Mechanika teoretyczna/Kanoniczne metody mechaniki klasycznej

Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej.

Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje

W punkcie wprowadziliśmy definicję Lagrangianu Szablon:LinkWzór, w oparciu o ten obiekt w prowadzimy pęd uogólniony, który jest pochodną cząstkową Lagrangianu względem pochodnej współrzędnej uogólnionej lub w postaci wektorowej, w której wskaźnik "a" przestawia numer cząstki: Szablon:ElastycznyWiersz Zakładamy, źe prędkość uogólniona zależy od współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionej Szablon:LinkWzór, a także na samym końcu od czasu. Szablon:CentrujWzór Wprowadźmy teraz funkcję zwaną funkcją Hamiltona, którego definicja jest sumą iloczynu prędkości uogólnionych Szablon:LinkWzór i pędu uogólnionego Szablon:LinkWzór odejmując od tak otrzymanego wyrażenia funkcję Lagrange'a: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz pochodne funkcje Hamiltona Szablon:LinkWzór względem współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego, a także czasu: Szablon:CentrujWzór Szablon:ElastycznyWiersz 2f równań różniczkowych Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, są one równoważne f równań różniczkowych Eulera-Lagrange'a. Z równania różniczkowego Szablon:LinkWzór i z definicji funkcji Hamiltona, patrząc na samym końcu na tożsamość Szablon:LinkWzór, możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że na podstawie tożsamości Szablon:LinkWzór, jeśli Hamiltonian Szablon:LinkWzór nie zależy od czasu, to hamiltonian jest energią całkowitą układu wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór, i ten hamiltonian jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej, zatem na podstawie tego zachodzi tożsamość: Szablon:CentrujWzór Patrząc na pierwsze równanie Hamiltona Szablon:LinkWzór, a także na podstawie równania Eulera-Lagrange'a Szablon:LinkWzór, możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Jeśli zmienna uogólniona qSzablon:Sub jest zmienną cykliczną, zatem na podstawie Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć, że hamiltonian ten nie zależy od tej zmiennej, czyli jeśli lagrangian nie zależy od zmiennej qSzablon:Sub, to hamiltonian też nie zależy od niej.

Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej

Ciało umieszczone na sprężynie

Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. Szablon:CentrujWzór Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu Szablon:LinkWzór liczymy ze wzorów: Szablon:ElastycznyWiersz

Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych

Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym Szablon:LinkWzór i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Hamiltonian Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany Szablon:LinkWzór, która tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym

Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki, gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z naszymi rozważaniami co do tej definicji wspomnianej wielkości, ale gdy potencjał natomiast wektorowy jest nie równy zero, to: Szablon:CentrujWzór Wektor pędu uogólnionej na podstawie jej definicji dla współrzędnych Szablon:LinkWzór piszemy wedle: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszmy wedle schematu: Szablon:CentrujWzór

Nawiasy Poissona

Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F, i G w mechanice klasycznej: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne pSzablon:Sub i qSzablon:Sub są niezależne od siebie, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć nawias Poissona położenia uogólnionego qSzablon:Sub i funkcji F, a jak się dowiemy jest on równy z pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego pSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór A także możemy powiedzieć nawias Poissona pędu uogólnionego pSzablon:Sub i funkcji F, a jak się dowiemy jest on równy z minusem pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego qSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Również bardzo łatwo się wyznacza nawiasy Poissona, których to skorzystamy z obliczeń wynikłych Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wtedy mówimy: Szablon:ElastycznyWiersz Wyznaczmy czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc że zachodzą tożsamości Hamiltona Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie Szablon:LinkWzór i wiedząc, że funkcja F jest za jednym razem współrzędną położenia uogólnionego, a za drugim razem jest współrzędną pędu uogólnionego, wtedy powiemy, że obowiązują dla nas tożsamości: Szablon:ElastycznyWiersz Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tejże wielkości nie zależy od czasu, zatem na podstawie tożsamości Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Gdy za funkcje F wstawimy we wzorze Szablon:LinkWzór hamiltonian Szablon:Formuła, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, której to udowodniliśmy w punkcie Szablon:LinkWzór, zatem tutaj wykorzystując nawiasy Poissona: Szablon:CentrujWzór

Ważne elementarne tożsamości

Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona Szablon:LinkWzór względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przestawimy je razem w jednej linijce: Szablon:ElastycznyWiersz Tożsamością polegająca na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona Szablon:LinkWzór względem czasu "t" przedstawiamy: Szablon:CentrujWzór

