Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/Równania liniowe

Równanie liniowe z jedną niewiadomą

Przykładem równania liniowego może być:

• Szablon:Math
• Szablon:Math
• $\frac{7x+2}{2}=6$

Rozwiązaniem równania jest liczba x, która spełnia to równanie.

Aby rozwiązać równanie liniowe, czyli aby znaleźć liczbę x, przeważnie trzeba wykonać następujące czynności:

• przenieść niewiadomą na jedną stronę równania, pozostawiając liczby (bądź parametry) po drugiej stronie (przy przenoszeniu zmieniamy znak),
• wymnożyć lub podzielić obustronnie przez wartość tak, aby pozbyć się liczby stojącej przy niewiadomej.

Wyjaśnienie

• Aby rozwiązać równanie  $2x+3=5$,  wykonamy kolejne kroki wymienione powyżej.

Po lewej stronie równania zostawimy niewiadomą, przenosząc liczbę 3 na prawą stronę. Wystarczy zapisać ją po drugiej stronie ze zmienionym znakiem.

$2x=5-3$  czyli  $2x=2$

Aby z wyrażenia 2x uzyskać x, dzielimy przez 2. Zawsze dzielimy obie strony, czyli

$2x=2/:2$

$x=1$,   tak więc liczba 1 jest rozwiązaniem.

Przy przekształcaniu równania należy pamiętać o tym, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą, należy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

• jeśli  $2x+5=6$,  to  $2x=6-5$,
• jeśli  $x-4=2$,   to  $x=2+4$.

Jeśli chcemy wymnożyć lub podzielić równanie przez pewną liczbę, wówczas zapisujemy to dodając na końcu np. " $/\cdot 4$ " lub np. " $/:3$ ".

• $\frac{x}{2}=3/\cdot 2$ - obustronnie mnożymy przez Szablon:Math
• $3x=6/:3$ - obustronnie dzielimy przez Szablon:Math
• $\frac{3}{4}x=2/\cdot \frac{4}{3}$ - obustronnie mnożymy przez ułamek $\frac{4}{3}$.

Przykłady

• Równanie $-x+2=0$

$-x=0-2$

$-x=-2/\cdot (-1)$

$x=2$

• Równanie $\frac{7x+2}{2}=6$

Pozbywamy się ułamka, mnożąc przez wartość mianownika.

$\frac{7x+2}{2}=6/\cdot 2$

$7x+2=12$

$7x=10/:7$

$x=\frac{10}{7}$

Rozwiązania
Jeżeli nie są podane wartości współczynników a i b, wówczas możemy postawić następujące założenia:

• jeśli $a\ne 0$, to istnieje jedno rozwiązanie $x=-\frac{b}{a}$,
• jeśli $a=0\text{i}b=0$, to równanie przyjmie postać $0=0$. Jest to równanie tożsamościowe i dla każdego x jest prawdą (czyli rozwiązaniem jest każda liczba),
• jeśli $a=0\text{i}b\ne 0$, wówczas równanie może wyglądać np. tak: $0=3$, co oczywiście jest fałszem. Równanie to nazywa się równaniem sprzecznym i nie istnieje liczba, która je spełnia (brak rozwiązań).

Inną nazwą rozwiązania równania jest też miejsce zerowe, jak i pierwiastek.

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Zacznijmy od kilku przykładów:

• $2x>3$
• $5x-2<2$
• $-2x+4\ge -3x+5$
• $-\frac{1}{2}x+3\ge 5$

Zanim je rozwiążemy, spójrzmy na definicję:

Ważna uwaga: przy mnożeniu (lub dzieleniu) nierówności przez liczbę ujemną, znak nierówności zmieniamy na przeciwnie skierowany (np. > na <).

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy przedstawione przykłady.

Zaczniemy od  $2x>3$ :

$2x>3/:2$

$x>1\frac{1}{2}$

Rozwiązaniem tej nierówności nie jest jedna liczba, a cały zbiór liczb większych od jednego i jednej drugiej.

Odp. $x\in (1\frac{1}{2};+\mathrm{\infty })$.

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu  $-2x+4\ge -3x+5$ :

$-2x+3x\ge 5-4$

$x\ge 1$

Odp. $x\in ⟨1;+\mathrm{\infty })$.

Rozwiążmy teraz nierówność  $-5x-2<2$ :

$-5x<2+2$

$-5x<4/:(-5)$

$x>-\frac{4}{5}$ - przy mnożeniu przez liczbę ujemną trzeba zmienić znak nierówności na przeciwny.

Odp. $x\in (-\frac{4}{5};\mathrm{\infty })$.

Dlaczego gdy mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną, znak nierówności trzeba zmienić? Słuszność tego możemy sprawdzić na przykładzie:

$3<4/\cdot (-2)$

$-6<-8$  - fałsz, brakuje zmienionego znaku

$-6>-8$  - prawda, zmieniony znak na '>'.

Równanie z parametrem (R)

Dla jakich wartości parametru $p$ funkcja $y=2px+4-p$ jest malejąca oraz nieparzysta?

Musimy ustalić warunki, które musi spełniać to równanie, aby założenia z zadania były spełnione .

1. $a<0$ aby funkcja była malejąca
2. Wykres funkcji musi przechodzić przez punkt (0,0) aby funkcja była nieparzysta. W przypadku funkcji nieparzystej $f(x)=ax+b$ zachodzi $b=0$, zatem w naszym przypadku zachodzi $4-p=0$

$\{\begin{array}{c}2p<0\\ 4-p=0\end{array}$

Mamy:

$\{\begin{array}{c}p<0\\ p=4\end{array}$

Teraz musimy złączyć oba te warunki, aby otrzymać wynik. Po złączeniu otrzymujemy:

$4<0$

Co oczywiście jest sprzeczne dlatego:

$Z_x\in \varnothing$

Szablon:Nawigacja