Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Równania i nierówności z parametrem

• Przykład 1. Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^2-m\cdot x+2=0$ ma dwa różne miejsca zerowe?

• Przykład 2. Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^2-(m-2)\cdot x+4=0$ ma jedno miejsce zerowe?

• Przykład 3. Dla jakiej wartości parametru m równanie $(m^2-1)x^2+(m+1)\cdot x+1=0$ ma jedno miejsce zerowe?

• Przykład 4. Dla jakiej wartości parametru m nierówność $m\cdot x^2+(m+3)\cdot x-m+1<0$ jest spełniona w zbiorze liczb rzeczywistych?

• Przykład 5. Dla jakiej wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania $x^2+(m-3)\cdot x+m-2=0$ osiąga minimum?

• Przykład 6. Dla jakiej wartości parametru m równanie $(1-m)x^2-2m\cdot x+m+2=0$ ma dwa różne rozwiązania ujemne?

• Przykład 7. Dla jakiej wartości parametru m równanie $(1-m)\cdot x^2-2m\cdot x+m+2=0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie?

• Przykład 8. Ustal liczbę rozwiązań funkcji $|x^2-6x+5|=m$ w zależności od parametru m, a następnie naszkicuj wykres funkcji h(x) obrazujący liczbę rozwiązań tego równania.

• Przykład 9. Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^2-4m\cdot x+4m^2-1=0$ ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (-3,1)?

---

• Przykład 1

Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^2-mx+2=0$ ma dwa różne miejsca zerowe?

Wypiszmy współczynniki:

a = 1, b = -m, c = 2

Równanie ma dwa różne miejsca zerowe gdy $\mathrm{\Delta }>0$. Policzmy więc deltę:

$\mathrm{\Delta }=(-m{)}^2-4\cdot 1\cdot 2=m^2-8$

Skoro równanie będzie miało dwa różne pierwiastki gdy $\mathrm{\Delta }>0$ to musimy rozwiązać odpowiednią nierówność:

$m^2-8>0$

$(m-\sqrt{8})\cdot (m+\sqrt{8})>0$ pomijamy szkicowanie wykresu, nierówność rozwiązujemy pamięciowo

$m_1=-\sqrt{8},m_2=\sqrt{8}$

$m\in (-\mathrm{\infty },-\sqrt{8})\cup (\sqrt{8},+\mathrm{\infty })$

Podany wynik warto sprawdzić podstawiając liczby należące i nienależące do przedziału.

---

• Przykład 2

Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^2-(m-2)\cdot x+4=0$ ma jedno miejsce zerowe?

Wypiszmy współczynniki:

a=1, b =-(m-2), c=4

Funkcja ma jedno miejsce zerowe gdy $\mathrm{\Delta }=0$. Obliczmy więc kiedy delta się zeruje.

$\mathrm{\Delta }=[-(m-2){]}^2-4\cdot 1\cdot 4=[-m+2{]}^2-4\cdot 1\cdot 4=m^2-4m+4-16=m^2-4m-12$

Teraz tworzymy drugą deltę i obliczamy miejsca zerowe równania $m^2-4m-12$

${\mathrm{\Delta }}_m=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-12)=16+48=64$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}_m}=8$

$m_1=\frac{4-8}{2}=-2$

$m_2=\frac{4+8}{2}=6$

Czyli funkcja ma jedno miejsce zerowe dla $m=-2$ lub $m=6$. Podany wynik możesz z łatwością sprawdzić podstawiając w odpowiednie miejsca wartości m.

---

• Przykład 3

Dla jakiej wartości parametru m równanie $(m^2-1)\cdot x^2+(m+1)\cdot x+1=0$ ma jedno miejsce zerowe?

Patrząc na ten przykład pozornie nie istnieje różnica pomiędzy nim, a przykładem poprzednim. Jest jednak jeden bardzo ważny element - co jeśli m będzie równe 1 lub -1? Wtedy po podstawieniu w odpowiednie miejsce współczynnik a "zwinie się", i otrzymamy funkcję liniową. Musimy więc rozpatrzeć tutaj 3 przypadki. Pierwszy gdy m=1, drugi gdy m=-1 i trzeci gdy $m\ne 1$ i $m\ne -1$.

