Fizyka statystyczna/Zespoły statystyczne w fizyce statystycznej kwantowej

Kwantowy zespół statystyczny - jest to układ termodynamiczny opisywanych według prawideł mechaniki kwantowej, którego stan jest opisywany przez hamiltonian Szablon:Formuła.

Operator gęstości w statystyce kwantowej

Rozważmy układ termodynamiczny, w którym Szablon:Formuła oznacza stan kwantowy układu. W tym układzie postulujemy istnienie zespołu statystycznego. Ten zespół określa z pośród L kopi danego układu prawdopodobieństwa, że dany układ (kopia) znajduje się w ściśle określonym stanie kwantowym. Będziemy oznaczać wszystkie uogólnione współrzędne wszystkich cząstek wchodzących w skład układu przez literkę x. Niech stanem kwantowym naszego układu określa funkcja kwantowa (falowa) k-ta. W ogólności każda kopia z pośród z L określa inna funkcja falowa oznaczona innym k.

Równanie falowe w mechanice kwantowej zależne od czasu jest reprezentowane przez: Szablon:CentrujWzór Kolejne warunki jakie funkcja falowa powinna spełniać, która jest rozwiązaniem równania falowego Szablon:LinkWzór powinna spełniać warunek ortogonalności i zupełności, a te warunki są podane poniżej: Szablon:ElastycznyWiersz Całkowita funkcja falowa, która jest rozwiązaniem równania Szablon:LinkWzór jest kombinacją liniową (w funkcjach dyskretnej ortogonalnej bazy), którego współczynniki Szablon:Formuła są współczynnikami rozwinięcia całkowitej funkcji falowej rozwiązania wspomnianego równania mających wygląd: Szablon:CentrujWzór gdzie:

• "k" jest to numer funkcji falowej opisującej dany stan kwantowy o tym numerze, liczba tych wszystkich układów jest "L", które muszą być opisane w ogólności funkcją Szablon:Formuła, którego norma nie musi być jeden.
• Szablon:Formuła są to aplitudy prawdopodobieństwa,
• Szablon:Formuła,jest to prawdopodobieństwo tego, że układ znajduje się w stanie opisywany przez wektor bazy ortogonalnej rozwiązania równania falowego zależnego od czasu ψSzablon:Sub(x).

