Astrofizyka/Wielki rozkład kanoniczny

Mechanika statystyczna (lub fizyka statystyczna) to gałąź fizyki zajmująca się układami wielu oddziałujących ciał. Specyfiką tej teorii jest jej metoda. Fizyczną podstawą mechaniki statystycznej jest termodynamika fenomenologiczna.

Z mechaniki statystycznej można wydzielić teorię stanów równowagi termodynamicznej. Ta teoria jest daleko bardziej rozwinięta niż teoria nierównowagowa. Powszechnie używa się tu tzw. formalizmu sumy statystycznej.

Entropia mikroskopowa, czynnik Boltzmanna i suma statystyczna

Podstawą mechaniki statystycznej (fizyki statystycznej) jest definicja entropii pochodząca od Ludwiga Boltzmanna:

Entropia mikroskopowa układu jest proporcjonalna do logarytmu liczby mikroskopowych stanów układu.

Współczynnik proporcjonalności oznaczany przez k nazywany jest stałą Boltzmanna. Z tej definicji wynika, że gdy układ w stanie mikroskopowym o energii E jest w równowadze termicznej z termostatem o temperaturze T (β=1/kT), to prawdopodobieństwo tego stanu jest proporcjonalne do:

$\exp (-\beta E)$

tę wielkość nazywamy czynnikiem Bolzmanna. Te wszystkie prawdopodobieństwa dla różnych stanów mikroskopowych muszą dać jedność. Definiuje to sumę statystyczną:

$Z=\sum _i\exp (-\beta E_i)$

gdzie $E_i$ jest energią i-tego stanu mikroskopowego. Suma statystyczna jest miarą liczby stanów dostępnych dla układu fizycznego. Prawdopodobieństwo znalezienia się układu w poszczególnym stanie (i) w temperaturze T z energią E_i jest równe:

$p_i=\frac{\exp (-\beta E_i)}{Z}$

Związki z termodynamiką

Suma statystyczna może posłużyć do wyliczenia wartości oczekiwanej (średniej) dowolnej mikroskopowej wielkości. Tak dla przykładu średnia mikroskopowa energia E jest interpretowana jako energia wewnętrzna (U) z termodynamiki. Tak więc,

$⟨E⟩=\frac{\sum _i{E}_i{e}^{-\beta E_i}}{Z}=-\frac{dZ}{d\beta }/Z$

wraz z interpretacją <E> jako U, daje następującą definicję energii wewnętrznej:

$U:=-\frac{d\ln Z}{d\beta }.$

Entropię określamy z wzoru (entropia)

$\frac{S}{k}=-\sum _i{p}_i\ln p_i=\sum _i\frac{e^{-\beta E_i}}{Z}(\beta E_i+\ln Z)=\ln Z+\beta U$

który daje

$-\frac{\ln (Z)}{\beta }=U-TS=F$

gdzie F jest energią swobodną układu fizycznego, stąd

$Z=e^{-\beta F}$

Mając zdefiniowane podstawowe potencjały termodynamiczne U (energia wewnętrzna), S (entropia) i F (energia swobodna), można otrzymać wszystkie wielkości termodynamiczne opisujące układ fizyczny.

Zmienna liczba cząstek

W przypadku gdy liczba cząstek nie jest zachowana, należy wprowadzić potencjał chemiczny, μ_j, j=1,...,n i zamienić sumę statystyczną na:

$Z=\sum _i\exp \left(\beta [\sum _{j=1}^n{\mu }_j{N}_{ij}-E_i]\right)$

gdzie N_ij jest liczbą cząstek rodzaju j^th w i-tym stanie mikroskopowym.

energia swobodna Helmholtza:	$F=-\frac{\ln Z}{\beta }$
energia wewnętrzna:	$U=-{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta }\right)}_{N,V}$
ciśnienie:	$P=-{\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)}_{N,T}=\frac{1}{\beta }{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial V}\right)}_{N,T}$
entropia:	$S=k(\ln Z+\beta U)$
energia swobodna Gibbsa:	$G=F+PV=-\frac{\ln Z}{\beta }+\frac{V}{\beta }{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial V}\right)}_{N,T}$
entalpia:	$H=U+PV$
ciepło właściwe (stała objętość):	$C_V={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{N,V}$
ciepło właściwe (stałe ciśnienie):	$C_P={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{N,P}$
potencjał chemiczny:	${\mu }_i=-\frac{1}{\beta }{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial N_i}\right)}_{T,V,N}$

To samo z użyciem wielkiego zespołu kanonicznego:

$U=\sum _i{E}_i\frac{\exp (-\beta (E_i-\sum _j{\mu }_j{N}_{ij}))}{Z}$

$N_j=\sum _i{N}_{ij}\frac{\exp (-\beta (E_i-\sum _i{\mu }_j{N}_{ij}))}{Z}$

energia swobodna Gibbsa:	$G=-\frac{\ln Z}{\beta }$
energia wewnętrzna:	$U=-{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta }\right)}_{\mu }+\sum _i\frac{{\mu }_i}{\beta }{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial {\mu }_i}\right)}_{\beta }$
liczba cząstek:	$N_i=\frac{1}{\beta }{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial {\mu }_i}\right)}_{\beta }$
entropia:	$S=k(\ln Z+\beta U-\beta \sum _i{\mu }_i{N}_i)$
energia wewnętrzna Helmholtza:	$F=G+\sum _i{\mu }_i{N}_i=-\frac{\ln Z}{\beta }+\sum _i\frac{{\mu }_i}{\beta }{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial {\mu }_i}\right)}_{\beta }$

Szablon:Nawigacja