Pierwszy przypadek dla m= -1

$[(-1{)}^2-1]\cdot x^2+(-1+1)\cdot x+1=0$

$0x^2+0x+1=0$

$1=0$

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Więc parametr m=-1 nie spełnia równania.

Drugi przypadek dla m=1

$[1^2-1]\cdot x^2+2x+1=0$

$0x^2+2x+1=0$

$2x=-1$

$x=-\frac{1}{2}$

Czyli funkcja ma jedno miejsce zerowe dla $m=1$.

Trzeci przypadek dla $m\ne 1$ i $m\ne -1$. Teraz możemy policzyć deltę bez obawy, że rozwiązujemy równość liniową.

$\mathrm{\Delta }=(m+1{)}^2-4\cdot (m^2-1)\cdot 1=m^2+2m+1-4m^2+4=-3m^2+2m+5$

Znowu mamy równanie kwadratowe.

${\mathrm{\Delta }}_m=2^2-4\cdot (-3)\cdot 5=4+60=64$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}_m}=8$

$m_1=\frac{-2-8}{-6}=\frac{-10}{-6}=\frac{5}{3}$

$m_2=\frac{-2+8}{-6}=-1$

Jak widać -1 odpada na mocy założenia "$m\ne 1$ i $m\ne -1$". Gdybyśmy więc od razu obliczyli deltę to otrzymalibyśmy błędny wynik! Zawsze trzeba dokładnie przyjrzeć się przykładowi zanim zacznie się go rozwiązywać.

Równanie ma więc jedno miejsce zerowe dla $m=1$ i $m=\frac{5}{3}$.

---

• Przykład 4

Dla jakiej wartości parametru m nierówność $m\cdot x^2+(m+3)\cdot x-m+1<0$ jest spełniona w zbiorze liczb rzeczywistych?

Znowu mamy parametr przy $x^2$. Zastanówmy się jak musi wyglądać wykres takiej nierówności aby była spełniona dla każdego x. Musi to być parabola całkowicie znajdująca się pod osią OX z ramionami skierowanymi w dół (pomijamy szkicowanie osi OY ponieważ nie ma ona żadnego wpływu na położenie naszej paraboli):

Plik:Wykres6.PNG

Może to być także stała (a = 0) funkcja liniowa, która znajduje się poniżej osi OX. Sprawdźmy więc co się dzieje gdy m=0.

1 przypadek m=0

$0x^2+3x-0+1<0$

$3x<-1$

$x<-\frac{1}{3}$

Nierówność jest spełniona tylko dla $x<-\frac{1}{3}$, czyli x nie należy do zbioru liczb rzeczywistych. Teraz zastanówmy się jak doprowadzić parabolę do stanu jak na ilustracji. Po pierwsze współczynnik kierunkowy a musi być mniejszy od 0. Po drugie, nie może być miejsc wspólnych z osią OX, czyli $\mathrm{\Delta }$ musi być mniejsza od 0. Otrzymamy w ten sposób układ dwóch warunków:

$\{\begin{array}{c}a<0\\ \mathrm{\Delta }<0\end{array}$

1. $a<0⟺m<0$

2. $\mathrm{\Delta }<0$

$\mathrm{\Delta }=(m+3{)}^2-4\cdot m\cdot (-m+1)$

$m^2+6m+9-4m\cdot (-m+1)<0$

$m^2+6m+9+4m^2-4m<0$

$5m^2+2m+9<0$

${\mathrm{\Delta }}_m=2^2-4\cdot 5\cdot 9=4-180=-176$

Delta jest zawsze dodatnia ($a>0$ i ${\mathrm{\Delta }}_m<0$). Czyli układ nigdy nie jest spełniony.

