Liczby zespolone/Moduł liczby

Moduł liczby zespolonej

Wartość bezwzględna liczb rzeczywistych była tak zwaną normą - liczbą określającą odległość liczby rzeczywistej od początku układu współrzędnych, bez względu na miejsce, w którym się ta liczba znajdowała. Liczby rzeczywiste przedstawione są na jednej osi - tak więc mogły znajdować się tylko po lewej lub po prawej stronie układu współrzędnych, np. w tej samej odległości = |4| od początku osi liczb rzeczywistych znajdują się dwie liczby: +4 oraz -4.

Nie powinniśmy mieć też problemów z określeniem odległości w przestrzeni liczb zespolonych, które mogą przecież leżeć po bokach osi $ℝ$. O ile tylko $i$ potraktujemy jako jednostkę osi urojonej - będziemy mogli rozpatrzyć położenie liczby względem początku nie tylko jednej osi rzeczywistej Re, ale również względem początku osi urojonej Im, w sposób znany nam doskonale z układu kartezjańskiego ${ℝ}^2$.

Postarajmy się więc odnaleźć odległość danej liczby od początku układu współrzędnych. Szybko zauważymy, że możemy skorzystać z własności trójkąta prostokątnego z przyprostokątnymi o wartościach: a równej części rzeczywistej $\mathrm{Re}(z)$ i b równej części urojonej $\mathrm{Im}(z)$. Wartość bezwzględna $|z|$ będzie określała odległość $z$ od początku układu współrzędnych. Aby wyznaczyć wzór na tę odległość - skorzystać musimy z Twierdzenia Pitagorasa, dla trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej c: $c^2=a^2+b^2$. Skoro wartość c równa jest odległości liczby $z$ od punktu $(0,0)$ - oznacza to, że znaleźliśmy ogólny przepis na wartość bezwzględną $|z|$:

Stąd też można napisać, że: Szablon:Wzór

Własności modułu

Moduł liczby zespolonej posiada identyczne własności, co wartość bezwzględna dwumianów:

1. Moduł liczby zespolonej $z$, sprzężonej $\bar{z}$, i przeciwnej $-z$:

   $|\bar{z}|=|z|=|-z|$

2. Kwadrat modułu liczby zespolonej:

   $|z{|}^2=z\cdot \bar{z}$,

3. Moduł iloczynu liczb zespolonych:

   $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$,

4. Moduł ilorazu liczb zespolonych:

   $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$,  o ile $z_2\ne 0$,

Moduł sumy liczb zespolonych ma również szczególne właściwości:

1. Moduł sumy liczb zespolonych:

   $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$,

2. Moduł różnicy liczb zespolonych:

   $|z_1-z_2|\ge |z_1|-|z_2|$,

3. Moduł części rzeczywistej:

   $|\mathrm{Re}(z)|\le |z|$,

4. Moduł części urojonej:

   $|\mathrm{Im}(z)|\le |z|$,