Elektrodynamika klasyczna/Magnetostatyka

Magnetostatyka nazywamy działem elektrodynamiki klasycznej, w której pole magnetyczne opisywane przez ten dział fizyki jest stałe, nie zależy od czasu we wszystkich punktach w przestrzeni.

Własności wielkości charakterystycznych pola w magnetostatyce

Pole w magnetostatyce jest to pole, którymi przyczynkami są prądy stałe płynące w jakichś przewodnikach, natężenie prądu źródła jest niezmienne, wtedy pole magnetyczne nie zmienia się, wtedy mówimy, że pole jest stałe, wtedy doczynienia mamy z magnetostatyką.

Siły magnetyczne

Załóżmy, że mamy jeden przewodnik, w którym płynie stały prąd, przewodnik ten nie jest w ogólności linią prostą. Jeśli w tym polu umieścimy ładunek próbny, które porusza się z jakoś prędkością, w ogólności nie prostopadłą do wektora indukcji pola magnetycznego, to wtedy na ten ładunek działa siłę magnetyczna: Szablon:CentrujWzór

• gdzie:
  • Szablon:Formuła - jest to wektor indukcji magnetycznej charakteryzujący pole magnetyczne.
  • Szablon:Formuła - jest to prędkość ładunku q.

Widzimy jednak, gdy wektor prędkości ładunku próbnego jest równoległy do wektora indukcji pola magnetycznego, czyli:Szablon:Formuła, to wtedy siła działająca ze strony pola na ten ładunek jest równa zero (Szablon:Formuła).

Gdy prędkość cząstki jest prostopadła do wektorów indukcji magnetycznej pola, czyli zachodzi:Szablon:Formuła w danym punkcie, to wtedy na ładunek próbny pole magnetyczne działa z maksymalną siłą o wartości: Szablon:CentrujWzór Wartością wektora indukcji nazywamy stosunek maksymalnej siły działającej na ładunek q ze strony pola magnetycznego przez iloczyn ładunku elektrycznego posiadanej przez to ciało w tym polu przez wartość jego prędkości. Należy pamiętać, że siła w ogólności działająca na ciało o ładunku q zależy od kąta pomiędzy wektorem indukcji pola i prędkością badanej cząstki.

Siły Lorentza

Jeśli oprócz sił magnetycznych Szablon:LinkWzór uwzględnimy siły elektryczne Szablon:LinkWzór (po wyznaczeniu z niego wektora siły), to siła Lorentza działająca na ciało o ładunku q jest równa sumie tych siły, tzn. siły pochodzących od pola elektrycznego i od pola magnetycznego, wynosi: Szablon:CentrujWzór

• gdzie:Szablon:Formuła jest wektor natężenia pola elektrycznego.

Czy siły magnetyczne wykonują pracę

Praca wykonywana przez siły magnetyczne jest równa zero ze względu na prostopadłość sił magnetycznych do prędkości cząstki o ładunku q, co udowodnimy poniżej: Szablon:CentrujWzór

• ponieważ zachodzi:Szablon:Formuła

Ostatecznie dochodzimy do wniosku, że siły magnetyczne nie wykonują pracy na podstawie dowodu Szablon:LinkWzór.

Objętościowa gęstość prądu

Rozpatrzmy pewne rozumowanie, które jest natężeniem prądu wyrażone w zależności od koncentracji elektronów w nośniku n, jego przekroju S oraz średniej wartości prędkości tychże cząstek v: Szablon:CentrujWzór Zdefiniujmy gęstość prądu jako iloraz natężenia prądu przez przekrój przewodnika, w którym płynie ten prąd jako: Szablon:CentrujWzór

• gdzie:Szablon:Formuła jest to kierunek i zwrot zgodny z kierunkiem płynięcia prądu.

Natężenie prądu wyrażone wedle Szablon:LinkWzór podstawiamy do wzoru na wektor gęstości prądu elektrycznego, co w ostatecznych perypetiach ta wielkość wyrażamy poprzez iloczyn koncentracji ładunków e pomnożonej przez ten ładunek i wektor prędkości ładunków prądu elektrycznego, co ostatecznie możemy tą wielkość przestawić jako: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że wektor gęstości prądu elektrycznego jest równoległy do prędkości nośników omawianego obiektu.