Tożsamość Jacobiego

Tożsamością Jacobiego względem funkcji f,g,h nazywamy tożsamość: Szablon:CentrujWzór W celu dowodu tożsamości Szablon:LinkWzór należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową, jeśli Szablon:Formuła jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem "f" i "g" ,wtedy jak można zauważyć, że po lewej stronie dowodzonej naszej tożsamości wyrażenie jest jednorodną funkcją drugich pochodnych, zatem wprowadźmy operatory DSzablon:Sub(φ)={g,φ}Szablon:Sub i DSzablon:Sub(φ)={h,φ}Szablon:Sub, wtedy należy policzyć wyrażenie: Szablon:CentrujWzór Wprowadźmy teraz definicję operatorów DSzablon:Sub i DSzablon:Sub przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, która nie może w sobie zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji f. Szablon:ElastycznyWiersz Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów DSzablon:Sub Szablon:LinkWzór i DSzablon:Sub Szablon:LinkWzór na dwa sposoby: Szablon:ElastycznyWiersz A różnica złożeń operatorów DSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, DSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, czyli Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy przestawić poprzez: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że w lewej stronie tożsamości Szablon:LinkWzór upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji f (to samo dotyczy funkcji g i h), wtedy dla funkcji f, dla której działanie -(DSzablon:SubDSzablon:Sub-DSzablon:SubDSzablon:Sub) na tą właśnie funkcję jest nawiasem Szablon:Formuła, który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji f (podobnie to dotyczy funkcji g i h), zatem cała lewa strona funkcji Szablon:LinkWzór jest tożsamościowo równa zero.

Twierdzenie Poissona

Jeśli funkcje f i g są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: Szablon:CentrujWzór Dowód tego twierdzenia, gdy f i g nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie Szablon:LinkWzór pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona Szablon:Formuła), to wtedy mając to na uwadze, to wyrażenie Szablon:LinkWzór podstawia się wtedy h=H, zatem: Szablon:CentrujWzór Z tożsamości Szablon:LinkWzór wynika, że jeśli Szablon:Formuła, Szablon:Formuła (to wtedy pochodna zupełna funkcji f i g jest równa zero), to również Szablon:Formuła jest równa zero (pochodna zupełna funkcji Szablon:Formuła jest równa zero), zatem na podstawie Szablon:LinkWzór zachodzi Szablon:LinkWzór. Jeśli natomiast f i g zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie Szablon:LinkWzór zachodzi tożsamość: Szablon:CentrujWzór Do wzoru Szablon:LinkWzór wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona Szablon:LinkWzór, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór Do obliczeń Szablon:LinkWzór do wyrażenia występującego w nawiasach Poissona wykorzystujemy tożsamość Szablon:LinkWzór, i dalej wyniku tego twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym jest: Szablon:CentrujWzór

Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne

Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasów, których to razem jest 2f współrzędnych: Szablon:ElastycznyWiersz W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji, te współrzędne są określone jako: Szablon:ElastycznyWiersz Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której to wariacja tych lagrangianów jest równa zero, wtedy Lagrangian w starym i nowym współrzędnych różnią się o pewną pochodną funkcji RSzablon:Sub, którego przecałkujemy obie strony naszego związku dotyczącej Lagrangianu, otrzymujemy: Szablon:ElastycznyWiersz Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian Szablon:LinkWzór i z tego wzoru napiszmy Lagrangian i na sam koniec, jeśli wykorzystamy tożsamość Szablon:LinkWzór, wnioskujemy: Szablon:CentrujWzór Z drugiej jednak strony różniczkę funkcji RSzablon:Sub możemy rozpisać względem współrzędnych qSzablon:Sub, QSzablon:Sub i czasu, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Jeśli porównamy wzory na różniczki zupełne funkcji RSzablon:Sub, tzn. tożsamość końcową Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór, w ten sposób możemy napisać tożsamości: Szablon:ElastycznyWiersz Wzory Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i na samym końcu Szablon:LinkWzór stanowią swoisty przepis na transformacje kanoniczne. W każdym bodź razem możemy obrać funkcję RSzablon:Sub, która stanowi jakoby funkcję tworzącą. Zatem wybierzmy teraz funkcję tworzącą RSzablon:Sub, którego przepis jest Szablon:Formuła, wtedy wykorzystując wzory Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wtedy na podstawie dla naszej funkcji tworzącej możemy napisać zależności: Szablon:ElastycznyWiersz Omawiana transformacja zmienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym, a położenie uogólnione z pędem uogólnionym, co dla nasz definicja Hamiltonianu wygląda: Szablon:CentrujWzór

