Mechanika kwantowa/Postulat pierwszy mechaniki kwantowej

Współrzędne położenia i pędu w reprezentacji klasycznej i kwantowej

Teraz przedstawimy każdej wielkości fizycznej w przedstawieniu klasycznej jej odpowiednik w przedstawieniu kwantowym (operatorowym). W mechanice klasycznej uogólnione współrzędne wielkości położeniowej są w postaci qSzablon:Sub, w układzie kartezjańskim są to współrzędne x,y,z. Reprezentacji operatorowej weźmiemy jej odpowiednik w mechanice kwantowej, zatem w reprezentacji kwantowej mamy: Szablon:CentrujWzór W układach kartezjańskich są to operatory obrazujące współrzędne kartezjańskie w postaci x⋅, y⋅, z⋅. Zwykle będziemy się posługiwać układem kartezjańskim przy definiowaniu pewnych operatorów i dopiero będziemy je przenosić do innych izomorficznych układów współrzędnych, np. biegunowych, walcowych, kulistych czy też sferycznych lub innych. W reprezentacji klasycznej współrzędną i-ta wektora uogólnionego pędu jest przedstawiana: Szablon:CentrujWzór

• gdzie:

Szablon:Formuła jest to lagrangian cząstki,

Szablon:Formuła jest to uogólnione położenie cząstki,

Szablon:Formuła jest to uogólniona prędkość cząstki,

Szablon:Formuła jest to pęd uogólniony.

Zwykle uogólniony pęd jest równy zwykłemu pędowi znane z mechaniki klasycznej Newtona, co udowodnimy poniżej. Lagrangian cząstki w polu potencjalnym jest równy: Szablon:CentrujWzór a według szczególnej teorii względności jest równy: Szablon:CentrujWzór Udowodnjmy, że dla małych prędkości w porównaniu z prędkością światła lagrangian w mechanice Einsteina lagrangian Szablon:LinkWzór przechodzi w lagrangian w mechanice Newtona Szablon:LinkWzór z dokładnością do stałej: Szablon:CentrujWzór Lagrangian Szablon:LinkWzór z dokładnością do stałej jest w przybliżeniu równy lagrangianowi Szablon:LinkWzór na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór dla naszych prędkości. Możemy skorzystać ze wzoru Szablon:LinkWzór podstawiając do niego powyższy Lagrangian, otrzymujemy klasyczny newtonowski i einsteinowski pęd cząstki na podstawie definicji lagrangianu w mechanice Newtona Szablon:LinkWzór i mechanice Einteina (szczególna teorias względności) Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

• gdzie Szablon:Formuła jest to masa cząstki w mechanice klasycznej Newtona, a Szablon:Formuła jest to masa relatywistyczna w mechanice Einsteina równa Szablon:Formuła.

Udowodniliśmy, że gdy w Lagrangianie Szablon:Formuła nie ma dodatkowych członów związanych prędkościami cząstki, to pęd uogólniony Szablon:LinkWzór we współrzędnych kartezjańskim jest równy pędowi klasycznemu Newtonowskiemu podanych w ostatnim wzorze, ale nie zawsze musi tak być, bo w Lagrangianie mogą pojawić się dodatkowe człony zawierające wektory prędkości, jak np. w mechanice Newtona: Szablon:CentrujWzór i w mechanice Einsteina w szczególnej teorii względności: Szablon:CentrujWzór Udowodnijmy, że dla małych prędkości w porównaniu z prędkością światła lagrangian w mechanice Einsteina Szablon:LinkWzór przechodzi w lagrangian w mechanice Newtona Szablon:LinkWzór z dokładnością do stałej, co dowód jest podobny do tego z lagrangianami Newtona Szablon:LinkWzór i Einsteina Szablon:LinkWzór wcześniej przeprowadzonej na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór. Wtedy możemy wykorzystać Szablon:LinkWzór do policzenia pędu uogólnionego korzystając Szablon:LinkWzór (mechanika Newtona) i Szablon:LinkWzór (mechanika Einsteina), mamy: Szablon:CentrujWzór

• gdzie Szablon:Formuła jest to pęd klasyczny znany z teorii dynamiki Newtona i Einsteina.

