Wytrzymałość materiałów/Zadania

Wiadomości wstępne

Brak zadań

Ściskanie i rozciąganie pręta prostego

Statycznie wyznaczalne

Zadanie 2.1

Wyznaczyć minimalną średnicę pręta rozciąganego siłą osiową $P=3000N$, wiedząc że naprężenia dopuszczalne materiału z którego jest wykonany pręt wynoszą $k_r=240MPa$.

Rozwiązanie

Przekrojem pręta kołowego jest koło, więc pole powierzchni przekroju wyraża się wzorem:

$A=\pi r^2=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2=\pi \frac{d^2}{4}$

zgodnie ze wzorem Szablon:LinkWzór otrzymujemy:

$k_r\ge \frac{P}{A}$

$k_r\ge \frac{P}{\pi \frac{d^2}{4}}$

$k_r\ge \frac{4P}{\pi d^2}$

z ostatniego wzoru wyznaczamy średnicę:

$d\ge \sqrt{\frac{4P}{\pi k_r}}=\sqrt{\frac{4\cdot 3000N}{\pi \cdot 240MPa}}=\sqrt{\frac{4\cdot 3000N}{\pi 240\frac{N}{m{m}^2}}}$

$d\ge 3,99mm$

Odp: Pręt powinien mieć co najmniej $4mm$ średnicy.

Zadanie 2.2

Oblicz naprężenia i wydłużenie jakie wystąpi w pręcie stalowym o przekroju kołowym rozciągany siłą osiową.

Średnica $d=4mm$; długość $l=2m$; siła $P=2000N$; moduł Younga $E=2,1\cdot 10^{5}MPa$

Rozwiązanie

$\sigma =\frac{P}{A}=\frac{4P}{\pi d^2}=\frac{4\cdot 2000}{\pi \cdot 4^2}=159,15\frac{N}{m{m}^2}=159,15MPa$

$\mathrm{\Delta }l=\frac{Pl}{EA}=\frac{4Pl}{E\pi d^2}=\frac{4\cdot 2000\cdot 2000}{2,1\cdot 10^5\cdot \pi \cdot 4^2}=1,5mm$

Odp: Naprężenia wynoszą $159,15MPa$ a pręt wydłuży się o $1,5mm$.

Zadanie 2.3

Zadanie 2.3.

Oblicz składowe przemieszczeń punktu $C$ dla układu pokazanego na rysunku obok obciążony siłą $P$. Oba pręty są zamocowane do ściany na podporze przegubowej stałej (punkty: $A;B$), oraz połączenie tych prętów jest przegubowe (punkt: $C$). Mamy daną długość pręta drugiego oraz kąt między prętem pierwszym a drugim.

Sztywność prętów wynosi $EA$.

Rozwiązanie

Z równań równowagi wyznaczyć należy składowe siły $P$ działające na pręt ① i ②.

$S_1=\frac{P}{sin\alpha }$

$S_2=-\frac{P}{sin\alpha }cos\alpha =-Pctg\alpha$

Znak minus w pręcie drugim oznacza że siła składowa $S_2$ ściska pręt co prowadzi do skrócenia jego długości

Długości prętów są następujące:

① $=\frac{l}{cos\alpha }$

② $=l$

Wydłużenie pręta pierwszego zaznaczono na rysunku jako odcinek $\overline{C{C}_1}$ wynosi:

$\mathrm{\Delta }{l}_1=\frac{Pl}{EAsin\alpha cos\alpha }=\frac{2Pl}{EAsin2\alpha }$

Wydłużenie (skrócenie) pręta drugiego zaznaczono na rysunku jako odcinek $\overline{C{C}_2}$ wynosi:

$\mathrm{\Delta }{l}_2=\frac{-Pctg\alpha l}{EA}$

Pręt drugi skróci się oraz obróci się wokół punktu $B$. Gdy mamy do czynienia ze nieznacznymi zmianami wymiarów długości luk obrotu można zastąpić styczną $\overline{C_2{C}_3}$. Podobnie pręt pierwszy wydłuży się i obróci wokół punktu $A$, koniec pręta przesunie się wzdłuż prostej $\overline{D{C}_3}$. Punkt $C$ przemieści się do punktu $C_3$ czyli do przecięcia wyżej omawianych prostych. Składowa pozioma i pionowa przemieszczenia wynoszą:

