Liczby zespolone/Postać wykładnicza

Postać wykładnicza

Euler zauważył, że mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej jest dość charakterystyczne. Jeden czynnik poddawany jest normalnej operacji, a drugi zachowuje się podobnie do wykładnika potęgi. Przypomnijmy sobie, że mnożąc dwie liczby, podnoszone do potęgi y, posiadające tę samą podstawę n, opatrzoną różnymi parametrami x: $(x_1)n^{y_1}\cdot (x_2)n^{y_2}$ otrzymamy wynik $(x_1\cdot x_2)n^{y_1+y_2}$. Podobieństwo jest zauważalne - przy tej operacji przecież mnożymy dwa parametry x i dodajemy parametry y.

Przeprowadzając skomplikowane dowody matematyczne, na złożonych obliczeniowo szeregach i własnościach logarytmów, udało mu się uzyskać potężne narzędzie łączące ze sobą prawa arytmetyki i algebry - zespolony eksponencjalny (wykładniczy) opis rzeczywistych funkcji trygonometrycznych. Oczywiście, pominiemy wszystkie te niezwykle trudne do ogarnięcia obliczenia i intrygująco brzmiące nazwy, którymi parają się zawodowi matematycy, i przejdziemy do sedna sprawy.

Euler dowiódł, że wartości funkcji trygonometrycznych można zapisać w szczególnej postaci zespolonych potęg liczby o podstawie e (której symbol e nadano właśnie na cześć Eulera): Szablon:Wzór

Stąd wystarczy tylko przeanalizować znany nam wcześniej fragment postaci trygonometrycznej: $\cos \psi +i\sin \psi =\frac{e^{i\psi }+e^{-i\psi }}{2}+i\frac{e^{i\psi }-e^{-i\psi }}{2i}=\frac{e^{i\psi }+e^{-i\psi }+e^{i\psi }-e^{-i\psi }}{2}=e^{i\psi }$