Widzimy, że w nim pęd uogólniony jest suma pędu uogólnionego i iloczynu ładunku cząstki i potencjału wektorowego magnetycznego. Przedstawieniu operatorowym zamieniamy wszystkie współrzędne uogólnionego pędu Szablon:LinkWzór we współrzędnych kartezjańskich przez współrzędne operatora pędu w tym samym układzie, które te operatory są zdefiniowane w sposób: Szablon:CentrujWzór Widzimy według wzoru Szablon:LinkWzór operator pędu nie jest liczbą, tylko zwykłym operatorem podobnym do operatora różniczkowania cząstkowego względem współrzędnych w prawoskrętnym układzie kartezjańskim. Operator pędu czasami jest zwany wektorem operatora pędu, czy też wektorem operatora pędu uogólnionego, a nawet operatorem pędu uogólnionego. Udowodnimy, że operator pędu jest rzeczywiście operatorem hermitowskim, najpierw udowodnimy to dla współrzędnej iksowej operatora pędu. Szablon:CentrujWzór W powyższym dowodzie korzystaliśmy z założenia, że funkcje falowe ψ i Szablon:Formuła zerują się w punkcie a i b. Według Szablon:LinkWzór udowodniliśmy, że iksowy operator pędu jest operatorem hermitowskim. Podobnie dowodzimy, że operator igrekowy i zetowy są operatorami hermitowskimi, zatem wektor operatora pędu też jest operatorem hermitowskim.

Kwadrat całkowitego operatora pędu

Bardzo ważną wielkością jest kwadrat pędu, bowiem on potrzebny jest do obliczenia energii kinetycznej punktu materialnego, w mechanice klasycznej przedstawia się on, jako suma kwadratów współrzędnych pędu: Szablon:CentrujWzór W mechanice kwantowej jest podobnie, tylko współrzędne wektora pędu w Szablon:LinkWzór należy zastąpić przez współrzędne wektora operatora pędu Szablon:LinkWzór, wtedy kwadrat operatora pędu: Szablon:CentrujWzór A zatem ostatecznie operator Szablon:LinkWzór jest zapisywany przy pomocy kwadratu operatora nabla (∇), czyli przy pomocy operatora Δ, czyli nasz omawiany operator zawiera drugie pochodne cząstkowe względem współrzędnych kartezjańskich z pewną ściśle określoną stałą proporcjonalności: Szablon:CentrujWzór Kwadrat operatora pędu jest operatorem hermitowskim, bo jak można udowodnić z własności operatorów sprzężonych po hermitowsku: Szablon:CentrujWzór