Również wykorzystuje się równanie poniżej i rozwiązuje się go nie jako w zmiennych qSzablon:Sub i QSzablon:Sub, ale w zmiennych qSzablon:Sub, pSzablon:Sub, QSzablon:Sub, PSzablon:Sub wybierając z niego 2f zmiennych z 4f zmiennych, tzn. z (qSzablon:Sub,pSzablon:Sub,QSzablon:Sub,PSzablon:Sub), zatem wykorzystując równanie Szablon:LinkWzór dostajemy: Szablon:CentrujWzór wtedy należy podać taką postać funkcji tworzącej RSzablon:Sub zwaną transformacjami Legendre'a, poprzez inne funkcje tworzące, które są podane w postaci poniżej, co można uzyskać ją w trzech sposobach: Szablon:ElastycznyWiersz Następnie możemy policzyć różniczki zupełne funkcji RSzablon:Sub w możliwościach wedle trzech możliwości podanych powyżej, tzn. wedle Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Jeśli równanie Szablon:LinkWzór zapisujemy w specjalnie dedykowanej postaci dla powyższych przestawień różniczki funkcji tworzącej RSzablon:Sub, czyli dla Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, tzn. w postaci: Szablon:CentrujWzór Jeśli porównamy wzory Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór z odpowiednimi wzorami Szablon:LinkWzór, to wtedy otrzymamy wzory na odpowiednie współrzędne pSzablon:Sub, qSzablon:Sub, PSzablon:Sub i QSzablon:Sub, zatem dostajemy wzory poniżej: Szablon:ElastycznyWiersz Szablon:ElastycznyWiersz Szablon:ElastycznyWiersz

Przykładem funkcji tworzącej jest funkcja, której definicja jest Szablon:Formuła, na podstawie tego otrzymujemy pSzablon:Sub=PSzablon:Sub, QSzablon:Sub=qSzablon:Sub, Szablon:Formuła. Jak widzimy, że ona jest funkcją tworzącą tożsamościową. Innym przykładem funkcji RSzablon:Sub jest funkcja tworząca Szablon:Formuła, dla której zachodzi QSzablon:Sub=fSzablon:Sub(qSzablon:Sub,t), co ono jest dowolną funkcją we współrzędnych położenia uogólnionego qSzablon:Sub i czasu t.

Równania Hamiltona-Jacobiego

Gdy hamiltonian Szablon:Formuła będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi: QSzablon:Sub=const i PSzablon:Sub=const. Załóżmy, że istnieje pewna funkcji tworząca RSzablon:Sub=S(qSzablon:Sub,PSzablon:Sub,t), dla którego wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór piszemy przy oznaczeniu jej przez S: Szablon:ElastycznyWiersz Wtedy patrząc na wzór Szablon:LinkWzór, które przestawia równanie Hamiltona -Jacobiego przy warunku Szablon:Formuła i wykorzystując warunek z oczywistych powodów Szablon:LinkWzór, piszemy: Szablon:CentrujWzór Pochodną wielkości S można wykorzystać w takiej postaci, które to przestawimy wzorem Szablon:LinkWzór, w której wiadomo, że S to jest RSzablon:Sub, co wyznaczając pochodną zupełną wielkości S względem czasu: Szablon:CentrujWzór Dalej wykorzystajmy wzór Szablon:LinkWzór i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu t, w ten sposób otrzymujemy równość: Szablon:CentrujWzór Dalszym krokiem jest podstawienie wzoru Szablon:LinkWzór do równania Szablon:LinkWzór przy założeniu Szablon:Formuła równej zero i pamiętając, że dowolna pochodna zupełna wielkości QSzablon:Sub i PSzablon:Sub względem czasu są wielkościami równe zero, zatem pochodna zupełna wielkości S względem czasu t jest określona wzorem Szablon:LinkWzór, z którego co będziemy wykorzystywać definicję funkcji Hamiltona, która jest zapisana przy Szablon:LinkWzór, wtedy powiemy, że pochodna funkcji S względem czasu jest równa funkcji Lagrange'a: Szablon:CentrujWzór Na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór, całkując obie strony tego wzoru względem czasu, otrzymujemy wzór na wielkość S (funkcję tworzącą): Szablon:CentrujWzór

Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny)

Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym jest: Szablon:CentrujWzór Jeśli wykorzystamy równość Szablon:LinkWzór, która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem Szablon:LinkWzór, co przy takich rozważaniach możemy napisać równość: Szablon:CentrujWzór

Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość: Szablon:CentrujWzór Układ opisywany za pomocą hamiltonianu Szablon:LinkWzór jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to: Szablon:CentrujWzór Wtedy równość Szablon:LinkWzór, na podstawie wzoru na wielkość S Szablon:LinkWzór i wzoru na energię E układu Szablon:LinkWzór, piszemy: Szablon:CentrujWzór Ponieważ każdy wyraz występujący w Szablon:LinkWzór w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te SSzablon:Sub: Szablon:ElastycznyWiersz Mając rozwiązania Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, które są rozwiązaniem równania Szablon:LinkWzór i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego Szablon:LinkWzór, to energia układu na podstawie tego jest wyrażona: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym Szablon:LinkWzór, a także równość na funkcję S Szablon:LinkWzór, to całkowite rozwiązanie na funkcję S jest: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz wielkości QSzablon:Sub wedle wzoru Szablon:LinkWzór, zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości QSzablon:Sub, QSzablon:Sub, QSzablon:Sub, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu Szablon:Formuła i wykorzystując przy tym z Szablon:LinkWzór na wielkość S, wtedy: Szablon:ElastycznyWiersz Wedle równości Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z) z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu: Szablon:ElastycznyWiersz

Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych

Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian Szablon:LinkWzór bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: Szablon:CentrujWzór Teraz przestawmy potencjał U(r,θ,φ) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(φ), i na samym końcu od c(θ), i od zmiennych r, θ, φ: Szablon:CentrujWzór Ostatni wyraz w Szablon:LinkWzór ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej φ: Szablon:CentrujWzór Wzór na potencjał pola Szablon:LinkWzór podstawiamy do Szablon:LinkWzór wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego Szablon:LinkWzór, mając wzór na pęd uogólniony Szablon:LinkWzór, otrzymujemy wtedy równość różniczkową: Szablon:CentrujWzór Możemy uwzględnić, że zmienna θ jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania Szablon:LinkWzór, w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych θ, "r", φ i "t": Szablon:CentrujWzór Jeśli do równości Szablon:LinkWzór podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie Szablon:LinkWzór, to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr β, który jest w pewnym sensie parametrem stałym: Szablon:ElastycznyWiersz Patrząc na równości różniczkowe Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy napisać końcową równość na funkcję S Szablon:LinkWzór, gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia: Szablon:CentrujWzór

Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych

Wzory na współrzędne cylindryczne definiujemy jako zależne od współrzędnych ξ i η, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: Szablon:ElastycznyWiersz Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" Szablon:LinkWzór i współrzędną radialną ρ Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Patrząc na wzory na promień Szablon:LinkWzór i i współrzędną zetową Szablon:LinkWzór od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne ξ i η w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z": Szablon:ElastycznyWiersz Wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu Szablon:LinkWzór, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: Szablon:ElastycznyWiersz Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a Szablon:LinkWzór i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej Szablon:LinkWzór, współrzędnej η-owej Szablon:LinkWzór i na samym końcu od współrzędnej θ-owej Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od ξ i η: Szablon:CentrujWzór Wzór na potencjał pola Szablon:LinkWzór podstawiamy do Szablon:LinkWzór wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego Szablon:LinkWzór, wykorzystując wzór na pęd uogólniony Szablon:LinkWzór, wtedy mamy równanie różniczkowe: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór mnożymy przez m(ξ+η) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych ξ, η i θ mając na uwadze Szablon:LinkWzór, bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali: Szablon:CentrujWzór Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η: Szablon:CentrujWzór Funkcję Szablon:LinkWzór możemy podstawić do równości Szablon:LinkWzór i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr β, otrzymujemy dwa poniższe równości: Szablon:ElastycznyWiersz Równości Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η w sposób: Szablon:CentrujWzór

Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych

Wprowadźmy teraz współrzędne (ξ,η,θ), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne ρ i "z", których definicje są: Szablon:ElastycznyWiersz Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego ξ zmienia się od jedynki do nieskończoności, a η zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości rSzablon:Sub i rSzablon:Sub, których definicję są Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, które definiujemy jako odległości od punktów z=σ i z=-σ, wtedy do tych odległości podstawimy wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Z których to z Szablon:LinkWzór i z Szablon:LinkWzór wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy rSzablon:Sub, rSzablon:Sub i σ, które są związkami na współrzędne eliptyczne ξ, i η: Szablon:ElastycznyWiersz Podstawiamy wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję Szablon:LinkWzór, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: Szablon:ElastycznyWiersz Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a Szablon:LinkWzór przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej Szablon:LinkWzór, współrzędnej η-owej Szablon:LinkWzór i na samym końcu od współrzędnej θ-owej Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola przestawiona: Szablon:CentrujWzór Wzór na potencjał pola Szablon:LinkWzór podstawiamy do Szablon:LinkWzór wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego Szablon:LinkWzór, a także wzór na pęd uogólniony Szablon:LinkWzór, który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: Szablon:CentrujWzór Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: Szablon:CentrujWzór Funkcję Szablon:LinkWzór możemy podstawić do równości Szablon:LinkWzór i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: Szablon:CentrujWzór Równanie różniczkowe Szablon:LinkWzór możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze β: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Równości Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: Szablon:CentrujWzór