Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Wzory Viète'a

Wzory Viete'a

Dowód

$\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$

$\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\cdot \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{(-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }})\cdot (-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }})}{4a^2}=\frac{b^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$

Wzory Viete'a są nieodłączną częścią równań i nierówności z parametrem. Tutaj jednak skupimy się na ich innym zastosowaniu.

• Przykład 1. Nie rozwiązując równania, znajdź miejsca zerowe funkcji $y=x^2+5x+6$

Wzory Viete'a stanowią pewne ułatwienie w wyszukiwaniu pierwiastków. Podstawmy wartości a,b,c do wzorów:

$x_1+x_2=\frac{-5}{1}=-5$

$x_1\cdot x_2=\frac{6}{1}=6$

Teraz zadajemy sobie pytanie: "Sumą jakich liczb jest liczba -5, a iloczynem liczba 6?". Odpowiedź nasuwa nam się sama - liczb -2 i -3.

Rozwiązaniami są więc $x_1=-2$ i $x_2=-3$

Oczywiście trudniej nam odgadnąć takie rozwiązanie w pamięci. Warto także wspomnieć, że taka metoda odgadywania rozwiązań jest możliwa tylko w wypadku całkowitych pierwiastków o małej wartości. Niemniej skraca nam to czas ich szukania.

• Przykład 2. Przekształć podane wyrażenia tak, aby można było skorzystać ze wzorów Viete'a oraz zastosuj je, aby uzyskać:

a)Kwadrat sumy pierwiastków

b)Sumę kwadratów pierwiastków

c)Sumę odwrotności kwadratów pierwiastków

d)Kwadrat różnicy pierwiastków

e)Sumę sześcianów pierwiastków

• a) Kwadrat sumy pierwiastków wygląda następująco: $(x_1+x_2{)}^2$ Podane wyrażenie nie wymaga żadnych przekształceń aby zastosować wzory Viete'a. Po podstawieniu ich wygląda następująco:

${\left(\frac{-b}{a}\right)}^2$

• b) Suma kwadratów pierwiastków wygląda następująco:

$x_1^2+x_2^2$

W takiej postaci nie da się skorzystać ze wzorów Viete'a (musi być bowiem suma albo iloczyn pierwiastków). Musimy podane wyrażenie więc przekształcić. Spróbujmy zrobić coś takiego:

$(x_1+x_2{)}^2$

Jednak po podniesieniu takiego wyrażenia do kwadratu otrzymamy

$x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2$

co nie jest równoważne z pierwotną postacią. Pojawia nam się nowy element $2x_1{x}_2$. Więc żeby otrzymać wyrażenie równoważne musimy go odjąć. Otrzymamy w ten sposób:

$(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$

Po podniesieniu do kwadratu i odjęciu podanej wartości otrzymamy wyrażenie równoważne pierwotnemu. Co więcej - możemy już korzystać ze wzorów Viete'a! Zapiszmy je więc:

${\left(\frac{-b}{a}\right)}^2-2\cdot \left(\frac{c}{a}\right)$

• c) Suma odwrotności kwadratów pierwiastków wygląda tak: $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}$

Nie można dodać takich wyrażeń ponieważ jest różny mianownik. Spróbujmy więc sprowadzić do wspólnego (wymnóżmy licznik i mianownik w pierwszym wyrażeniu przez $x_2^2$)

$\frac{1}{x_1^2}=\frac{1\cdot x_2^2}{x_1^2\cdot x_2^2}=\frac{x_2^2}{x_2^2{x}_1^2}$

Teraz zróbmy to samo z drugim wyrażeniem, jednak wymnóżmy przez $x_1^2$:

$\frac{1}{x_2^2}=\frac{1\cdot x_1^2}{x_2^2\cdot x_1^2}=\frac{x_1^2}{x_2^2{x}_1^2}$

Dodajmy teraz powstałe wyrażenia:

$\frac{x_2^2}{x_1^2{x}_2^2}+\frac{x_1^2}{x_1^2{x}_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2{x}_2^2}=\frac{(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2}{(x_1{x}_2{)}^2}$

Możemy już korzystać ze wzorów Viete'a. Podstawmy wartości: $\frac{(\frac{-b}{a}{)}^2-2\cdot \frac{c}{a}}{(\frac{c}{a}{)}^2}$

• d) Kwadrat różnicy: $(x_1-x_2{)}^2$

$(x_1-x_2{)}^2=x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2=x_1^2+x_2^2-2x_1{x}_2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2-2x_1{x}_2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2$

Podstawiamy wartości ze wzorów Viete'a:

${\left(\frac{-b}{a}\right)}^2-4\cdot \frac{c}{a}$

• e) Suma sześcianów: $x_1^3+x_2^3$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów:

$(x_1+x_2)(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2)=(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2)=$

$=(x_1+x_2)((x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2-x_1{x}_2)=(x_1+x_2)((x_1+x_2{)}^2-3x_1{x}_2)$

Podstawiamy wzory Viete'a i otrzymujemy:

$(-\frac{b}{a})({(-\frac{b}{a})}^2-3\cdot \frac{c}{a})$