Prądy objętościowe a siły magnetyczne

Szablon:Rysunek Policzmy jakie siły działają na nieskończenie mały element długości przewodnika z prądem: Szablon:CentrujWzór

• gdzie Szablon:Formuła ma zwrot zgodny z kierunkiem płynięcia prądu elektrycznego w przewodniku.

Zwrot elementarnej siły:Szablon:Formuła, określamy regułą lewej ręki, co jest pokazane na rysunku obok. Całkowia siła pola magnetycznego działająca na przewodnik z prądem jest wyrażona: Szablon:CentrujWzór Powyższy wzór uwzględnia również kształt przewodnika z prądem, w którym płynie prąd o natężeniu I.

Powierzchniowa gęstość prądu

Zakładamy tutaj, że prąd płynie po nieskończenie małym wycinku z minus nieskończoności do plus nieskończoności, przy czym zakładamy, że ten wycinek nie jest w ogólności linią prostą.

Powierzchniowa gęstość ładunku jest wyrażona przez: Szablon:CentrujWzór Inaczej wyrażając różniczkę natężenia prądu płynącego w przewodniku o szerokości Szablon:Formuła przez iloczyn gęstości powierzchniowej i prędkości nośników prądu, tak jak w Szablon:LinkWzór, tylko zamiast gęstości objętościowej jest gęstość powierzchniowa, a zamiast przekroju S jest szerokość przewodnika powierzchniowego. Szablon:CentrujWzór Dochodzimy do wniosku wedle wyprowadzenia Szablon:LinkWzór, że gęstość powierzchniowa prądu jest równa iloczynowi prędkości nośników prądu przez gęstość powierzchniową ładunków nośników prądu płynącej na powierzchni, zatem dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór

Prądy powierzchniowe a siły magnetyczne

Różniczka siły działająca na nieskończenie mały przewodnik powierzchniowy, w zależności od gęstości powierzchniowej Szablon:LinkWzór i szerokości przewodnika, w którym panuje pola magnetyczne zewnętrzne o indukcji Szablon:Formuła, jest równa: Szablon:CentrujWzór

A całkowita siła działająca na ten przewodnik z prądem, którego szerokość jest infinitezymalna, jest napisana: Szablon:CentrujWzór Całkowita siła magnetyczna działająca na przewodnik powierzchniowy z prądem jest zależna od szerokości tego przewodnika, która jest równa Szablon:Formuła.

Zasada zachowania ładunku

W układzie zamkniętym, na danej objętości lub powierzchni, suma wszystkich ładunków w dowolnym czasie jest wielkością stałą. Zmiana gęstości powierzchniowej lub objętościowej przy pomocy prądów powierzchniowych lub objętościowych nie może zmieniać (zaburzać) całkowitego ładunku w danej powierzchni lub objętości.

W układzie dyskretnym zachodzi: Szablon:CentrujWzór lub dla układu ciągłego zastępując sumę całką, a dyskretne ładunki o numerze "i" ich infinitezymalnymi ładunkami, które wyrazimy przez gęstość objętościową, którego ładunki są w danej objętości dV wedle wzoru Szablon:LinkWzór, wtedy to prawo ma się w postaci: Szablon:CentrujWzór

Powyższe dwa wzory stanowią globalną zasadę zachowania ładunku dla rozkładu dyskretnego Szablon:LinkWzór i ciągłego Szablon:LinkWzór.

Całkowita zmiana ładunku w danej objętości musi być stała w magnetostatyce, tzn. Szablon:CentrujWzór

Ale ponieważ zmiana ładunku w dowolnym czasie Szablon:Formuła jest równa zero, wtedy równanie Szablon:LinkWzór możemy zapisać wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór

Powyższe równanie jest słuszne dla dowolnej objętości, bo w magnetostatyce rozkład ładunków nie zmienia się, bo pole magnetyczne lub elektryczne musi być stałe w czasie w danym punkcie w przestrzeni, zatem otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Co jest treścią lokalną zasady ciągłości dla magnetostatyki dla ładunków objętościowych.

Formułując zasadę dla prądów powierzchniowych, można uzyskać podobną lokalną zasadę zachowania ładunku do Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Co jest prawdziwe dla dwuwymiarowego układu współrzędnych związanego z tą płaszczyzną, w której płynie prąd powierzchniowy, ale nie dla trzech. Dla trzech wymiarów należy stosować prawo Szablon:LinkWzór. Prawo Szablon:LinkWzór jest treścią lokalnej zasady ciągłości dla magnetostatyki dla ładunków powierzchniowych.