Newtonowski i einsteinowski lagrangian cząstki w polu elektromagnetycznym

Nierelatywistyczny Lagrangian cząstki w polu elektromagnetycznym jest opisany jako funkcja prędkości cząstki, wektorowego i skalarnego potencjału magnetycznego oraz za pomocą wartości ładunku cząstki, czyli q, czyli nasz opisywany Lagrangian wyrażamy kolejno w mechanice Newtona Szablon:LinkWzór i Einsteina Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz W formalizmie Lagranga'e współrzędne prędkości i położenia są niezależne. Znając już Lagrangian w mechanice Newtona Szablon:LinkWzór i Einsteina Szablon:LinkWzór wyznaczmy jaki cząstka posiada pęd uogólniony: Szablon:CentrujWzór gdzie Szablon:Formuła w Szablon:LinkWzór w mechanice Newtona jest to masa cząstki, a w mechanice Einsteina jest to masa relatywistyczna cząstki równa Szablon:Formuła. W powyższym wzorze pęd uogólniony jest równy pędowi klasycznemu cząstki znanej z mechaniki Newtona z poprawką o potencjał wektorowy pomnożonej o ładunek cząstki. Ze wzoru Eulera-Lagrange otrzymamy równanie ruchu cząstki znane z elektrodynamiki klasycznej połączone z równaniami Newtona: Szablon:CentrujWzór Sformułujmy równania ruchu pojedynczej cząstki w polu elektromagnetycznym po podstawieniu Szablon:LinkWzór do wzoru Eulera-Lagrange'a Szablon:LinkWzór, to dostajemy, że: Szablon:CentrujWzór Z korzystamy z definicji różniczki zupełnej funkcji wektorowej i wyrazimy ją przez pochodne cząstkowe i różniczki zupełne, a na koniec wyznaczymy pochodną zupełną wielkości potencjału wektorowego względem czasu przez zwykłe pochodne cząstkowe względem współrzędnych w układzie trójwymiarowym kartezjańskim i względem czasu: Szablon:CentrujWzór Obliczenia Szablon:LinkWzór na podstawie udowodnionej tożsamości Szablon:LinkWzór wyrażając potencjał wektorowy magnetyczny przy pomocy pochodnych cząstkowych, co nam później będzie potrzebne, możemy przedstawić: Szablon:CentrujWzór Aby wyznaczyć dokładne równania ruchu musimy skorzystać z tożsamości, które jest wyrażone przez potencjał wektorowy, wektor prędkości i przez operator ∇: Szablon:CentrujWzór Co teraz następnym krokiem jest udowodnienie Szablon:LinkWzór, to musimy wykorzystać definicję symboli Leviego-Civity εSzablon:Sub i symboli Kroneckera δSzablon:Sub, mając te definicje, i wiedząc, że iloczyn dwóch symboli Leviego-Civity, jak można udowodnić, że jest to kombinacją symboli Kroneckera, wtedy: Szablon:CentrujWzór Przy obliczeniach Szablon:LinkWzór założono, że współrzędne prędkości i położenia są to zmienne niezależne, zatem Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Ponieważ mamy z elektrodynamiki klasycznej definicję natężenia pola elektrycznego (poprzez potencjał skalarny i wektorowy) i indukcji pola magnetycznego (poprzez potencjał wektorowy), zatem przedstawiając wzorami te zależności: Szablon:ElastycznyWiersz Wyrażenie Szablon:LinkWzór na podstawie Szablon:LinkWzór (definicji natężenia pola elektrycznego Szablon:Formuła w zależności od sumy gradientu potencjału elektrycznego $\phi$ i zmiany w czasie w danym punkcie wektorowego potencjału magnetycznego Szablon:Formuła i to wszystko wzięte z minusem) i Szablon:LinkWzór (definicji indukcji pola magnetycznego Szablon:Formuła jako rotacji wektorowego potencjału pola magnetycznego Szablon:Formuła) przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór W Szablon:LinkWzór otrzymaliśmy równanie drugiej zasady dynamiki Newtona i Einsteina dla cząstki w polu elektromagnetycznym, zatem lagrangiany Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są poprawnymi lagrangianami dla pola elektromagnetycznego dla cząstek poruszających się z małymi prędkościami, tzn. z prędkościami o wiele mniejszymi niż prędkość światła w próżni c w mechanice Newtona i z prędkościami w przedziale [0,c) w mechanice Einsteina (szczególna teoria względności).

Hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a energia mechaniczna bądź całkowita E

Będziemy tutaj rozważali nierelatywistyczny i relatywistyczny lagrangian w polu elektromagnetycznym i z niego będziemy liczyli hamiltonian, i dowiemy się, że jest on równy energii mechanicznej w mechanice Newtona i całkowitej w mechanice Einsteina.

Nierelatywistyczny (newtonowski) hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a energia mechaniczna E

Wyznaczmy nierelatywistyczny hamiltoniam dla cząstki w polu elektromagnetycznym korzystając z definicji hamiltonianu dla cząstki nierelatywistycznej i Lagrangianu Szablon:LinkWzór dla cząstki w polu elektromagnetycznym: Szablon:CentrujWzór Dochodzimy do wniosku, że energia mechaniczna cząstki w polu elektromagnetycznym jest to po prostu zwykły nieratywistyczny hamiltonian.

