Matematyka ubezpieczeń życiowych/Składki netto

Szablon:T Umowa ubezpieczeniowa jest umową dwustronną pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym. Określa ona jakie obowiązki z jakich wywiązać musi się każda ze stron. Z jednej więc strony określone są świadczenia wypłacane przez ubezpieczyciela, a z drugiej składki czyli płatności jakie odprowadza ubezpieczycielowi ubezpieczony. Zarówno świadczenia jak i składki mogą mieć charakter jednorazowych płatności lub ich ciągu o stałej lub zmiennej wartości. W sytuacji kalkulacji netto świadczenia i składki są sobie w sensie aktuarialnym równoważne. Oznacza to, że wartości oczekiwane przepływów finansowych będą równe.

Wprowadzimy teraz pojęcie straty ubezpieczyciela. Wielkość tą jest zmienną losową oznaczaną literą $L$ (ang. total loss) i będącą różnicą między wypłaconymi świadczeniami i zebranymi składkami dla danego ubezpieczonego. Składki będą ustalone na poziomie netto jeśli spełniona będzie równość

$E(L)=0.$

Literą używaną do oznaczania składek netto jest litera $P$ od angielskiego net premium.

Przykład

Obliczenie składki netto zobrazujemy na przykładzie bezterminowej polisy na życie, z wypłatą świadczenia na koniec roku zgonu. Przyjmijmy, że opłacane ono będzie stałą składką $P_x$ na początku każdego roku. Wtedy stratę ubezpieczyciela można wyrazić za pomocą całkowitej liczby $K$ pozostałych lat życia jako różnicę zdyskontowanej wypłaty świadczenia oraz wartości obecnej renty przemnożonej przez wartość składki

$L=v^{K+1}-P_x{\ddot{a}}_{\overline{K+1}|}.$

Wiemy, że musi zachodzić $E(L)=0$ zatem

$\begin{array}{cc}E(L)& =0\\ E(v^{K+1}-P_x{\ddot{a}}_{\overline{K+1}|})& =0\\ E(v^{K+1})-P_{x}E({\ddot{a}}_{\overline{K+1}|})& =0\\ A_x-P_x{\ddot{a}}_x& =0\\ P_x& =\frac{A_x}{{\ddot{a}}_x}.\\ \end{array}$

Przykład

Obliczmy składkę dla produktu ubezpieczeniowego wystawianego dla osoby płci męskiej w wieku 24 lat, opłacanego równymi składkami na początku roku do wieku 65 lat, w którym świadczenie jest dożywotnią rentą wypłacaną od 65 roku życia. Przyjmijmy techniczną stopę oprocentowania $i=5\mathrm{\%}$. Do kalkulacji należy posłużyć się tablicami trwania życia publikowanymi corocznie przez GUS w Monitorze Polskim. Jak zmieni się składka gdy wiek końca okresu składkowego i początku otrzymywania świadczeń zmieni się z 65 na 67 lat.

Rozwiązanie:

$v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1,05}\approx 0,952$

$x=24n=65-24=41$

Potrzebować będziemy następujących wartości:

• ${}_{41|}{\ddot{a}}_{24}$ wartość obecna renty bezterminowej odroczonej na 41 lat dla 24 latka, płatnej na początku każdego roku
• ${\ddot{a}}_{24:\overline{41|}}$ wartość obecna renty terminowej 41-letniej płatnej na początku każdego roku

Skorzystamy tu z własności

${}_{m|}{\ddot{a}}_x={}_m{p}_x{v}^m{\ddot{a}}_{x+m}$

${}_m{p}_x=\frac{l_{x+m}}{l_x}=\frac{l_{65}}{l_{24}}=\frac{72021}{98490}\approx 0,731$

Wartości poszczególnych rent możemy obliczyć za pomocą funkcji komutacyjnych

${\ddot{a}}_x=\frac{N_x}{D_x}$
${\ddot{a}}_{x:\bar{n}|}=\frac{N_x-N_{x+n}}{D_x}$

gdzie

$D_x=v^x{l}_x$
$N_x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_{x+k}$

W praktyce z konieczności sumowanie w powyższym wzorze odbywa się nie do nieskończoności tylko do maksymalnego wieku objętego tabelą.