Analiza matematyczna/Ciągi i szeregi liczbowe/Przykład 2

Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(arc\tan n{)}^n}{2^n}$

Z kryterium Cauchy'ego obliczymy:

$\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{\frac{(arc\tan n{)}^n}{2^n}}=$

$=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{arc\tan n}{2}=$

$=\frac{\pi }{4}<1$

Stąd wniosek, że szereg jest zbieżny.