Relatywistyczny (einsteinowski) hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a całkowita energia E

Wyznaczmy relatywistyczny hamiltoniam dla cząstki w polu elektromagnetycznym korzystając z definicji hamiltonianu dla cząstki relatywistycznej i Lagrangianu Szablon:LinkWzór dla cząstki w polu elektromagnetycznym: Szablon:CentrujWzór Dochodzimy do wniosku, że energia całkowita cząstki w polu elektromagnetycznym jest to po prostu zwykły relatywistyczny hamiltonian.

Operator energii kinetycznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie

Energię kinetyczną w mechanice klasycznej definiujemy jako iloraz kwadratu wartości wektora pędu punktu materialnego przez podwojoną masę tegoż punktu materialnego, ponieważ bez pola wektorowego elektromagnetycznego pęd uogólniony jest równy zwykłemu pędowi klasycznemu znany z mechaniki Newtona, mamy: Szablon:CentrujWzór Zastępując wartość energii kinetycznej punktu materialnego T przez operator energii kinetycznej Szablon:Formuła, oraz pSzablon:Sup przez kwadrat operatora wektora pędu Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że we wzorze Szablon:LinkWzór operator energii kinetycznej jest zależny od masy ciała i operatora Δ, czyli od kwadratu operatora nabla. Operator Szablon:Formuła jest operatorem hermitowskim, ponieważ kwadrat operatora pędu też jest operatorem hermitowskim, a dzielenie przez liczbę rzeczywistą, tzn. przez 2m, nic nie zmienia.

Operator energii kinetycznej w polu elektromagnetycznym

Korzystając przy tym z definicji uogólnionego pędu Szablon:LinkWzór i wyznaczając z niego pęd klasyczny cząstki, to znaczy Szablon:Formuła i podstawiając do wzoru na energię kinetyczną, stąd po odpowiednich modyfikacjach wzoru na tą energię, dostajemy wzór na energię kinetyczną w polu elektromagnetycznym poprzez pęd uogólniony: Szablon:CentrujWzór Zastępując wartość energii punktu materialnego T w polu elektromagnetycznym przez operator energii kinetycznej Szablon:Formuła oraz Szablon:Formuła przez wektor operatora pędu Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór W operator energii kinetycznej Szablon:LinkWzór przechodzi w operator energii kinetycznej w Szablon:LinkWzór, gdy zachodzi Szablon:Formuła lub Szablon:Formuła. Operator Szablon:LinkWzór jest operatorem hermitowskim, ponieważ w liczniku pod potęgą różnica operatora hermitowskiego i zwykłego wektora jest operatorem hermitowskim, a więc kwadrat takiego operatora też jest operatorem hermitowskim. Gdy taki operator podzielimy przez 2m, to nadal on jest operatorem hermitowskim.

Operator energii mechanicznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie

W mechanice klasycznej energię mechaniczną definiujemy jako sumę energii kinetycznej zdefiniowaną w punkcie Szablon:LinkWzór i energii potencjalnej, zatem tą energię zapisujemy ogólnie definiując ją jako: Szablon:CentrujWzór W mechanice kwantowej operator energii mechanicznej na podstawie Szablon:LinkWzór piszemy zastępując odpowiednio energię kinetyczną przez operator energii kinetycznej, energię potencjalną przez operator mnożenia przez liczbę, zatem operator tej energii zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując definicję operatora energii kinetycznej Szablon:LinkWzór (dla pola potencjału wektorowego równego zero), wtedy operator energii mechanicznej Szablon:LinkWzór możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Operator Szablon:LinkWzór jest operatorem energii mechanicznej jednej cząstki. Operator Szablon:LinkWzór jest operatorem hermitowskim, bo energia kinetyczna jest operatorem hermitowskim, a cześć potencjalna też jest, bo ona jest operatorem mnożenia przez liczbę rzeczywistą.

