Liczby zespolone/Liczby zespolone

Liczby zespolone

$(a,b)$ ?

Szablon:Definicja Ze względu na sposób rozpięcia przestrzeni (płaszczyzny) - liczby zespolone, jak nazwa wskazuje, są złożone: z części określającej położenie na osi rzeczywistej $\mathrm{Re}$ oraz urojonej $\mathrm{Im}$. W roku 1833 William Hamilton (1805-1865) stwierdził, że skoro liczby rzeczywiste w kartezjańskim układzie współrzędnych można było zapisywać w postaci pary współrzędnych (x,y), to czemu nie zastosować tego sposobu dla liczb zespolonych?

Stąd powstał:

Szablon:Wzór Szablon:Definicja Zbiór wszystkich liczb zespolonych będzie więc rozpięty w opisanej wcześniej płaszczyźnie liczb zespolonych, której początkiem jest punkt $z=(0,0)$.

Liczbę zespoloną $z=(a,b)$ na płaszczyźnie $ℂ$ przedstawia się tak, jak robiło się to z punktami innych układów dwuwymiarowych: w postaci punktu o współrzędnych (a,b) lub w postaci wektora o początku w punkcie O(0,0) i końcu w (a,b).

Geometryczna interpretacja liczby zespolonej jako punktuGeometryczna interpretacja liczby zespolonej jako wektora

Jak szybko zauważymy, wszystkie liczby typu $z=(a,0)$ będą położone na osi Re - stąd wniosek że możemy je utożsamiać z liczbami rzeczywistymi. Natomiast wszystkie liczby $z=(0,b)$ odnajdziemy na osi Im - są liczbami urojonymi.

Mając już zdefiniowaną liczbę zespoloną, warto jest zastanowić się nad własnościami tych liczb. W podręczniku nieustannie powtarzamy, że liczby zespolone to twory matematyczne mające uzupełnić przestrzeń liczb rzeczywistych - toteż poddane różnego rodzaju operacjom powinny się one poniekąd zachowywać podobnie. Toteż poniżej wypisano własności liczb zespolonych.

Własności liczb zespolonych

Dowolne liczby zespolone w określonych przypadkach podstawowych działań matematycznych wykazują własności:

1. nie reagują w dodawaniu z zerem:

   $0+z=z$,

2. nie reagują w mnożeniu z 1, liczbą $1=(1,0)$:

   $1\cdot z=z$,

3. liczba przeciwna do $z=(a,b)$ to $-z=(-a,-b)$:

   $z+(-z)=0$,

4. przemienność dodawania:

   $z_1+z_2=z_2+z_1$,

5. łączność dodawania:

   $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$,

6. przemienność mnożenia:

   $z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1$,

7. łączność mnożenia:

   $z_1\cdot (z_2\cdot z_3)=(z_1\cdot z_2)\cdot z_3$,

8. rozdzielność mnożenia względem dodawania:

   $z_1\cdot (z_2+z_3)=z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3$

9. liczba odwrotna do $z=(a,b)$ to $\frac{1}{z}=(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2})$:

   $z\cdot \frac{1}{z}=1$,