$f_x=\mathrm{\Delta }{l}_2$

$f_y=\overline{C_{2}D}ctg\alpha$

$\overline{C_{2}D}=\overline{C_{2}C}+\overline{CD}=\mathrm{\Delta }{l}_2+\frac{\mathrm{\Delta }{l}_1}{cos\alpha }$

$f_y=\mathrm{\Delta }{l}_{2}ctg\alpha +\frac{\mathrm{\Delta }{l}_1}{sin\alpha }$

Zadanie 2.4

Zadanie 2.4.

Oblicz o jaki kąt obróci się pręt drugi wokół punktu $C$ dla układu pokazanego na rysunku obok obciążony siłą $P$. W tym przypadku należy przyjąć że jedynie pręt pierwszy jest rozciągany, natomiast pręt drugi jest nieważki i niepodatny na działanie siły $P$. Oba pręty są zamocowane do ściany na podporze przegubowej stałej (punkty: $B;C$), oraz połączenie tych prętów jest przegubowe (punkt: $D$).

Długość pręta pierwszego wynosi $l$, a jego sztywność $EA$

Rozwiązanie

Siła rozciągająca pręt zależy od kąta między prętem pierwszym a drugim oraz od usytuowania połączenia przegubowego między prętami (punkt: $D$) czyli jakie są długości ramion dźwigni jednostronnej.

$S=P\frac{\overline{AC}}{\overline{DC}}sin\alpha$

Dla uproszczenia przyjmujemy że odcinek $\overline{AD}=a$ natomiast odcinek $\overline{DC}=2a$, wtedy wydłużenie pręta wynosi:

$\mathrm{\Delta }l=\overline{D{D}_1}=\frac{3}{2}\frac{Pl}{EAsin\alpha }$

Aby wyznaczyć kąt obrotu należy ustalić najpierw długość odcinka $\overline{D{D}_2}$

$\overline{D{D}_2}=\frac{\mathrm{\Delta }l}{sin\alpha }$

$tg\phi =\frac{\overline{D{D}_2}}{\overline{CD}}=\frac{\mathrm{\Delta }l}{2asin\alpha }=\frac{3Pl}{4aEAsi{n}^2\alpha }$

Statycznie niewyznaczalne

Zadanie 2.5

Obliczyć siły jakie występują w betonowej kolumnie ściskanej siłą osiową $P$ rozłożoną równomiernie na całą powierzchnie. Słup jest o stałym polu przekroju $A$ oraz posiada zbrojenie stalowymi prętami o stałym polu przekroju $A_S$.

Długość pręta wynosi $l$, natomiast moduł Younga dla betonu wynosi $E_B$ a dla stali $E_S$.

Rozwiązanie

Dla przejrzystości wyznaczymy pole powierzchni betonu w przekroju kolumny

$A_B=A-A_S$

Siła ściskająca $P$ filar rozkłada się na siłę ściskającą pręty stalowe $P_S$ oraz na siłę ściskającą beton $P_B$

$P=P_S+P_B$ (warunek równowagi)

Ponieważ pręty są zamurowane w betonie więc odkształcenie wzdłużne betonu i stali są jednakowe

$\mathrm{\Delta }{l}_S=\mathrm{\Delta }{l}_B$ (warunek nierozdzielności przemieszczeń -> warunek geometryczny)

$\mathrm{\Delta }{l}_S=\frac{P_{S}l}{E_S{A}_S}\mathrm{\Delta }{l}_B=\frac{P_{B}l}{E_B{A}_B}$ (warunki fizyczne)

$\frac{P_{S}l}{E_S{A}_S}=\frac{P_{B}l}{E_B{A}_B}$

Gdy mamy dwa równania i dwie niewiadome wyznaczamy siły działające na pręty stalowe i beton. Najpierw wyznaczymy siłę działającą na stal