Operator energii mechanicznej w polu elektromagnetycznym

W mechanice klasycznej energię mechaniczną w polu elektromagnetycznym, wykorzystując przy tym energię kinetyczną zdefiniowanej w punkcie Szablon:LinkWzór, definiujemy: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie Szablon:LinkWzór jest sumą energii kinetycznej T i sumy dwóch rodzajów energii potencjalnej, tzn. energii potencjalnej pola elektromagnetycznego (iloczynu ładunku i potencjału skalarnego) i energii potencjalnej zwykłego pola potencjalnego.

W mechanice kwantowej operator energii mechanicznej przedstawiamy na podstawie Szablon:LinkWzór zastępując tam wielkość energii kinetycznej i potencjalnej przez odpowiednie operatory, stąd otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując definicję operatora energii kinetycznej Szablon:LinkWzór, to operator całkowitej energii mechanicznej cząstki Szablon:LinkWzór możemy zapisać jako: Szablon:CentrujWzór Operator Szablon:LinkWzór jest operatorem energii mechanicznej w polu elektromagnetycznym jednej cząstki. Operator Szablon:LinkWzór jest operatorem hermitowskim, bo energia kinetyczna nim jest, a część potencjalna też jest, ponieważ jest ona operatorem mnożenia przez liczbę rzeczywistą.

Operator momentu pędu

W mechanice klasycznej wielkość momentu pędu definiujemy poprzez iloczyn wektorowy wektora położenia punktu materialnego przez wektorowo wektor pędu omawianego punktu materialnego. Szablon:CentrujWzór Operator momentu pędu czasami jest zwany wektorem operatora momentu pędu , czy też wektorem operatora momentu pędu uogólnionego , a nawet operatorem momentu pędu uogólnionego . Zastępując wszystkie wektory w Szablon:LinkWzór przez operatory tzn. wektor pędu przez wektor operatora pędu Szablon:LinkWzór, a wektor położenia przez wektor operatora położenia w postaci Szablon:LinkWzór, to wektor operatora momentu pędu zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór w którym występuje iloczyn wektorowy można przedstawić w postaci formalnego wyznacznika. Aby otrzymać z Szablon:LinkWzór (w postaci liczby) do Szablon:LinkWzór (w postaci operatorowej) należy w tym formalnym wyznaczniku zastąpić elementy położenia (drugi wiersz wyznacznika) przez operatory położenia Szablon:LinkWzór, a w trzecim wierszu należy zastąpić odpowiednie współrzędne pędu przez współrzędne operatora pędu Szablon:LinkWzór, po tych operacjach mamy formalną macierz, który jest rzeczywiście wektorem operatora momentu pędu. Szablon:CentrujWzór Z przestawienia macierzowego ogólnego wzoru macierzowego Szablon:LinkWzór można powiedzieć, że ta macierz z operatorami wyznaczamy tak samo jakby nie było operatorów, tylko liczby. Współrzędne operatora momentu pędu są: Szablon:ElastycznyWiersz Współrzędne operatora momentu pędu są standardowo wyznaczone we współrzędnych kartezjańskich, tzn. w prawoskrętnym prostokątnym układzie współrzędnych.

