Statystyka matematyczna/Centralne twierdzenie graniczne

Centralne twierdzenie graniczne - gdy wykonamy n → ∞ czyli nieskończenie wiele pomiarów, a w praktyce bardzo dużą liczbę pomiarów, tzn. Ω>>1, to rozkład statystyczny przechodzi w rozkład normalny. Tutaj liczbą stopni swobody jest ilość doświadczeń przeprowadzonych na obiekcie S. Wiemy jednak, że poszczególne wyniki doświadczalne podlegają rozkładowi normalnemu, ale czy ich średnie arytmetyczne również, tego nie wiadomo. Poniżej przedstawimy, że jednak tak jest, że rozkład dotyczący rozkładu średniej arytmetycznej jest również rozkładem normalnym.

Jeśli jest spełnione to twierdzenie, uzasadnione jest stosowanie dla dużej liczby pomiarów rozkładu normalnego napisanej jako rozkład średniej arytmetycznej lub jako rozkład sumy wszystkich pomiarów, ponieważ mimo, że liczba tych pomiarów nie jest naprawdę nieskończenie duża, to twierdzenie jest w miarę dobrze spełnione, przy tych ograniczonych warunkach.

Dowód twierdzenia "Centralne twierdzenie graniczne"

W n-próbach prawdopodobieństwo uzyskania tych samych średnich arytmetycznych Szablon:Formuła jest przedstawiona w podobny sposób jak rozkład wyników pomiarów w próbie, czyli według Szablon:LinkWzór, co na tej podstawie możemy uzyskać prawdopodobieństwo uzyskania wartości średnich arytmetycznych w próbach: Szablon:CentrujWzór Jak udowodniliśmy w punkcie Szablon:LinkWzór, że rozkład tych samych średnich arytmetycznych w próbach podlega pewnemu rozkładowi, a więc w próbach uzyskanie tych średnich podlega ciągłemu rozkładowi normalnemu w przypadku quasiciągłym podstawiając definicję Szablon:LinkWzór na Szablon:Formuła jest przedstawiona w sposób: Szablon:CentrujWzór Naszym krokiem jest znormalizowanie funkcji gęstości prawdopodobieństwa Szablon:LinkWzór średniej arytmetycznej, zatem dochodzimy do wniosku, że stała FSzablon:Sub jest napisana wzorem poniżej tak jak w punkcie Szablon:LinkWzór, ale w tym przypadku odchylenie standardowe jest odchyleniem standardowym średniej arytmetycznej. Szablon:CentrujWzór Zatem nasz rozkład statystyczny średniej arytmetycznej Szablon:LinkWzór przy wykorzystaniu warunku Szablon:LinkWzór jest pisany: Szablon:CentrujWzór Można również udowodnić, na podstawie tego samego kształtu rozkładu gęstości prawdopodobieństwa średniej arytmetycznej Szablon:LinkWzór, co w rozkładzie gęstości prawdopodobieństwa pomiaru Szablon:LinkWzór, że wariancja średniej arytmetycznej jest równa Szablon:Formuła w naszym wyprowadzonym rozkładzie. Rozkład Szablon:LinkWzór jest rozkładem normalnym średniej arytmetycznej wokół wartości dokładnej xSzablon:Sub, co zostało udowodnione nasze powyższe twierdzenie napisane w tym tytule.