Wartości średnie operatora Szablon:Formuła możemy w taki sposób napisać, gdy mamy L kopii układu, którego badamy. W liczniku oraz w mianowniku poniższego równania jest dzielenie przez liczbę L i które to wyrażania są pewnymi sumami, w liczniku i mianowniku jest tam w sumie L wyrazów, każde dla innego układu z ogólnej ich liczby L. Każdy składnik w mianowniku po podzieleniu przez L jest jakoby prawdopodobieństwem , że wybierzemy pewny układ z L, a w nim pewny parametr z prawdopodobieństwem Szablon:Formuła. Ze względu na z ortogonalizowane funkcje własne, które są rozwiązaniami powyższego równania Szablon:LinkWzór, to wyrażenie jest coś w rodzaju wartości średniej, dla pojedynczego układ z L wartości własnej operatora Szablon:Formuła dla funkcji gęstości prawdopodobieństwa policzonej według Szablon:LinkWzór, a 1/L jest prawdopodobieństwem, że dany układ jako kopie z L istnieje, zatem średnia wartość omawianego operatora dla L układów, z definicji średniej ważonej, jest napisana: Szablon:CentrujWzór Jest to podwójna gęstość prawdopodobieństwa, jest to średnia średnich, czyli mając średnią danej kopii układu względem omawianego operatora, a później badając L układów, to policzyć możemy średnią dla L kopii układów. Zakładamy, nie pomijając ogólności wykładu, że funkcja Szablon:Formuła jest unormowana do jedynki, w każdym bodź razie możemy tak zrobić, tzn.:Szablon:Formuła, co według tego możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór na wartość średnią naszego operatora na podstawie warunku z unormowania operatorów funkcji własnych rozwiązania równania własnego, wtedy jest spełnione Szablon:LinkWzór, zatem nasze wspomniane wyrażenie przy tych dysputach przyjmuje kształt: Szablon:CentrujWzór Rozwijamy funkcję Szablon:Formuła w szereg w funkcjach bazy naszego zespołu według Szablon:LinkWzór, wtedy równanie Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Oznaczmy, że elementami macierzowymi operatora Szablon:Formuła względem funkcji własnych bazy ortogonalnej o numerach n i m są w postaci: Szablon:CentrujWzór Przyjmijmy, że elementy macierzowe operatora gęstości są zdefiniowane: Szablon:CentrujWzór Korzystając ze wzoru na elementy macierzowe operatora gęstości Szablon:LinkWzór i też ze wzoru na średnią wartość operatora Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór względem jego elementów macierzowych Szablon:LinkWzór, piszemy: Szablon:CentrujWzór Z równania Szablon:LinkWzór dostajemy równanie na średnią wartość operatora Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Tożsamość na średnią wartość operatora Szablon:Formuła jest napisana poprawnie, gdy ślad operatora gęstości jest równy jeden. Udowodnijmy czemu jest równy mianownik w tożsamości Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór udowodniliśmy, że ślad operatora gęstości jest równe mianownikowi wyrażenia Szablon:LinkWzór i jeśli zachodzi Szablon:LinkWzór, to ten ślad jest równy jeden. Uogólniając wniosek, mówimy że średnia operatora Szablon:Formuła analogicznie do równania Szablon:LinkWzór przy dowodzie Szablon:LinkWzór, gdy funkcja Szablon:Formuła nie jest unormowana do jedynki, wtedy to równanie przyjmuje bardziej ogólną postać do równania poprzednio wspomnianego: Szablon:CentrujWzór Gdy zachodzi Szablon:LinkWzór, wtedy nieprawdą jest, że ślad operatora gęstości jest równy jeden. Operator, dla którego elementy macierzowe operatora Szablon:Formuła są przedstawione wedle wzoru, tzn.:Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, to ten operator można zapisać wedle: Szablon:CentrujWzór Widząc definicję na Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, wtedy możemy policzyć jej pochodną cząstkową względem czasu pomnożonej przez iloczyn stałej kreślonej Plancka przez jednostkę urojoną: Szablon:CentrujWzór Stosując rozwiązanie równania falowego rozwiniętego w funkcjach ortogonalnej bazy Szablon:LinkWzór do równania zależnego od czasu mechaniki kwantowej Szablon:LinkWzór, to dochodzimy wtedy do wniosku: Szablon:CentrujWzór Teraz mnożymy obie strony tożsamości Szablon:LinkWzór przez funkcję falową ortogonalnej bazy o numerze m, czyli przez funkcją ψSzablon:Sub(x): Szablon:CentrujWzór Z tożsamości udowodnionej przy pomocy obliczeń w punkcie Szablon:LinkWzór możemy przepisać jego skrajne wyrazy, by potem przeprowadzać kolejne wnioski. Szablon:CentrujWzór Z definicji elementów macierzowych i definicji iloczynu skalarnego sprzężenie zespolone elementu macierzowego hamiltonianu o numerach "m" i "p" jest równe elementowi macierzowemu, ale z odwróconą jego numeracją, tzn. "p" a później" m": Szablon:CentrujWzór Zatem policzmy sprzężenie równiania Szablon:LinkWzór wykorzystując przy tym udowodniony warunek Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Stosując równanie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór i to wszystko podstawiając do równania opisującego propagację elementu macierzowego operatora gęstości Szablon:LinkWzór, oczywiste jest: Szablon:CentrujWzór Napiszmy teraz równanie Szablon:LinkWzór, który jest wersji macierzowej w jego wersję operatorową przy pomocy definicji operatora komutacji: Szablon:CentrujWzór Niech operator gęstości będzie napisany wedle sposobu poniżej, który jest zależny od operatora całkowitej energii układu i od czasu, ale też od operatora gęstości w czasie zerowym Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór gdzie Szablon:Formuła jest to operator ewolucji Szablon:LinkWzór. Sprawdźmy, czy operator gęstości z definiowanej według Szablon:LinkWzór zależy od czasu, w tym celu obliczmy jego pochodną cząstkową względem czasu: Szablon:CentrujWzór W Szablon:LinkWzór skorzystaliśmy, że operator Szablon:Formuła komutuje z innymi operatorami zależnymi tylko od niego samego Szablon:Formuła, zatem jeśli będziemy przyjmować, że operator gęstości zależy tylko od operatora całkowitej energii układu wedle sposobu Szablon:Formuła, to operator gęstości wedle tej definicji nie zależy w ogóle od czasu, tzn.: Szablon:CentrujWzór Jeśli wszystkie kopie badanego układu zespołu statystycznego są w tym samym stanie co oznacza Szablon:Formuła, to równość na element macierzowy operatora gęstości zapisujemy według Szablon:LinkWzór w postaci: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy kwadrat operatora gęstości zdefiniowanej wedle wzoru Szablon:LinkWzór, tzn.: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór dochodzimy do wniosku, że operator Szablon:Formuła jest operatorem rzutowym (idempotentny). A więc jego wartości własne to są 0 i 1. Napiszmy jeszcze raz dla Szablon:LinkWzór przy definicji operatora gęstości zależnego od hamiltonianu, jeśli zachodzi Szablon:LinkWzór i jednocześnie ψSzablon:Sub(x) są stanami własnymi operatora energii, bo ono jest rozwiązaniem równania własnego operatora niezależnego od czasu całkowitej energii, wtedy mamy: Szablon:CentrujWzór Dochodzimy do wniosku, jeśli elementy macierzowe operatora gęstości nie zależą od czasu, to musi zachodzić na pewno m=n. Na podstawie Szablon:LinkWzór, gdy zachodzi warunek na operator gęstości Szablon:LinkWzór, to elementy macierzowe operatora gęstości posiadają nieznikające elementy diagonalne, tzn. występują tylko na jego przekątnej, a pozostałe elementy są oczywiście równe zero: Szablon:CentrujWzór Na podstawie wzoru na elementy macierzowe operatora gęstości Szablon:LinkWzór i zachodzącej tożsamości Szablon:LinkWzór, możemy napisać elementy macierzowe operator gęstości wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór Jeśli zachodzi Szablon:Formuła, który jest prawdopodobieństwem, że stan n jest realizowany dla k-tej kopi układu z L, zatem diagonalne jego elementy macierzy gęstości są napisane: Szablon:CentrujWzór Z obliczeń na diagonalnych elementach macierzowych operatora gęstości Szablon:LinkWzór wynika warunek: Szablon:CentrujWzór Dochodzimy do wniosku, że elementy diagonalne tegoż operatora mają sens prawdpodobieństwa.