$P_S=P_B\frac{E_S{A}_S}{E_B{A}_B}=>P_S=(P-P_S)\frac{E_S{A}_S}{E_B{A}_B}=>P_S+P_S\frac{E_S{A}_S}{E_B{A}_B}=P\frac{E_S{A}_S}{E_B{A}_B}=>P_S(1+\frac{E_S{A}_S}{E_B{A}_B})=P\frac{E_S{A}_S}{E_B{A}_B}$

$P_S=P\frac{\frac{E_S{A}_S}{E_B{A}_B}}{1+\frac{E_S{A}_S}{E_B{A}_B}}$

Przy wyznaczaniu siły działającej na beton postępujemy analogicznie jak wyżej

$P_B=P_S\frac{E_B{A}_B}{E_S{A}_S}=>P_B=(P-P_B)\frac{E_B{A}_B}{E_S{A}_S}=>P_B+P_B\frac{E_B{A}_B}{E_S{A}_S}=P\frac{E_B{A}_B}{E_S{A}_S}=>P_B(1+\frac{E_B{A}_B}{E_S{A}_S})=P\frac{E_B{A}_B}{E_S{A}_S}$

$P_B=P\frac{\frac{E_B{A}_B}{E_S{A}_S}}{1+\frac{E_B{A}_B}{E_S{A}_S}}$

Przy założeniu że moduł Younga dla stali wynosi $2,1\cdot 10^{5}MPa$ a betonu $0,3\cdot 10^{5}MPa$ oraz że betonu jest $10$ razy więcej niż prętów stalowych otrzymujemy:

$P_S=P\frac{7}{17}$ oraz $P_B=P\frac{10}{17}$ z tego wynika że siła ściskająca beton jest większa niż siła ściskająca pręty stalowe

Zadanie 2.6

Zadanie 2.6.

Wyznaczyć reakcje ścian $R_A$ i $R_B$ w układzie pokazanym obok oraz obliczyć przemieszczenie punktu $C$, między ścianami jest zamurowany pręt którego długość wynosi $a+b=L$ natomiast sztywność równa się $EA$. Na pręt działa siła $P$ przyłożona w punkcie $C$.

Rozwiązanie

To zadanie można rozwiązać na kilka sposobów:

Metoda przecięć

Pierwsze przecięcie dokonujemy między punktami $A$ i $C$ natomiast drugie między punktami $C$ oraz $B$. Ponieważ pręt znajduje się między dwiema nieprzesuwnymi ścianami to zauważamy że całkowite odkształcenie pręta równa się sumie poszczególnych odkształceń tego pręta oraz równa się zeru.

$\mathrm{\Delta }l=\frac{R_{A}a}{EA}+\frac{(R_A-P)b}{EA}=0$

Obie strony mnożymy przez sztywność $EA$ oraz porządkujemy równanie

$R_{A}a+R_{A}b=Pb=>R_A=P\frac{b}{a+b}$

Natomiast reakcje $R_B$ wyznaczamy z równania równowagi: $P=R_A+R_B$

$R_B=P\frac{a}{a+b}$

Przemieszczenie punktu $C$ jest równe:

$\delta =\frac{R_{A}a}{EA}=\frac{R_{B}b}{EA}=P\frac{ab}{EA(a+b)}$

Metoda superpozycji

Gdyby nie było by ściany prawej czyli $R_B=0$ to pręt pod działaniem sił zewnętrznych wydłużył by się o:

$\mathrm{\Delta }{l}_1=\frac{Pa}{EA}$

Gdyby $P=0$ to odkształcenie (skrócenie) wywołane reakcją $R_B$ wynosiłoby:

$\mathrm{\Delta }{l}_2=-\frac{R_B(a+b)}{EA}$

Ponieważ wydłużenie całkowite jest równe zeru, to z warunku: $\mathrm{\Delta }{l}_1+\mathrm{\Delta }{l}_2=0$ wyznaczamy szukane reakcje:

$\frac{Pa}{EA}-\frac{R_B(a+b)}{EA}=0=>\frac{Pa}{EA}=\frac{R_B(a+b)}{EA}=>R_B=P\frac{a}{a+b}$

Zadanie 2.7

Zadanie 2.7.

