Analiza matematyczna/Ciągi i szeregi liczbowe/Przykład 3

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\log n}{n^3}$

Jeżeli pod znakiem sumy szeregu pojawia się funkcja logarytmiczna, konieczne może się okazać skorzystanie z kryterium porównawczego. Skorzystamy w tej sytuacji z zależności:

$\ln x<x$

Teraz doprowadzimy wyrażenie do postaci zawierającej logarytm naturalny i dokonamy porównania:

$\frac{\log n}{n^3}=$

$=\frac{\ln n}{\ln 10\cdot n^3}<\frac{n}{\ln 10\cdot n^3}=$

$=\frac{1}{\ln 10}\cdot \frac{1}{n^2}$

Szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{\alpha }}$ jest zbieżny dla $\alpha >1$.

Zatem, ponieważ wyrazy naszego wyjściowego szeregu były szacowane od góry, to szereg ten jest także zbieżny na mocy kryterium porównawczego.