Matematyka dla liceum/Logika/Podsumowanie

Zdanie

W matematyce zdanie jest rozumiane jako wyrażenie, o którym można powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.

Koniunkcja

Jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „i”. Koniunkcję zdań p i q oznaczamy jako $p\wedge q$, a będzie ono prawdziwe jedynie wtedy, gdy p i q są prawdziwe.

Alternatywa

Alternatywa to zdanie połączone spójnikiem „lub”. Alternatywę zdań p i q jest oznaczana przez $p\vee q$ i jest prawdziwa, gdy któreś ze zdań p i q jest prawdziwe.

Negacja

Negacja to inaczej zaprzeczenie zdania. Zaprzeczenie zdania p oznaczamy przez $\mathrm{\neg }p$, choć można spotkać także zapis $\sim p$, a jest prawdziwe jedynie wtedy, gdy zdanie p jest fałszywe.

Implikacja

Implikacja jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „jeżeli..., to...”. Implikację zdań p i q oznaczamy $p⟹q$. Jest ona fałszywa, gdy zdanie p jest prawdziwe, a q fałszywe.

Równoważność

Równoważność jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „... wtedy i tylko wtedy, gdy ...”. Równoważność zdań p i q oznaczamy przez $p⟺q$. Jest ona prawdziwa, jedynie wtedy, gdy zdanie p i q mają tę samą wartość logiczną.

Tautologia

Tautologia to inaczej zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe. Aby sprawdzić, czy dane zdanie jest tautologią, należy sprawdzić wszystkie możliwości. Jednymi z praw rachunku zdań są między innymi prawa De Morgana:

• $\mathrm{\neg }(p\vee q)⟺\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q$ (I prawo De Morgana)
• $\mathrm{\neg }(p\wedge q)⟺\mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q$ (II prawo De Morgana).

Szablon:Indeksuj

Kwantyfikatory

Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie pewnych zdań w krótszej formie. Do kwantyfikatorów zaliczamy kwantyfikator ogólny, który zapisujemy przez:

${\mathrm{\forall }}_{x\in X}p(x)$,

a który oznacza, że dla każdego x należącego do zbioru X zdanie p(x) jest prawdziwe.

Istnieje także kwantyfikator szczegółowy, który oznaczamy przez:

${\mathrm{\exists }}_{x\in X}p(x)$

i który oznacza, że istnieje takie x w zbiorze X, że zdanie p(x) jest prawdziwe.

W Polsce można spotkać także oznaczenie kwantyfikatora ogólnego jako $\underset{x\in X}{\bigwedge }$, a $\underset{x\in X}{\bigvee }$ jako kwantyfikator szczegółowy.