Kwadrat operatora momentu pędu we współrzędnych kulistych

Bardzo ważną wielkością jest kwadrat operatora całkowitego momentu pędu, przedstawia się on podobnie jak kwadrat operatora pędu, jako suma kwadratów współrzędnych operatora momentu pędu. Odpowiednie współrzędne operatora momentu pędu są to operatory zdefiniowane przez wzory Szablon:LinkWzór (współrzędna iksowa operatora momentu pędu), Szablon:LinkWzór (współrzędna igrekowa operatora momentu pędu), Szablon:LinkWzór (współrzędna zetowa operatora momentu pędu), zatem nasz omawiany obiekt zdefiniujmy rozpisując go w sposób: Szablon:CentrujWzór Z obliczeń powyższych dostajemy, że kwadrat operatora całkowitego momentu pędu jest zapisany przy pomocy operatora położenia Szablon:Formuła i operatora różniczkowania cząstkowego ∇ i operatora Δ, i ten nasz operator jest równy do równoważnego powyżej przedstawienia: Szablon:CentrujWzór A następnie policzmy pomocnicze wyrażenie operatorowe będące iloczynem wektora położenia Szablon:Formuła i operatora ∇, czyli coś w rodzaju pochodnej kierunkowej, stąd możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Nasz operator Szablon:LinkWzór na podstawie obliczeń pomocniczych Szablon:LinkWzór (to wyrażenie zależy tylko on od współrzędnych radialnych) jest równy wzorowi: Szablon:CentrujWzór Z definicji laplasjanu mamy wzór operatorowy zdefiniowanej poprzez operator Λ, który z kolei jest definiowany poprzez wielkości kątowe, które to będą nam potrzebne przy definicji rozważanego tutaj operatora: Szablon:CentrujWzór Dochodzimy więc do wniosku, że rozważany obiekt Szablon:LinkWzór na podstawie definicji operatora Δ we współrzędnych kulistych Szablon:LinkWzór, przedstawia się jak udowodnimy, tylko od operatora Λ: Szablon:CentrujWzór Dochodzimy więc do wniosku, że kwadrat operatora całkowitego momentu pędu na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór jest w postaci: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że Szablon:LinkWzór jest zdefiniowany poprzez operator Λ, czyli poprzez wielkości kątowe, zatem nasz operator nie zależy od wielkości współrzędnej radialnej r, ale tylko od współrzędnych kątowych w układzie kulistym.

Operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych

W rozdziale o metodach matematycznych fizyki napisaliśmy coś o kulistym układzie współrzędnym i wyraziliśmy współrzędne w układzie kartezjańskim względem kulistego układu współrzędnych i wyrażaliśmy operatory pochodnych cząstkowych operatora ∇ zdefiniowanych początkowo we współrzędnych kartezjańskich. Napiszmy ten operator względem współrzędnych kulistych, które będą nam potrzebne do wyrażenia współrzędnych operatora momentów pędu w tychże współrzędnych.

Mając operator momentu pędu iksowy znając jego definicję we współrzędnych kartezjańskich wedle wzoru operatorowego Szablon:LinkWzór i wyznaczmy czemu jest równy ten operator po podzieleniu go przez liczbę urojoną Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Na podstawie poprzednich obliczeń operator iksowego momentu pędu Szablon:LinkWzór napisaliśmy we współrzędnych kulistych po podzieleniu go przez stały czynnik Szablon:Formuła. W tym operatorze, jak udowodniliśmy zależy tylko ono od współrzędnych kątowej, to znaczy od współrzędnej azymutalnej(θ) i zenitalnej(φ), zatem ten operator jest napisany razem z tym czynnikiem: Szablon:CentrujWzór

Mając operator igrekowy momentu pędu zdefiniowanej w postaci operatorowej we współrzędnych kartezjańskich wedle Szablon:LinkWzór, przedstawmy go we współrzędnych kulistych zamieniając wszystkie te współrzędne kartezjańskie oraz operatory cząstkowe zdefiniowane we współrzędnych kartezjańskich na współrzędne kuliste, napiszemy go po podzieleniu przez liczbę urojoną: Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Na podstawie poprzednich obliczeń operator iksowy momentu pędu zdefiniowany we współrzędnych kartezjańskich Szablon:LinkWzór napiszemy go we współrzędnych kulistych co napiszemy go po podzieleniu przez stały czynnik (Szablon:Formuła). Jak zobaczymy zależy on tylko od współrzędnych kątowych, nic od współrzędnej radialnej, jest napisana razem z tym czynnikiem: Szablon:CentrujWzór