Gdy operator gęstości jest zdefiniowany wedle wzoru Szablon:LinkWzór, to wtedy jest spełniony na pewno warunek na ten operator Szablon:LinkWzór. Tylko istnieje jeden problem, nie znamy operatora gęstości dla czasu t=0, i z tego względu musimy postulować wygląd tego operatora w czasie początkowym.

Zespół mikrokanoniczny

Zespół mikrokanoniczny jest definiowany podobnie jak zespole klasycznej, jego odpowiednika. Przyjmujemy, że jest to układ izolowany, tzn. nie może być wymiany energii, ani masy, ale także liczby cząstek, a objętość jest stała. Kwantowa interpretacja tego rozkładu dla współczynników Szablon:Formuła występująca w definicji elementu macierzowego operatora gęstości jest: Szablon:CentrujWzór Operator gęstości Szablon:LinkWzór w zespole mikrokanonicznym przyjmuje wygląd: Szablon:CentrujWzór Można udowodnić, że elementami macierzowymi operatora gęstości Szablon:LinkWzór są elementy diagonalne równe jeden. A oto dowód: Szablon:CentrujWzór A ślad operatora Szablon:LinkWzór jest napisany wedle sposobu poniżej, jak się przekonamy jest ona równa prawdopodobieństwu termodynamicznemu z jakim istnieje pewien układ statystyczny: Szablon:CentrujWzór Termodynamikę określamy definiując entropię według wzoru w zależności od prawdopodobieństwa termodynamicznego Szablon:LinkWzór, która nadal jest słuszna (tak jak w mechanice klasycznej) w mechanice kwantowej, która jest w pewnym stopniu mechaniką dyskretną.

