Analiza matematyczna/Przykład szeregu 6

Obliczyć sumę szeregu:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n(2n-1)}{x}^{2n}$

W przypadku szereregów potęgowych zaczynamy od wyznaczenia przedziału zbieżności. W tym przypadku skorzystamy ze wzoru d'Alamberta:

$\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=$

$=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{2n^2-n}{2n^2+3n+1}\right|=1$

Otrzymujemy zatem promień zbieżności równy $R=\frac{1}{\lambda }=1$ . Na końcach przedziału zbieżności dla $x=1$ oraz $x=-1$ szereg potęgowy przyjmuje postać szeregu liczbowego:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n(2n-1)}$

...