$m\in \varnothing$

---

• Przykład 5

Dla jakiej wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania $x^2+(m-3)\cdot x+m-2=0$ osiąga minimum?

Zastanówmy się jakie warunki muszą zostać spełnione aby rozwiązać to zadanie:

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }\ge 0\\ x_1^2+x_2^2-min\end{array}$

Pierwszy warunek jest po to aby pierwiastki w ogóle istniały, drugi aby obliczyć minimum.

$\mathrm{\Delta }=(m-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (m-2)=m^2-6m+9-4m+8=m^2-10m+17$

${\mathrm{\Delta }}_m=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot 17=32$

$m_1=\frac{10-4\sqrt{2}}{2}=5-2\sqrt{2}$

$m_1=\frac{10+4\sqrt{2}}{2}=5+2\sqrt{2}$

$m\in (-\mathrm{\infty },5-2\sqrt{2}>\cup <5+2\sqrt{2},+\mathrm{\infty })$

W poprzednim rozdziale wyprowadziliśmy wzór na sumę kwadratów pierwiastków, który wygląda następująco:

$(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=(\frac{-b}{a}{)}^2-2\cdot (\frac{c}{a})$

Utwórzmy z tego funkcję i podstawmy odpowiednie wartości:

$f(m)=(\frac{-m+3}{1}{)}^2-2\cdot (\frac{m-2}{1})$

$f(m)=m^2-6m+9-2m+4=m^2-8m+13$

Funkcja o współczynniku kierunkowym dodatnim osiąga minimum w punkcie wierzchołka:

$f_{min}=m_w=\frac{8}{2}=4$

Punkt $m=4\notin (-\mathrm{\infty },5-2\sqrt{2})\cup (5+2\sqrt{2},+\mathrm{\infty })$. Funkcja więc przyjmie najmniejszą wartość na jednym z krańców określoności:

$f(5-2\sqrt{2})=(5-2\sqrt{2}{)}^2-8\cdot (5-2\sqrt{2})+13=25-20\sqrt{2}+8-40+16\sqrt{2}+13=6-4\sqrt{2}$

$f(5+2\sqrt{2})=(5+2\sqrt{2}{)}^2-8\cdot (5+2\sqrt{2})+13=25+20\sqrt{2}+8-40-16\sqrt{2}+13=6+4\sqrt{2}$

Funkcja osiąga minimum dla $m=5-2\sqrt{2}$

---

• Przykład 6

Dla jakiej wartości parametru m równanie $(1-m)x^2-2mx+m+2=0$ ma dwa różne rozwiązania ujemne?

Wskażmy warunki jakie muszą istnieć aby otrzymać poprawny wynik.

Od razu zauważamy, że współczynnik a musi być różny od 0. Ponieważ gdyby było równy zeru równanie kwadratowe "przeszło by" w równanie liniowe, które nie może mieć dwóch różnych rozwiązań.

$a\ne 0$

Teraz drugi warunek, aby istniały dwa różne pierwiastki:

$\mathrm{\Delta }>0$

Aby istniały dwa pierwiastki ujemne ich iloczyn musi być dodatni, a suma ujemna. Dlaczego? Ponieważ iloczyn dowolnych liczb ujemnych jest dodatni (np. $-3\cdot -5=15$), a suma dowolnych liczb ujemnych jest ujemna (np. $-3+(-5)=-8$). Mamy więc:

$x_1+x_2<0$ i $x_1\cdot x_2>0$

Otrzymujemy w ten sposób układ, który należy rozwiązać:

$\{\begin{array}{c}a\ne 0\\ \mathrm{\Delta }>0\\ x_1+x_2<0\\ x_1\cdot x_2>0\end{array}$

1. $a\ne 0⟺m\ne 1$ - można odgadnąć pamięciowo.

