Matematyka ubezpieczeń życiowych/Rezerwy składek netto

Jak dotąd opisaliśmy za pomocą aparatu matematycznego zawarcie ubezpieczenia, napływanie składek i wypłacanie świadczeń. Wydawać by się mogło, że można na tym poprzestać. W tym rozdziale przekonamy się, że tak nie jest. Ubezpieczyciel powinien w każdym momencie znać wartość rezerw składek netto czyli kwoty jaką dysponuje na pokrycie nieuchronnie zbliżających się świadczeń jakie będzie musiał wypłacić z tytułu jego ubezpieczenia. Wiedza ta potrzebna jest nie tylko po to by zapanować nad zarządzanym kapitałem. Jest ona niezbędna w sytuacji konwersji polisy czyli zmiany jej warunków z uwzględnieniem dotychczas wniesionych składek. Przykładowo w sytuacji gdy ubezpieczony przez wiele lat regularnie wnosił składki, a w pewnym momencie nie jest już w stanie tego robić, to często taka polisa przekształcana jest w polisę bezskładkową o odpowiednio niższej kwocie świadczenia.

Dodatkowo jak się przekonamy rezerwy netto to nie tylko suma składek wniesionych przez ubezpieczonego. Produkty oferowane przez ubezpieczycieli zawierają w sobie zawsze element ryzyka. Jest ono związane m.in. z możliwością zgonu poza okresem objętym ubezpieczeniem, długością trwania wypłaty świadczenia w postaci renty lub długością trwania okresu opłacania składek. Istotnym czynnikiem kształtujących wysokość rezerwy jest właśnie to ryzyko.

Definicja i podstawowe wzory

W poprzednim rozdziale wprowadziliśmy pojęcie straty ubezpieczyciela $L$. Tu uogólnimy nieco to pojęcie wprowadzając pojęcie straty ${}_{k}L$ ubezpieczyciela po $k$ latach od wystawienia polisy. Tę zmienną losową definiuje się tak samo jak zwykłą stratę (czyli stratę w chwili zawarcia ubezpieczenia) z tą tylko różnicą, że przyjmuje się warunek, że ubezpieczony przeżyje $k$ lat od chwili zawarcia ubezpieczenia.

Rezerwą nazywać będziemy wartość oczekiwaną tej straty.

${}_k{V}_x:=E({}_{k}L).$

Ponieważ ${}_{0}L=L$ więc zachodzi oczywiście ${}_0{V}_x=E(L)=0.$

Przykład

${}_k{V}_{x:\bar{n}|}=A_{x+k:\overline{n-k}|}-P_{x:\bar{n}|}{\ddot{a}}_{x+k:\overline{n-k}|},\text{dla}k=0,1,\dots ,n-1$

Wzory

Poniżej przedstawiamy podstawowe wzory służące do kalkulacji rezerw:

${}_k{V}_x=A_{x+k}-P_x{\ddot{a}}_{x+k};$

${}_k{V}_x=1-(P_x+d){\ddot{a}}_{x+k}$

${}_k{V}_x=(1-\frac{P_x}{P_{x+k}})A_{x+k}$

${}_k{V}_x=(P_{x+k}-P_x){\ddot{a}}_{x+k}$

${}_k{V}_x=\frac{P_{x+k}-P_x}{P_{x+k}+d}$

${}_k{V}_x=\frac{A_{x+k}-A_x}{1-A_x}$

${}_k{V}_x=1-\frac{{\ddot{a}}_{x+k}}{{\ddot{a}}_x}$