Wyznaczyć reakcje ścian $R_A$ i $R_B$ w układzie pokazanym obok oraz obliczyć przemieszczenie punktu $C$, między ścianami jest zamurowany pręt którego długość wynosi $a+b=L$. Pręt składa się z dwóch części o różnej sztywności. Na pręt działa siła $P$ przyłożona w punkcie $C$.

Rozwiązanie

To zadanie jest rozwinięciem poprzedniego przypadku gdy mieliśmy do czynienia z jednorodnym prętem o stałym przekroju w tym przypadku mamy dwa materiały i dwa różne pola powierzchni przekroju pręta. To zadanie rozwiążemy metodą przecięć, jak w poprzednim układzie dokonujemy dwóch przecięć:

$\mathrm{\Delta }l=\frac{R_{A}a}{E_A{A}_A}+\frac{(R_A-P)b}{E_B{A}_B}=0$

$\mathrm{\Delta }l=\frac{R_{A}a}{E_A{A}_A}+\frac{R_{A}b}{E_B{A}_B}-\frac{Pb}{E_B{A}_B}=0=>\frac{R_{A}a}{E_A{A}_A}+\frac{R_{A}b}{E_B{A}_B}=\frac{Pb}{E_B{A}_B}$ oraz korzystamy z równania równowagi $P=R_A+R_B$ aby wyznaczyć $R_B$

$R_{A}a\frac{E_B{A}_B}{E_A{A}_A}+R_{A}b=Pb$

$R_A(a\frac{E_B{A}_B}{E_A{A}_A}+b)=Pb$

$R_A=P\frac{b}{a\frac{E_B{A}_B}{E_A{A}_A}+b}$

$R_B=P-R_A=P\frac{a\frac{E_B{A}_B}{E_A{A}_A}+b}{a\frac{E_B{A}_B}{E_A{A}_A}+b}-P\frac{b}{a\frac{E_B{A}_B}{E_A{A}_A}+b}=P\frac{a\frac{E_B{A}_B}{E_A{A}_A}+b-b}{a\frac{E_B{A}_B}{E_A{A}_A}+b}=P\frac{a\frac{E_B{A}_B}{E_A{A}_A}}{a\frac{E_B{A}_B}{E_A{A}_A}+b}$

Powyższe równania można wyznaczyć także w następujący sposób

$R_A(\frac{a}{E_A{A}_A}+\frac{b}{E_B{A}_B})=\frac{Pb}{E_B{A}_B}$

$R_A=\frac{Pb}{(\frac{a}{E_A{A}_A}+\frac{b}{E_B{A}_B})E_B{A}_B}=P\frac{b}{a\frac{E_B{A}_B}{E_A{A}_A}+b}$

Przemieszczenie punktu $C$ wynosi:

$\delta =\frac{R_{A}a}{E_A{A}_A}=\frac{R_{B}b}{E_B{A}_B}$

Z tej zależności wyznaczamy następujący stosunek:

$\frac{R_B}{R_A}=\frac{a}{b}\frac{E_B{A}_B}{E_A{A}_A}=>R_B=R_A\frac{a}{b}\frac{E_B{A}_B}{E_A{A}_A}=P\frac{b}{(\frac{a}{E_A{A}_A}+\frac{b}{E_B{A}_B})E_B{A}_B}\frac{a}{b}\frac{E_B{A}_B}{E_A{A}_A}=P\frac{a}{(\frac{a}{E_A{A}_A}+\frac{b}{E_B{A}_B})E_A{A}_A}$

Oba równania są sobie równe które jest bardziej przejrzyste dla czytelnika pozostawiam do wyboru.

Ostatecznie przemieszczenie punktu $C$ wynosi:

$\delta =P\frac{ab}{(\frac{a}{E_A{A}_A}+\frac{b}{E_B{A}_B})E_A{A}_A{E}_B{A}_B}$