frac{e^x}{e^x+1}\end{array}$

Rozwiązujemy układ w celu wyznaczenia $c_1$ i $c_2$