2. $\mathrm{\Delta }=(-2m{)}^2-4\cdot (1-m)\cdot (m+2)=4m^2-4(-m+2-m^2)=4m^2+4m-8+4m^2=8m^2+4m-8=2m^2+m-2$

$\mathrm{\Delta }>0⟺2m^2+m-2>0$

${\mathrm{\Delta }}_m=1^2-4\cdot 2\cdot (-2)=1+16=17$

$m_1=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$

$m_2=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$

$m\in (-\mathrm{\infty },-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{17})\cup (-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{17},+\mathrm{\infty })$

3. $\frac{-b}{a}<0$

$\frac{2m}{1-m}<0$

$\frac{2m}{1-m}<0⟺2m(1-m)<0$

$2m(1-m)<0$

$m_1=0$

$m_2=1$

$m\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (1,+\mathrm{\infty })$

4. $\frac{c}{a}>0$

$\frac{m+2}{1-m}>0⟺(m+2)(1-m)>0$

$m_1=-2$

$m_2=1$

$m\in (-2,1)$

Podane wyniki zaznaczamy na osi liczbowej (w przeciwnym wypadku łatwo się pogubić)

Plik:Przedzialy.PNG

Wszystkie kolory przecinają się w przedziale:

$(-2,-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{17})$

który jest rozwiązaniem całego zadania.

$m\in (-2,-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{17})$

---

• Przykład 7

Tego przykładu już nie będziemy robić w całości. Wskażemy tylko prawidłowy tok myślenia.

Właściwie to spora część elementów jest taka sama jak w poprzednim przykładzie. Współczynnik a musi być różny od zera i delta większa od zera. Jednak aby istaniały dwa rozwiązania dodatnie muszą być jeszcze spełnione podane warunki:

$\{\begin{array}{c}{x}_1\cdot x_2>0\\ x_1+x_2>0\end{array}$

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, a ich suma także jest liczbą dodatnią. Mamy więc układ podobny jak w poprzednim przykładzie:

$\{\begin{array}{c}a\ne 0\\ \mathrm{\Delta }>0\\ x_1\cdot x_2>0\\ x_1+x_2>0\end{array}$

---

• Przykład 8

Ustal liczbę rozwiązań funkcji $|x^2-6x+5|=m$ w zależności od parametru m, a następnie naszkicuj wykres funkcji h(x) obrazujący liczbę rozwiązań tego równania.

Podany przykład najłatwiej rozwiązać metodą graficzną. Najpierw wprowadźmy pewne oznaczenia, które nam ułatwią rozwiązanie takiego zadania:

$\begin{array}{c}\underbrace{|x^2-6x+5|=}\\ f(x)\end{array}\begin{array}{c}\underbrace{m}\\ g(x)\end{array}$

Wyróżniliśmy w ten sposób dwie funkcje - jedna jest funkcją kwadratową z nałożoną wartościa bezwzględną, natomiast druga jest to funkcja o wzorze y=m (np. y=1, y=2, y=3 ... y=m, jest to funkcja liniowa, stała). W celu naszkicowania wykresu funkcji f(x) należy rozpatrzeć dwa przypadki - pierwszy, gdy wartość pod modułem jest mniejsza od 0, i drugi gdy jest większa bądź równa zeru. Skorzystamy jednak z pewnego ułatwienia, które już wcześniej miałeś okazję poznać w dziale Przekształcanie wykresu funkcji. Jako, że moduł jest nałożony na "całą" funkcję f(x) to przenosimy wszystko spod osi OX nad nią. Obliczmy najpierw wartości f(x).