Rozkład statystyczny sumy wyników pomiarów

Aby udowodnić, że suma pomiarów podlega rozkładowi normalnemu, należy skorzystać tutaj ze wzoru Szablon:LinkWzór (rozkładu uzyskania średniej arytmetycznej w próbie) i wykorzystać definicję wartości średniej arytmetycznej n pomiarów, zatem wedle: Szablon:CentrujWzór Obierzmy zmienną ξ zdefiniowaną jaką sumę pomiarów uzyskanych wyników w doświadczeniu, którego definicja jest poniżej, a także jego wartość dokładną, też zdefiniowaną poniżej: Szablon:ElastycznyWiersz Następnie w celu wyznaczania wariancji sumy pomiarów Szablon:LinkWzór korzystamy ze wzoru Szablon:LinkWzór przy założeniu, że poszczególne pomiary są niezależne od siebie, zatem ich kowariancja jest równa zera, zatem na podstawie tych rozważań można napisać, że wariancja wyrażenia ξ jest sumą wariancji poszczególnych pomiarów: Szablon:CentrujWzór Zatem nasz rozkład Szablon:LinkWzór po uwzględnieniu Szablon:LinkWzór oraz Szablon:LinkWzór, a także wzoru Szablon:LinkWzór, przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Można udowodnić, że w wyniku normalizacji rozkładu Szablon:LinkWzór gęstość prawdopodobieństwa Szablon:Formuła całkuje się do jedynki względem Szablon:Formuła, a kwadrat odchylenia od wartości średniej całkuje się do Szablon:Formuła też względem tej samej zmiennej. Udowodniliśmy, że zmienna zdefiniowana wzorem Szablon:LinkWzór ma rozkład normalny z wariacją Szablon:LinkWzór, zatem nasz rozważany rozkład jest określony według wzoru Szablon:LinkWzór i jest to rozkład normalny.

Funkcja charakterystyczna a "Centralne twierdzenie graniczne"

Z własności funkcji charakterystycznej wiemy jednak, że jego wartość funkcji charakterystycznej w punkcie t równej zero jest równa jeden, co wynika z Szablon:LinkWzór, a pierwsza pochodna jest wyrażona według Szablon:LinkWzór oraz druga pochodna jest wyrażona według Szablon:LinkWzór, zatem rozwińmy tą funkcję charakterystyczną w szereg Taylora wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór W prowadźmy nową zmienną zdefiniowaną przy pomocy wyników pomiarów xSzablon:Sub, wartości dokładnej xSzablon:Sub, odchylenia standardowego pojedyńczego wyniku pomiaru σ(x) i względem ilości przeprowadzonych pomiarów, zatem jego definicja jest: Szablon:CentrujWzór

Policzmy funkcję charakterystyczną względem nowej zmiennej zdefiniowanej w punkcie Szablon:LinkWzór, zatem z oczywistych powodów otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Skorzystajmy z rozwinięcia funkcji φSzablon:Sub(t) w szereg Taylora wedle sposobu Szablon:LinkWzór, zatem po tych operacjach dostajemy funkcję charakterystyczną pojedynczego pomiaru xSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Z definiujmy inną nową zmienną zależną "u" jako sumę nowych zmiennych losowych Szablon:LinkWzór, zatem wtedy dochodzimy do wniosku, że tą zmienną możemy wyznaczyć względem zmiennej sumy "n" pomiarów Szablon:LinkWzór, którego wartość dokładna jest Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Funkcja charakterystyczna na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór i wedle twierdzenia Szablon:LinkWzór dla n-doświadczeń jest iloczynem n takich wspomnianych funkcji charakterystycznych: Szablon:CentrujWzór Funkcja Szablon:LinkWzór jest to funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego standardowego Szablon:LinkWzór względem zmiennej Szablon:LinkWzór na podstawie Szablon:LinkWzór, który zachodzi dla specyficznych wartości dokładnej i odchylenia standardowego. Rozkład normalny jest napisany: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy gęstość prawdopodobieństwa względem zmiennej ξ, zatem infinitezymalne prawdopodobieństwo, które jest niezmiennicze ze względu na zmienną, względem której liczymy tę funkcję gęstości prawdopodobieństwa: Szablon:CentrujWzór Jeśli skorzystamy ze wzoru Szablon:LinkWzór, a także z gęstości prawdopodobieństwa zmiennej u Szablon:LinkWzór, to gęstość prawdopodobieństwa, uzyskania zmiennej sumy pomiarów Szablon:LinkWzór wokół wartości dokładnej tej zmiennej Szablon:LinkWzór, jest wyrażona: Szablon:CentrujWzór Można sprawdzić, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa Szablon:LinkWzór jest unormowana do jedynki i posiada wariancję σSzablon:Sup(ξ).

Wzór Szablon:LinkWzór jest taki sam jak wzór zapisany w punkcie Szablon:LinkWzór, tylko innym sposobem udowodniliśmy, że zmienna Szablon:LinkWzór podlega rozkładowi normalnemu.