Matematyka ubezpieczeń życiowych/Renty życiowe

Renty są ciągami płatności. W matematyce ubezpieczeniowej również i one są uzależnione długością trwania życia. Za pomocą rent opisywać będziemy przepływy finansowe zarówno od ubezpieczonego do ubezpieczyciela (jak to ma miejsce w przypadku składek) jak i od ubezpieczyciela do ubezpieczonego (jak to ma miejsce w przypadku świadczeń emerytalnych).

Podobnie jak w przypadku wartości obecnej ubezpieczeń mamy tu do czynienia z podziałem rent wg różnych czynników.

Wg długości trwania renty dzielimy na:

• terminowe,
• bezterminowe,
• terminowe odroczone,
• bezterminowe odroczone.

Wg czasu dokonywania płatności renty dzielimy na płatne:

• na początku roku lub jego podokresu okresu,
• na koniec roku lub jego podokresu okresu,
• w sposób ciągły.

Renty dyskretne

symbol	wartość	relacja	nazwa
${\ddot{a}}_x$	$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{v}^k{}_k{p}_x$	$1=d{\ddot{a}}_x+A_x$	bezterminowa, płatna na początku każdego roku
$a_x$	$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{v}^k{}_k{p}_x$		bezterminowa, płatna na końcu każdego roku
${\ddot{a}}_{x:\bar{n}|}$	$\sum _{k=0}^{n-1}{v}^k{}_k{p}_x$	$1=d{\ddot{a}}_{x:\bar{n}|}+A_{x:\bar{n}|}$	$n$-letnia, płatna na początku każdego roku
$a_{x:\bar{n}|}$	$\sum _{k=1}^n{v}^k{}_k{p}_x$		$n$-letnia, płatna na końcu każdego roku
${}_{n|}{\ddot{a}}_x$	$\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{v}^k{}_k{p}_x$		bezterminowa, płatna na początku każdego roku, odroczona o $n$ lat
${}_{n|}{a}_x$	$\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}{v}^k{}_k{p}_x$		bezterminowa, płatna na końcu każdego roku, odroczona o $n$ lat

W powyższej tabeli prócz wzorów definicyjnych podano również relacje jakie zachodzą pomiędzy rentami a wartościami obecnymi ubezpieczeń na życie. Sens tych relacji można wyjaśnić na następującym przykładzie:

$1=d{\ddot{a}}_x+A_x.$

Interpretacja tego wzoru może być następująca. Zaciągnięto dług na kwotę $1$. Dłużnik spłaca same odsetki na początku każdego roku (w wysokości $d$). Ponieważ dłużnik może umrzeć przed uregulowaniem długu, wykupił ubezpieczenie gwarantujące uregulowanie pozostałej do spłaty należności. Następuje to na koniec roku śmierci ubezpieczonego.

Renty ciągłe

symbol	wartość	relacja
${\overline{a}}_x$	$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{v}^t{}_t{p}_{x}dt$	$1=\delta {\overline{a}}_x+{\overline{A}}_x$
${\overline{a}}_{x:\bar{n}|}$	$\underset{0}{\overset{n}{\int }}{v}^t{}_t{p}_{x}dt$	$1=\delta {\overline{a}}_{x:\bar{n}|}+{\overline{A}}_{x:\bar{n}|}$
${}_{n|}{\overline{a}}_x$	$\underset{n}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{v}^t{}_t{p}_{x}dt$
${}_{m|n}{\overline{a}}_x$	$\underset{m}{\overset{m+n}{\int }}{v}^t{}_t{p}_{x}dt$

Renty płatne częściej niż raz w roku

${\ddot{a}}_x^{(m)}=\alpha (m){\ddot{a}}_x-\beta (m),$

gdzie

$\alpha (m)=\frac{i\cdot d}{i^{(m)}\cdot d^{(m)}},\beta (m)=\frac{i-i^{(m)}}{i^{(m)}\cdot d^{(m)}}.$

W większości wypadków (dla niewielkiego $\delta$) można się posłużyć praktycznym przybliżeniem wynikającym z rozwinięcia powyższych wzorów w szereg Taylora:

$\alpha (m)=1,\beta (m)=\frac{m-1}{2m}.$

Funkcje komutacyjne dla rent

${\ddot{a}}_x=\frac{N_x}{D_x}$

${\ddot{a}}_{x:\bar{n}|}=\frac{N_x-N_{x+n}}{D_x}$

gdzie

$D_x=v^x{l}_x$
$N_x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_{x+k}$