$\mathrm{\Delta }=16$

$x_1=1$

$x_2=5$

$p=3$

$q=-4$

Teraz nakładamy moduł i powstaje nam funkcja |f(x)|. Wygląda następująco (linią przerywaną jest oznaczona funkcja bez nałożenia modułu):

Plik:Bezwzgl.PNG

Wartość p nie zmienia się, jednak q zostaje symetrycznie odbite względem osi OX.

q' = 4

Teraz gdy już wiemy jak wygląda wykres funkcji f(x) zastanówmy się na funkcją g(x). Skoro jest to funkcja stała o dowolnej wartości to może ona przecinać funkcję f(x) w różnych miejscach:

Plik:Bezwzgl2.PNG

Punkty wspólne f(x) i g(x) to rozwiązania tych funkcji. Z łatwością odczytujemy więc z obrazka ilość rozwiązań:

0 rozwiązań dla $m\in (-\mathrm{\infty },0)$

2 rozwiązańia dla $m=0$

4 rozwiązania dla $m\in (0,4)$

3 rozwiązania dla $m=4$

2 rozwiązania dla $m\in (4,+\mathrm{\infty })$

Ukończyliśmy w ten sposób pierwszą część zadania. Teraz pozotaje nam jeszcze szkic funkcji h(x). Jest to bardzo proste, i nie wymaga dłuższego tłumaczenia. Jest to po prostu obraz naszych wyników:

Plik:Wykres7.PNG

---

• Przykład 9

Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^2-4mx+4m^2-1=0$ ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (-3,1)?

Zastanówmy się jakie założenia należy postawić aby ustawić w taki sposób pierwiastki. Już na początku zakładamy, że $\mathrm{\Delta }>0$ aby istniały dwa różne rozwiązania. Dalej domyślamy się, że na pewno wierzchołek paraboli musi należeć do zbioru (-3,1) $((x_w\in (-3,1))$. Jednak sam ten warunek nie rozwiązuje całego problemu:

Plik:Wykres8.PNG

Pomimo, że wierzchołek znajduję się w podanym przedziale to pierwiastki nie należa do zbioru (-3,1). Na pierwszy rzut oka rozwiązanie całego problemu może się wydawać trudne, jednak jest ono bardzo proste. Wartość równania na krańcach przedziału musi być po prostu większa od zera:

Plik:Wykres9.PNG

Czyli inaczej $f(-3)>0$ i $f(1)>0$.W ten sposób doprowadzamy parabolę do stanu, który jest podany w zadaniu. Mamy więc układ warunków:

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }>0\\ x_w\in (-3,1)\\ f(-3)>0\\ f(1)>0\end{array}$

1. $\mathrm{\Delta }>0$

$\mathrm{\Delta }=(-4m{)}^2-4\cdot 1\cdot (4m^2-1)=16m^2-16m^2+4=4$

$\mathrm{\Delta }=4$, czyli jest zawsze większa od 0. $\mathrm{\Delta }\in R$

2. $x_w\in (-3,1)$

$\frac{-b}{2a}\in (-3,1)$

$-3<\frac{-b}{2a}<1$

$\{\begin{array}{c}\frac{-b}{2a}>-3\\ \frac{-b}{2a}<1\end{array}$

a) $\frac{-b}{2a}>-3$

$\frac{4m}{2}>-3$

$2m>-3$

$m>-1.5$

b) $\frac{-b}{2a}<1$

$2m<1$

$m<\frac{1}{2}$

$m\in (-\frac{3}{2};\frac{1}{2})$

3. $f(-3)>0$

$f(x)=x^2-4mx+4m^2-1$

$f(-3)=(-3{)}^2-4\cdot m\cdot (-3)+4m^2-1=9+12m+4m^2-1=4m^2+12m+8$

$4m^2+12m+8>0$

$\mathrm{\Delta }=12^2-4\cdot 4\cdot 8=144-128=16$

$m_1=\frac{-12-4}{8}=-2$

$m_2=\frac{-12+4}{8}=-1$

$m\in (-\mathrm{\infty },-2)\cup (-1,+\mathrm{\infty })$

4. $f(1)>0$

$f(1)=1^2-4m+4m^2-1=4m^2-4m$

$4m^2-4m>0$

$4m(m-1)>0$

$m_1=0$

$m_2=1$

$m\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (1,+\mathrm{\infty })$

Częścią wspólną układu tych warunków jest przedział $m\in (-1,0)$ (najlepiej nałożyć rozwiązania na oś liczbową w celu lepszego odczytania wyniku).