Mając operator momentu pędu zetowy przedstawiony we współrzędnych kartezjańskich w postaci operatorowej wedle Szablon:LinkWzór, w nim zamieńmy wszystkie jego współrzędne kartezjańskie i operatory pochodnych cząstkowych zdefiniowanych we współrzędnych karteziańskich na współrzędne kuliste, dalej wyznaczmy ten operator po podzieleniu go przez liczbę urojoną Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Na podstawie poprzednich obliczeń operator zetowy momentu pędu zdefiniowany we współrzędnych kartezjańskich Szablon:LinkWzór udowodniliśmy, że w przedstawieniu jego we współrzędnych kulistych i po podzieleniu go przez stały czynnik (Szablon:Formuła), że on nie zależy on od współrzędnej radialnej, ale też nie zależy od współrzędnej zenitalnej, natomiast po przeprowadzeniu powyższego dowodu zależy ona tylko od współrzędnej azymutalnej θ. Szablon:CentrujWzór Udowodniliśmy, że najprostszy operator momentu pędu we współrzędnych kulistych jest to operator zetowy momentu pędu, bowiem zależy tylko od jednej współrzędnej kulistej. Natomiast wszystkie współrzędne operatora momentu pędu zależą tylko od współrzędnych kątowych kulistych, ale nie od współrzędnej radialnej.

Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu

Przykładem operatorów niehermitowskich oprócz ostatniego poniżej w linijce, są operatory zdefiniowane poprzez operatory współrzędnych operatora momentu pędu w układzie kartezjańskich z definiowanych jako: Szablon:ElastycznyWiersz Wiedząc, że operatory współrzędnych pędu są to operatory hermitowskie, zatem operatory współrzędnych momentu pędu też są hermitowskie, zatem operatory Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła) i Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła) nie są to operatory hermitowskie, ponieważ czynnik urojony nie jest sam ze sobą sprzężony po hermitowsku. Można udowodnić kolejno dla operatora Szablon:LinkWzór, że jest on sprzężony po hermitowsku do operatora Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór A dla operatora Szablon:LinkWzór jest on sprzężony po hermitowsku z Szablon:LinkWzór, ponieważ czynnik -i zamienia się "i" po wyliczeniu jego sprzężenia hermitowskiego: Szablon:CentrujWzór Operator wedle definicji Szablon:LinkWzór jest równy ilorazowi operatora współrzędnej momentu pędu przez stałą rzeczywistą stałą proporcjonalności kreślonej Plancka, na tej postawie twierdzimy, że nasz rozważany tutaj operator jest operatorem hermitowskim, a więc ma wartości własne rzeczywiste, prawie takie same jak operator Szablon:Formuła natomiast funkcje własne posiadają one jednakowe. Szablon:CentrujWzór Operatory Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła), Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła), Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła) są to ważne operatory ułatwiające niektóre obliczenia w fizyce kwantowej.

Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych

Policzmy teraz operator Szablon:Formuła zdefiniowanych według Szablon:LinkWzór, we współrzędnych kulistych przy pomocy operatorów momentu pędu iksowego i igrekowego zdefiniowanego we współrzędnych kulistych według Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, to napiszemy: Szablon:CentrujWzór Operator Szablon:LinkWzór we współrzędnych kulistych na postawie obliczeń Szablon:LinkWzór jest zdefiniowany: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz operator Szablon:Formuła zdefiniowanych według Szablon:LinkWzór we współrzędnych kulistych przy pomocy operatorów momentu pędu iksowego i igrekowego zdefiniowanego we współrzędnych kulistych według Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, napiszemy: Szablon:CentrujWzór Operator Szablon:LinkWzór we współrzędnych kulistych na postawie Szablon:LinkWzór jest zdefiniowany w sposób: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz operator Szablon:Formuła zdefiniowanych według Szablon:LinkWzór we współrzędnych kulistych przy pomocy operatora zetowej współrzędnej momentu pędu we współrzędnych kulistych według Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Zatem na podstawie Szablon:LinkWzór dostajemy, że ten operator we współrzędnych kulistych jest jako: Szablon:CentrujWzór A więc operatory Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła), Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła) i Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła) można zdefiniować w zależności od współrzędnych kulistych, które jak udowodniono wcześniej nie są operatorami hermitowskimi (oprócz ostatniego), nawet w tymże współrzędnych kulistych, co nigdy nie powinno zmieniać tej naszej sytuacji. Tzn. gdy operator jest hermitowski w jednym układzie współrzędnym, to w innym też jest.