Szczególna teoria względności/Podstawy teorii względności

Podstawy transformacji Galileusza i Lorentza

Prawa transformacyjne położenia ciała w czasoprzestrzeni z jednego układu współrzędnych do drugiego są: Szablon:CentrujWzór gdzie:

• położenie ciała w starym układzie współrzędnych:Szablon:Formuła, a także wielkości primowane w stosunku do poprzedniego mamy w postaci:Szablon:Formuła jako położenie ciała w nowym układzie współrzędnych,
• jeśli potraktować czas jako zerową współrzędną w (n+1)-wymiarowej czasoprzestrzeni.

Różniczka zmiany położenia danego ciała w czasie, korzystając z definicji różniczki zupełnej z analizy matematycznej jest przedstawiona: Szablon:CentrujWzór Załóżmy, że macierz występująca w Szablon:LinkWzór jest stałą o charakterze macierzowym, stąd dojdziemy, że ona opisuje układy płaskie (tensor Minkowskiego Szablon:Formuła) i inercjalne (Szablon:Formuła). Ciało, które ma położenie w starym układzie współrzędnych w czasoprzestrzeni Szablon:Formuła, po przesunięciu tego układu o wektor Szablon:Formuła, wtedy to ciało ma położenie Szablon:Formuła, co tą transformację możemy pisać: Szablon:CentrujWzór

• gdzie Szablon:Formuła jest pewną stałą wektorową, a wektor Szablon:Formuła jest to położenie ciała w układzie przed przesunięciem, a Szablon:Formuła po przesunięciu.

Jak zachodzi w starym układzie współrzędnych Szablon:LinkWzór (bez primów) to podobnie jest dla nowego układu współrzędnych (tylko, że z primami).

Możemy wykorzystać Szablon:LinkWzór bez primów i z primami do wzoru na nieskończenie małą zmianę położenia ciała w czasoprzestrzeni w nowym układzie współrzędnych względem jego starego wychodząc ze wzoru Szablon:LinkWzór dla Szablon:Formuła pamiętając, że zachodzi Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, stąd: Szablon:CentrujWzór W układzie według teorii Einsteina wynika, że równanie Szablon:LinkWzór nie zależy od tego o jaki wektor Szablon:Formuła przesuniemy stary i wektor Szablon:Formuła nowy układ współrzędnych, postać transformacji Szablon:LinkWzór dla Szablon:Formuła transformujące się do Szablon:Formuła i Szablon:Formuła transformujące się do Szablon:Formuła jest z dokładnością do stałej wektorowej taka sama (bo ta pochodna dla dowolnego Szablon:Formuła jest stałą w Szablon:LinkWzór, dlatego że zachodzi Szablon:LinkWzór (końcowy wzór)), zatem przedostatni wzór w Szablon:LinkWzór opisuje to samo, co wzór Szablon:LinkWzór, pamiętając o udowodnionej stałości pochodnej: Szablon:Formuła, wtedy ta postać transformacji spełnia zasadę jednorodności przestrzeni i czasu, a transformacja ze starego układu współrzędnych do nowego przedstawia się: Szablon:Określenie Na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór transformacja współrzędnych ze starego układu do nowego piszemy: Szablon:CentrujWzór

• gdzie Szablon:Formuła.

Wektor wodzący ciała odniesienia względem którego będziemy określać położenie w nowym układzie współrzędnych z oczywistych powodów jest równa zero, zatem wzór Szablon:LinkWzór możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Jeśli we wzorze Szablon:LinkWzór wyznaczymy wielkość Szablon:Formuła i podstawimy go do wzoru Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy wzór na transformację położenia ciała w starym układzie odniesienia na nowy układ. Wiedząc jakie jest położenie w przestrzeni ciała odniesienia w starym układzie odniesienia i w tym układzie możemy otrzymać położenie ciała w nowym układzie odniesienia i wiedząc jakie jest położenie ciała w czasoprzestrzeni (n+1)-wymiarowej w starym układzie współrzędnych możemy otrzymać położenie ciała w nowym układzie współrzędnych znając położenie stałe nowego układu współrzędnych Szablon:Formuła względem starego układu współrzędnych, wtedy: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór jest spełniony, gdy stary i nowy układ współrzędnych są układami ogólnie nieprostokątnymi, w którym dla czasoprzestrzeni mamy Szablon:Formuła.

Tożsamość na część macierzy transformacji M na MSzablon:Sub

Wyprowadźmy wzór na wielkość MSzablon:Sub zakładając stałość macierzy Szablon:Formuła, wiemy jednak przecież, że prędkość ciała odniesienia, względem którego będziemy określać położenie w nowym układzie współrzędnych jest napisana Szablon:Formuła, i dalej zróżniczkujmy wzór Szablon:LinkWzór względem czasu w starym układzie współrzędnych i wyznaczmy z niego tą wspomnianą macierz: Szablon:CentrujWzór Z końcowych rozważań Szablon:LinkWzór możemy napisać, że pierwszą kolumnę bez zerowego wiersza macierzy transformacji przedstawiamy: Szablon:CentrujWzór