Zespół kanoniczny (T,V,N,t)

Jest to układ zamknięty, w którym temperatura ,objętość, liczba cząstek i czas są stałe. Natomiast układ może wymieniać energię między otoczeniem a układem. Poszczególne poziomy są opisywane przez funkcje falowe Szablon:Formuła są unormowane do jedynki , a także wzór na operator gęstości, którego elementy macierzowe są diagonalne, które są zdefiniowane wedle Szablon:LinkWzór, piszemy: Szablon:CentrujWzór Elementami macierzowymi operatora gęstości Szablon:LinkWzór są z definicji elementami macierzowymi dowolnego operatora o nieznikających diagonalnych elementach, które są prawdopodobieństwami, że układ statystyczny będzie posiadał energię o wartości ESzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Tutaj elementy macierzowe operatora gęstości są unormowane do jedynki jak bardzo łatwo można wykazać.

Wielki zespół kanoniczny (T,V,μ,t)

Jest to układ, w którym temperatura, objętość, czas, potencjał chemiczny i czas są stałe, natomiast liczba cząstek jest wielkością nie stałą. Poszczególne poziomy są opisywane przez funkcje falowe Szablon:Formuła są unormowane do jedynki, a także wzór na operator gęstości, którego elementy macierzowe są diagonalne, które są zdefiniowane wedle Szablon:LinkWzór, piszemy: Szablon:CentrujWzór Elementami macierzowymi operatora gęstości Szablon:LinkWzór są z definicji elementów macierzowych dowolnego operatora, które są prawdopodobieństwami, że układ statystyczny będzie posiadał energię o wartości ESzablon:Sub i liczbę cząstek NSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Tutaj elementy macierzowe operatora gęstości są unormowane do jedynki jak bardzo łatwo można wykazać.

Zespół kanoniczny (T,p,N,t)

Jest to układ, w którym temperatura, ciśnienie i liczba cząstek i czas są stałe, natomiast objętość jest wielkością niestałą. Poszczególne poziomy są opisywane przez funkcje falowe Szablon:Formuła są unormowane do jedynki, a także wzór na operator gęstości, którego elementy macierzowe są diagonalne, które są zdefiniowane wedle Szablon:LinkWzór, piszemy: Szablon:CentrujWzór Elementami macierzowymi operatora gęstości Szablon:LinkWzór są z definicji elementów macierzowych dowolnego operatora, które są prawdopodobieństwami, że układ statystyczny będzie posiadał energię o wartości ESzablon:Sub i objętość VSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Tutaj elementy macierzowe operatora gęstości są unormowane do jedynki jak bardzo łatwo można wykazać.

Zespół kanoniczny (T,p,μ,t)

Jest to układ, w którym temperatura, ciśnienie, potencjał chemiczny i czas są stałe, natomiast objętość i liczba cząstek są wielkościami nie stałymi. Poszczególne poziomy są opisywane przez funkcje falowe Szablon:Formuła są unormowane do jedynki, a także wzór na operator gęstości, którego elementy macierzowe są diagonalne, które są zdefiniowane wedle Szablon:LinkWzór, piszemy: Szablon:CentrujWzór Elementami macierzowymi operatora gęstości Szablon:LinkWzór są z definicji elementów macierzowych dowolnego operatora, które są prawdopodobieństwami, że układ statystyczny będzie posiadał energię o wartości ESzablon:Sub, objętość VSzablon:Sub i liczbę cząstek NSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Tutaj elementy macierzowe operatora gęstości są unormowane do jedynki jak bardzo łatwo można wykazać.

Zespół kanoniczny (T,p,μ,ω)

Jest to układ, w którym temperatura, ciśnienie oraz potencjał chemiczny i czasowy są stałe, natomiast objętość, liczba cząstek i czas są wielkościami nie stałymi. Poszczególne poziomy są opisywane przez funkcje falowe Szablon:Formuła są unormowane do jedynki, a także wzór na operator gęstości, którego elementy macierzowe są diagonalne, które są zdefiniowane wedle Szablon:LinkWzór, piszemy: Szablon:CentrujWzór Elementami macierzowymi operatora gęstości Szablon:LinkWzór są z definicji elementów macierzowych dowolnego operatora, które są prawdopodobieństwami, że układ statystyczny będzie posiadał energię o wartości ESzablon:Sub, objętość VSzablon:Sub i liczbę cząstek NSzablon:Sub oraz był w czasie tSzablon:Sub jest: Szablon:CentrujWzór Tutaj elementy macierzowe operatora gęstości są unormowane do jedynki jak bardzo łatwo można wykazać.