Analiza matematyczna/Przykład ciągu 1

Zbadać zbieżność ciągu:

$f_n(x)=\frac{1}{1+n{x}^2}$, dla $x\in ℝ$

Sprawdzamy czy ciąg funkcyjny jest zbieżny punktowo. Ustalamy w tym celu $x\in ℝ$ i traktujemy $(f_n)$ jako ciąg liczbowy. Otrzymujemy zatem granicę punktową:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=\{\begin{array}{c}0,x\notin ℝ\\ 1,x\in ℝ\end{array}$

Dla $x\in ℝ$ brak zbieżności jednostajnej, gdyż ciąg funkcji ciągłych zmierza jednostajnie tylko do funkcji ciągłej. W tym przypadku dla $x=0$ mamy punkt nieciągłości funkcji granicznej.

Jednak dla przedziału $x\in <a,b>$, gdzie $0<a<b$, funkcja graniczna jest funkcją ciągłą. Sprawdzamy zatem, czy jest to zbieżność jednostajna? Musi być w takim przypadku spełniony warunek:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x\in <a,b>}{\sup }|f_n-f|=0$

Badamy zatem pochodną:

${\left(\frac{1}{1+n{x}^2}\right)}^{\prime }=\frac{-2nx}{(1+n{x}^2{)}^2}<0$

Wyrażenie pod supremum jest funkcją malejącą dla $x\in <a,b>$, stąd wniosek:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x\in <a,b>}{\sup }\left|\frac{1}{1+n{x}^2}\right|=0$

Zatem w powyższym przedziale występuje zbieżność jednostajna danej funkcji do $f\equiv 0$.

Warto zauważyć, że dla $x\in (0,b>$ wartość supremum jest równa 1, zatem wówczas brak zbieżności jednostajnej, pomimo ciągłości funkcji granicznej.